专题8 指数幂、幂函数与指数函数（讲义）-2027年甘肃省（中职升学考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》练习 专题8 指数幂、幂函数与指数函数 【复习目标】 1. 掌握实数指数幂的运算法则，能进行根式与分数指数幂的互化。 2. 认识幂函数，记住5个常见幂函数图像与第一象限单调性。 3. 理解指数函数定义、图像与性质，会求定义域，能比较指数式大小。 【考点1 实数指数幂及运算】 知识梳理 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 【即时训练】 1．下列式子中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算：_________． 4．把化为分数指数幂的形式：_______________． 【考点2 幂函数的概念和图像】 知识梳理 1.幂函数的概念：一般地，函数称为幂函数，其中为常数. 注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. 2.幂函数的图像与性质 ①五个常见幂函数的图像 ②五个常见幂函数的性质： 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 函数图像 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇 单调性 R上增 上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增 R上增 (－∞，0)上减 (0，＋∞)上减 公共点 （1）所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点. （2）如果，幂函数图像过原点，并且在上是增函数 （3）如果，幂函数图像不过原点，并且在上是减函数 【即时训练】 5．已知幂函数的图象过点，则其解析式为（        ） A． B． C． D． 6．若幂函数的图像过点，则______． 7．已知幂函数过点，求______. 8．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）. A． B． C． D． 9．已知幂函数的图象过点，则其解析式为（        ） A． B． C． D． 10．已知幂函数的图像关于轴对称，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【考点3 指数函数的概念、图像和性质】 知识梳理 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即时训练】 11．指数函数（，且）的图象恒过定点（   ） A． B． C． D． 12．函数 的图像经过点（　　） A． B． C． D． 13．函数的图像恒过定点（    ）． A． B． C． D． 14．函数（且）的图像恒过定点（    ）． A． B． C． D． 15．在同一平面直角坐标系中，函数和（）的图像正确的是（    ）. A． B． C． D． 16．已知函数在上为奇函数， (1)求的值； (2)解不等式. 【考点4 指数函数的定义域、大小比较与应用】 知识梳理 指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即时训练】 17．比较 与 的大小，正确的是（    ） A． B． C．二者相等 D．无法比较 18．比较与的大小，正确的是（    ） A． B． C．无法比较 D． 19．比较，，的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 20．比较与的大小，正确的是（　　）. A． B． C． D．无法判断 21．已知指数函数（且）经过点. (1)求； (2)比较与的大小. 22．设指数函数经过点，求的值，比较与的大小. 考点01 实数指数幂及运算 23.（2020·甘肃·真题T03）下列等式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 考点03 指数函数的概念、图像和性质 24.（2022·甘肃·真题T11）设指数函数的图像经过点，则______． 考点04 指数函数的定义域、大小比较与应用 25.（2021·甘肃·真题T08）设，，则______（填“＞”“＜”或“＝”）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》练习 专题8 指数幂、幂函数与指数函数 【复习目标】 1. 掌握实数指数幂的运算法则，能进行根式与分数指数幂的互化。 2. 认识幂函数，记住5个常见幂函数图像与第一象限单调性。 3. 理解指数函数定义、图像与性质，会求定义域，能比较指数式大小。 【考点1 实数指数幂及运算】 知识梳理 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 【即时训练】 1．下列式子中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】，故错误；，故错误； ，故正确；，故错误， 故选：. 2．已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘法法则即可求解. 【详解】由题意得，，对于A，，故A错误. 对于B，C，D，，故B，D错误，C正确. 故选：C. 3．计算：_________． 【答案】9 【分析】利用指数幂的运算性质计算. 【详解】，， ，， 所以. 故答案为：. 4．把化为分数指数幂的形式：_______________． 【答案】 【分析】利用根式与正分数指数幂的互化规则，结合幂的运算性质化简求解. 【详解】. 故答案为：. 【考点2 幂函数的概念和图像】 知识梳理 1.幂函数的概念：一般地，函数称为幂函数，其中为常数. 注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量. 2.幂函数的图像与性质 ①五个常见幂函数的图像 ②五个常见幂函数的性质： 函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3 函数图像 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 非奇非偶 偶 奇 奇 单调性 R上增 上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增 R上增 (－∞，0)上减 (0，＋∞)上减 公共点 （1）所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点. （2）如果，幂函数图像过原点，并且在上是增函数 （3）如果，幂函数图像不过原点，并且在上是减函数 【即时训练】 5．已知幂函数的图象过点，则其解析式为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出幂函数解析式，将点代入即可得解. 【详解】设幂函数的解析式为， 将点代入得，解得， 所以幂函数为， 故选：. 6．若幂函数的图像过点，则______． 【答案】4 【分析】根据幂函数定义求出，再代点求出即可求解. 【详解】易知幂函数中，，则， 且幂函数的图像过点，则有，即，解得， 故. 故答案为：. 7．已知幂函数过点，求______. 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再将代入解析式计算求值. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为的图象过点，可得，解得， 故，则可得. 8．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用幂函数的单调性比较与的大小，再借助中间值1比较、与的大小，最终确定三者的大小关系. 【详解】幂函数在区间上为单调递增函数. 由于，因此，即. 因为，所以可得. 故选：C. 9．已知幂函数的图象过点，则其解析式为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出幂函数解析式，将点代入即可得解. 【详解】设幂函数的解析式为， 将点代入得，解得， 所以幂函数为， 故选：. 10．已知幂函数的图像关于轴对称，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质来确定实数的值即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，即，解得或. 又因为幂函数的图像关于轴对称， 即函数为偶函数，所以为偶数，故. 故选：A. 故答案为：81. 【考点3 指数函数的概念、图像和性质】 知识梳理 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． (2)注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 【结构特征】 (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量；(3)系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即时训练】 11．指数函数（，且）的图象恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令指数为0即可求解定点坐标. 【详解】对于指数函数（且），令，代入函数表达式得， 因此函数图象恒过定点. 故选：. 12．函数 的图像经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各选项中的点的坐标代入函数解析式验证即可. 【详解】选项A：将代入函数中，可得，所以点在函数的图像上； 选项B：将代入函数中，可得，所以点不在函数的图像上； 选项C：将代入函数中，可得，所以点不在函数的图像上； 选项D：将代入函数中，可得，所以点不在函数的图像上， 故选：A. 13．函数的图像恒过定点（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】在函数中，令，解得， 此时， 所以函数的图像恒过定点. 故选：D. 14．函数（且）的图像恒过定点（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数（且）恒过定点的性质，令指数部分为0求解定点坐标. 【详解】令指数部分，解得， 将代入函数解析式，得， 因此该函数的图像恒过定点. 故选：B. 15．在同一平面直角坐标系中，函数和（）的图像正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的图像与性质求解. 【详解】当时：指数函数在上单调递减，且过定点， 而函数的图像是由的图像关于轴对称得到的， 所以在上单调递增，且过定点. 对数函数在上单调递减，且过定点， 两个函数的图像大致为： 当时：指数函数在上单调递增，且过定点， 而函数的图像是由的图像关于轴对称得到的， 所以在上单调递减，且过定点. 对数函数在上单调递增，且过定点， 两个函数的图像大致为： 结合各选项可知：ACD错误，B正确， 故选：B. 16．已知函数在上为奇函数， (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质分析求解即可. （2）根据指数函数的单调性分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在上为奇函数， 所以，即， 即有，得， 即，因为，所以解得：. （2）由得，所以不等式为，化为，解得， 所求不等式的解集为. 【考点4 指数函数的定义域、大小比较与应用】 知识梳理 指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即时训练】 17．比较 与 的大小，正确的是（    ） A． B． C．二者相等 D．无法比较 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性可得结果. 【详解】因为指数函数在上单调递增， 所以. 故选：B 18．比较与的大小，正确的是（    ） A． B． C．无法比较 D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性比较大小. 【详解】因为是上的增函数，且，所以. 故选：D. 19．比较，，的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性比较大小． 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以. 故选：A. 20．比较与的大小，正确的是（　　）. A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】，即在上单调递增， 又，所以. 故选： 21．已知指数函数（且）经过点. (1)求； (2)比较与的大小. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）将点代入函数中，列方程求解的值； （2）根据指数函数的单调性比较函数值的大小. 【详解】（1）已知指数函数经过点，可得， 因为且，所以可解得. （2）由（1）可知，所以，函数在上单调递增， 因为，所以. 22．设指数函数经过点，求的值，比较与的大小. 【答案】， 【分析】根据已知点的坐标求出指数函数的解析式，将代入中，可得，利用指数函数的单调性比较与的大小. 【详解】指数函数经过点，可得， 又且，解得， 所以，则. 由于，因此指数函数在上为增函数， 又因为，所以. 考点01 实数指数幂及运算 23.（2020·甘肃·真题T03）下列等式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数运算性质和指数幂的根式互化求解即可. 【详解】A：，故A项正确， B：，故B项错误， C：，故C项正确， D：，故D项正确. 故选：B. 考点03 指数函数的概念、图像和性质 24.（2022·甘肃·真题T11）设指数函数的图像经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的定义及过点求出值，即可得解. 【详解】指数函数的图像经过点， 则，解得， 因为指数函数，所以且， 所以，，则， 故答案为：. 考点04 指数函数的定义域、大小比较与应用 25.（2021·甘肃·真题T08）设，，则______（填“＞”“＜”或“＝”）. 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为, 所以函数为减函数， 又因, 所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $