专题7 一次函数与二次函数（讲义）-2027年甘肃省（中职升学考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》练习 专题7 一次函数与二次函数 【复习目标】 1. 理解一次函数概念，掌握一次函数解析式、图像，会判断单调性。 2. 掌握二次函数三种表达形式，看懂二次函数抛物线图像，会判断开口方向、对称轴、顶点。 3. 能分析二次函数单调性，会求二次函数在区间上的最值。 4. 会用一次、二次函数解决简单实际应用问题。 【考点1 一次函数的图像和性质】 知识梳理 1．一次函数的定义 （1）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （2）一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2．一次函数的图象及其性质 （1）正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【即时训练】 1．一次函数过点则k的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式求解即可. 【详解】已知一次函数， 将点代入得，， 解得， 故选：B. 2．若函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数单调性即可解得. 【详解】由题，在上单调递减， 则，解得. 故选：D 3．函数 在上是减函数，的取值范围为_____． 【答案】 【分析】分类讨论项的系数的取值情况，利用一次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，当时，解得，则，不符合题意，故舍去. 当时，则函数 是一次函数， 因为在上是减函数，所以，解得，即的取值范围为. 故答案为：. 4．函数的图象与轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】令代入函数，即可求得与轴的交点坐标. 【详解】函数，令，可得. 故函数的图象与轴的交点坐标是. 故答案为：. 【考点2 二次函数的三种表示】 知识梳理 1．二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 二次函数的三种表达式： 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 5．函数的顶点坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数的一般式化为顶点式即可得解. 【详解】因为， 所以函数的顶点坐标为. 故选：D. 6．已知函数，求，的值，并求函数的对称轴方程和顶点坐标. 【答案】，；对称轴方程为 ；顶点坐标为 【分析】根据二次函数解析式及性质求解函数值、对称轴方程、顶点坐标即可. 【详解】因为函数， 所以， ， 因为对称轴为 ； 所以，即顶点坐标为 . 综上：，；对称轴方程为；顶点坐标为. 7．已知二次函数的对称轴为，且 . (1)求； (2)写出函数的顶点式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解. （2）根据二次函数的顶点式表示即可求解. 【详解】（1）二次函数的对称轴为，解得 又，解得. （2）由（1）得二次函数，所以顶点式为. 【考点3 二次函数的单调性】 知识梳理 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 【即时训练】 8．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数，二次函数和反比例函数的性质判断奇偶性和单调性即可. 【详解】对A：为一次函数，，所以函数是奇函数且为增函数，故A正确， 对B：为反比例函数，，所以函数是奇函数， 在，上单调递减，故B错误， 对C：为二次函数，，所以函数为偶函数，且图像开口向上， 在上单调递减，上单调递增，故C错误， 对D：为一次函数，，所以函数是奇函数且为减函数，故D错误. 故选：A. 9．下列函数中，既是偶函数，在区间内又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式判断奇偶性与单调性即可. 【详解】因为.所以函数不是偶函数，故A错误. 因为，函数是偶函数.图像开口向下，对称轴为y轴. 所以函数在内是减函数.故B正确. 因为是指数函数，指数函数不是偶函数，故C错误. 因为函数的图像开口向上，对称轴为y轴，所以函数在内是增函数，故D错误. 故选：B. 10．函数的减区间是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性即可得解. 【详解】函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为，所以函数的减区间是， 故选：. 11．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质，二次函数的性质，函数奇偶性的定义即可求解. 【详解】对A，由幂函数的性质可得，函数为奇函数，故A错误. 对B，函数，定义域为. 又，所以函数为奇函数. 故B错误. 对C，由二次函数的性质可得，函数在为单调递减函数， 故C错误. 对D，函数定义域为R，又， 所以函数为偶函数. 当，可得为单调递增函数，故D正确. 故选：D. 12．函数 的单调递增区间是_____ 【答案】 【分析】由二次函数的图象和性质判断其单调性即可. 【详解】函数是开口向下的抛物线， 对称轴为直线 ， 在对称轴左边单调递增， 在对称轴右边单调递减， 所以函数的单调递增区间为 . 故答案为：. 13．函数的单调增区间为 _______ 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】函数的图像为开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 14．若函数是偶函数，则的递减区间是_________． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求出k值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间． 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以，所以． 则，其递减区间为． 故答案为：． 【考点4 二次函数的最值及应用】 知识梳理 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 15．函数 的最大值是（    ） A．3 B．5 C． D．11 【答案】A 【分析】配方法求二次函数最值即可. 【详解】函数 ， 则当时，函数取最大值为. 故选：A. 16．二次函数的最大值为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 且在上是增函数，在上是减函数， 所以当时取最大值，即，解得. 故选：C. 17．若二次函数的顶点在轴上，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】二次函数的顶点在轴上，则顶点坐标中的纵坐标为0，即，即可求得c的值． 【详解】二次函数的顶点在轴上， 可得，即，解得. 故选：B. 18．若函数最小值为3，则m的值是（    ）. A．9 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的最值求解参数即可； 【详解】因为函数的图像开口向上，对称轴为， 所以，解得. 故选：D 19．设一元二次函数满足，，，求函数的最值． 【答案】最小值为，无最大值 【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再求最值. 【详解】设二次函数，由已知，，， 可得，解得， 所以二次函数，，开口向上， 当时，函数有最小值，无最大值 考点02 二次函数的三种表示 20.（2024·甘肃·真题T13）已知函数的顶点为，函数与轴的交点为，求. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据二次函数的顶点式求出二次函数解析式，然后将代入解析式中求出函数值. 【详解】因为函数的顶点为， 设二次函数的顶点式为，将函数与轴的交点为 代入得，解得； 则有，即， 所以 21.（2023·甘肃·真题T14）已知一元二次函数的顶点为，函数与轴的交点为，求. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据二次函数的顶点式求出二次函数解析式，然后将代入解析式中求出函数值. 【详解】已知一元二次函数的顶点为， 设二次函数顶点式为， 将函数与轴的交点为代入 得，解得. 则有，即. 所以. 考点04 二次函数的最值及应用 22.（2023·甘肃·真题T10）函数在区间的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先由二次函数的对称轴在区间内，可知内包含二次函数的顶点，由此求出在区间的最小值，再分别求出两个端点值，找出二次函数在内的最大值，由此得出函数在区间的取值范围. 【详解】由于的对称轴为轴，可知在内的最小值为. 因为当时，，当时，. 所以在内，的最大值为. 所以函数在区间的取值范围是. 故答案为：. 23.（2022·甘肃·真题T13）设一元二次函数满足，，，求函数最值． 【答案】最小值为，无最大值 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再求最值. 【详解】设二次函数，由已知，，， 可得，解得， 所以二次函数，，开口向上， 当时，函数有最小值，无最大值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年甘肃省中职升学考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年甘肃省中职升学考试 《数学一轮讲练测》练习 专题7 一次函数与二次函数 【复习目标】 1. 理解一次函数概念，掌握一次函数解析式、图像，会判断单调性。 2. 掌握二次函数三种表达形式，看懂二次函数抛物线图像，会判断开口方向、对称轴、顶点。 3. 能分析二次函数单调性，会求二次函数在区间上的最值。 4. 会用一次、二次函数解决简单实际应用问题。 【考点1 一次函数的图像和性质】 知识梳理 1．一次函数的定义 （1）一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （2）一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 2．一次函数的图象及其性质 （1）正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【即时训练】 1．一次函数过点则k的值为（   ） A．4 B． C． D．8 2．若函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 3．函数 在上是减函数，的取值范围为_____． 4．函数的图象与轴的交点坐标是________． 【考点2 二次函数的三种表示】 知识梳理 1．二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 二次函数的三种表达式： 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 5．函数的顶点坐标是（   ）． A． B． C． D． 6．已知函数，求，的值，并求函数的对称轴方程和顶点坐标. 7．已知二次函数的对称轴为，且 . (1)求； (2)写出函数的顶点式. 【考点3 二次函数的单调性】 知识梳理 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 【即时训练】 8．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 9．下列函数中，既是偶函数，在区间内又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 10．函数的减区间是（     ）. A． B． C． D． 11．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 12．函数 的单调递增区间是_____ 13．函数的单调增区间为 _______ 14．若函数是偶函数，则的递减区间是_________． 【考点4 二次函数的最值及应用】 知识梳理 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 15．函数 的最大值是（    ） A．3 B．5 C． D．11 16．二次函数的最大值为 ，则（　　） A． B． C． D． 17．若二次函数的顶点在轴上，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 18．若函数最小值为3，则m的值是（    ）. A．9 B． C．5 D． 19．设一元二次函数满足，，，求函数的最值． 考点02 二次函数的三种表示 20.（2024·甘肃·真题T13）已知函数的顶点为，函数与轴的交点为，求. 21.（2023·甘肃·真题T14）已知一元二次函数的顶点为，函数与轴的交点为，求. 考点04 二次函数的最值及应用 22.（2023·甘肃·真题T10）函数在区间的取值范围是_________. 23.（2022·甘肃·真题T13）设一元二次函数满足，，，求函数最值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $