30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 ▌课时目标 1. 理解直线与圆相离、相切、相交三种位置关系的含义，能识别割线、切线与切点。 2. 掌握用公共点个数和d与r的数量关系判定直线与圆的位置关系，能进行两种方法间的互推。 3. 能结合分类讨论思想解决由位置关系求取值范围的问题，并会应用于航行、台风等实际情境。 ▌课时目录 知识点01：直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交） 知识点02：割线、切线与切点的概念 知识点03：用公共点个数描述直线与圆的位置关系 知识点04：用d与r的数量关系判定直线与圆的位置关系 知识点05：由位置关系求半径或距离的取值范围 知识点06：直线与圆位置关系中的分类讨论 知识点07：直线与圆位置关系的实际情境应用（航行、台风类） ▌知识点01：直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交） 直线与圆没有公共点时，直线与圆相离；只有一个公共点时，直线与圆相切；有两个公共点时，直线与圆相交。 三种位置关系是本章研究的基础，后续判定与计算都围绕它展开。 易错提醒：相切是恰好一个公共点，不是“看起来贴近”就是相切，必须有严格的判定依据。 1．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离，然后比较即可求解． 【详解】解：根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离， ∵， ∴根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交， ∴直线和圆的位置关系是相交． 2．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 3．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 4．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． ▌知识点02：割线、切线与切点的概念 与圆有两个公共点的直线叫做圆的割线；与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。 这个唯一的公共点叫做切点，它是切线与圆的联系纽带。 切点既在切线上又在圆上，因此圆心到切点的连线就是半径，这一性质常用于证明与计算。 5．（25-26九年级上·北京·期末）已知直线上两点，点在上，点在外，则直线与的关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．点在圆上，点在圆外，直线经过和，因此直线与圆至少有一个交点，可能相切或相交． 【详解】解：点在上，直线与至少有一个公共点． 点在外，直线上存在点在圆外． 直线可能与相切（仅有一个公共点）或相交（有两个公共点，包括）． 直线与的关系是相交或相切． 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为2，则反映直线l与⊙O位置关系的图形（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，能熟练地运用数量关系进行判断直线l与的位置关系是解答此题的关键. 根据的半径和圆心O到直线l的距离的大小关系即可选出答案. 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，， ∴， ∴直线l与的位置关系是相交，且不过圆心. 故选：B. 7．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键． 设点O到直线l的距离为，根据垂线段最短，可得，，即可求解． 【详解】解：∵设点O到直线l的距离为， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：D 8．（2025·福建福州·二模）如图，，为上一点，且，以点为圆心作半径为1的，将绕点顺时针旋转，则旋转后的与射线的位置关系是______（填“相交”“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，切线的判定定理等知识点，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 过点作交于点，求得，然后得到，利用切线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：将绕点顺时针旋转后为，过点作交于点， ， ， ， 的长度与的半径长度相等，且， 所以，旋转后的与射线相切． 故答案为：相切． ▌知识点03：用公共点个数描述直线与圆的位置关系 从图形上看，公共点个数为2⇔相交，为1⇔相切，为0⇔相离。 这种方法直观，适合判断图形中直线与圆的位置关系。 易错提醒：直线是无限延伸的，判断时不能只看图形画出的一段，要想象直线向两端延伸后与圆是否相交。 9．（2025·福建三明·二模）三个半径均为6的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为8，则这个圆只能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解圆与直线的三种关系是解题关键．根据图形，结合圆与直线的位置关系判断即可． 【详解】解：由题意可知，、、的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点在上，则点P到直线l的距离不大于6，不符合题意； 若点在或上，点P到直线l的距离可以为8，符合题意； 故选：C． 10．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，矩形中，经过顶点的恰好与边相切．已知的半径为，点O到矩形某条边的距离为，则这条边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键； 过点作于，作于，作于，作于，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于，作于，作于，作于， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， ，，，， 点到矩形某条边的距离为，且， 点 到矩形某条边的距离为，这条边是． 故选：C． 11．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段检测）已知的半径为，点A在直线m上，，则直线m与的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交或相离 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，设点到直线的距离为，由题意得出的半径，即可得解． 【详解】解：设点到直线的距离为， ∵点A在直线m上，， ∴， ∵的半径为， ∴的半径， ∴直线m与的位置关系为相交或相切， 故选：C． 12．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 _____ ． 【答案】相离 【分析】本题考查直线与圆位置关系．根据题意比较点O到直线l的距离和半径长度，即可得到本题答案． 【详解】解：∵的半径为2，点O到直线l的距离为3， ∴， ∴l与的位置关系是相离， 故答案为：相离． ▌知识点04：用d与r的数量关系判定直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。 d＞r⇔直线与圆相离；d＝r⇔直线与圆相切；d＜r⇔直线与圆相交。 这是用数量关系刻画位置关系的方法，比公共点个数更便于计算。 使用时先用勾股定理或垂线段求出圆心到直线的距离d，再与r比较。 13．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系为（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小进行判断． 【详解】解：∵的半径，圆心O到直线l的距离， ∴， ∴直线l与相离． 故选：A． 14．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，若的半径为2，点到一条直线的距离为1，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，掌握其相关知识点是解题的关键．当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：的半径为2，圆心到一条直线的距离为1， 与该直线相交， 这条直线可能是， 故答案为：B． 15．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 【答案】相交 【详解】解：的直径为， 的半径， 圆心与直线的距离， ， 直线与的位置关系是相交． 16．（26-27九年级下·全国·期末）若的半径为6，圆心到一条直线的距离为3，则这条直线与圆的位置关系是______________． 【答案】相交 【分析】已知圆的半径和圆心到直线的距离，通过比较两者大小即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】解：∵的半径为6，圆心到一条直线的距离为3，， ∴这条直线与圆的位置关系是相交. ▌知识点05：由位置关系求半径或距离的取值范围 已知直线与圆相离，则r＜d；相切，则r＝d；相交，则r＜d中d＜r且r＞0。 反之，已知r求d的范围同理，关键是把位置关系翻译成关于d、r的不等式。 注意半径必须为正数，求出范围后还要检验是否满足r＞0、d≥0。 17．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 18．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径． 根据直线与圆相离的条件，结合已知的圆心到直线的距离，确定半径的取值范围，再判断选项． 【详解】解：∵直线l与相离， ∴圆心到直线的距离半径， 已知， ∴． 观察选项中只有A．，满足条件． 故选：A． 19．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知的半径为10，直线l与相切于点P，则（   ） A．1 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离d，圆的半径r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交．据此求解即可． 【详解】解：∵的半径为10，直线l与相切于点P， ∴． 故选D． 20．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． ▌知识点06：直线与圆位置关系中的分类讨论 当直线（或圆）的位置不确定时，要分相离、相切、相交三种情况分别讨论。 例如：动直线与定圆，或定直线与动圆（半径或圆心变化），需找出使d＝r的临界位置作为分界。 临界状态（相切）往往是问题的关键，求出临界值后再判断区间。 易错提醒：不要遗漏相切这一中间情形，结果要按情况完整写出。 21．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 22．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 23．（25-26九年级上·天津红桥·阶段检测）若半径为的与直线没有公共点，则圆心到直线的距离可以是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆无公共点时，两者相离，圆心到直线的距离大于半径是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵与直线l无公共点， ∴直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离半径， 选项中只有，即选项A符合题意． 故选：A． 24．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． ▌知识点07：直线与圆位置关系的实际情境应用（航行、台风类） 航行问题：把航线看作直线，暗礁区、台风圈看作圆，判断航线是否进入危险区域即判定直线与圆的位置关系。 解决步骤：求出圆心（台风中心）到航线（直线）的距离d，与危险半径r比较。d＞r安全，d≤r受影响。 台风类问题还常求受影响的航程：相交时弦长＝，配合船速可求受影响时间。 25．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 26．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值． 求出直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线与圆相切时，函数经过二、三、四象限b的值，则b的值在相交时与相切时两个b之间． 【详解】解：当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示： 在中，令，则，即与y轴的交点为， 令， 则，即与x轴的交点为， ∴， 连接圆心O与切点C，则，， ∵， ∴ ， ∴ 同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限， ， 综上所述： 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ； 故选：C． 27．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正三角形和的边长分别是、，点是中点，将正三角形绕点旋转，在旋转过程中，的面积的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，二次根式，圆的定义，直线和圆的位置关系，熟练掌握利用定点定长确定轨迹圆是解题的关键．连接，先利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出长，可确定点的轨迹为以点为圆心，半径长为的圆，过点作于点，利用直线到圆上一点的距离可知，当、、依次共线时，最小，此时点为如图的点；当、、依次共线时，最大，此时点为如图的点，再计算最大值和最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，点是中点， ∴，， ∴，， ∵在绕点的旋转过程中，， ∴点的轨迹为以点为圆心，半径长为的圆， 过点作于点， 利用直线到圆上一点的距离可知， 当、、依次共线时，最小，此时点为如图的点； 当、、依次共线时，最大，此时点为如图的点； ∵是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴点到的距离的取值范围， ∵的面积， ∴， 故答案为：． 28．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图1，在矩形中，边长，，其中a、b分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点． (1)______； (2)如图2，当点O运动到的角平分线上时， ①判断此时半圆O与有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时t的值； (3)如图3，当半圆O与的边有两个交点时，请直接写出t的取值范围______． 【答案】(1)5 (2) ①与相切， 理由：如图，过点O作，垂足为点E， ∵在矩形中，， ， 是的平分线， ， 是的切线， 即与相切； ② (3)或 【分析】（1）先求出的根，从而可得，的长，再根据矩形的性质，结合勾股定理求得； （2）①运用角平分线性质定理得，可得是圆O的切线； ②利用三角形面积公式，得到关于关于的方程求解，求出，从而可求此时t的值； （3）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：由，即， 解得：，， 边长，，其中a，分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 故答案为：5； （2）①略 ②， ， ， 即， ， ； （3）如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， 由知， 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ， 当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点； 连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ， ， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形的性质，勾股定理等知识，解题关键是画出图形，分类讨论． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 2．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离， ∴且，即， 观察选项，只有满足该范围，因此选B． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C到直线的距离，与半径比较判断位置关系． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴边上的高为， 即圆心到直线的距离是， ∵， ∴直线与相离， 故选：A． 4．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）已知的半径是二次函数的最小值，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，直线与圆的位置关系． 先求二次函数的最小值，得到圆的半径，再比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可． 【详解】解：， ∴二次函数图象开口向上，有最小值为， ∴的半径是， ∵圆心O到直线l的距离， ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：A． 二、填空题 5．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径是方程的一个根，那么与x轴的位置关系是______． 【答案】相切 【分析】解方程推出的半径，再求出点A到x轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵的半径是方程的一个根， ∴的半径为6， ∵的圆心坐标为， ∴点A到x轴的距离为， ∴点A到x轴的距离等于的半径， ∴与x轴的位置关系是相切． 6．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 7．（25-26九年级上·上海宝山·期末）若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______． 【答案】或2 【分析】本题考查了切线的性质，圆与坐标轴的交点问题，正确分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①经过原点；②与轴相切且与轴相交，再结合图形分别求出对应的圆的半径长即可． 【详解】解：①如图，当经过原点时，与两坐标轴只有3个交点， 此时该圆的半径长； ②如图，当与轴相切（切点为）且与轴相交时，与两坐标轴只有3个交点， 则轴， 此时该圆的半径长； ∴综上，该圆的半径长是或2． 故答案为：或2． 8．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且始终满足，连接，以点为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边有且只有三个公共点时，长等于_______． 【答案】或2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．当与相切时及当过点时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当与相切时，与矩形的边有三个公共点， 四边形是矩形， ， 与相切， ， 四边形是矩形， ， ， ， 可设，则， 在中，， ， ， ； 解：如图，当过点时，与矩形的边有三个公共点， 设，则， 在中，， ， ，， 在中，， ， 或（舍去）， ； 故答案为：或2． 三、解答题 9．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为_； (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径为_；（结果保留根号） ②点在_；（填“上”、“内”或“外”） ③直线l平行于x轴，并且到x轴距离为4，则直线l与的位置关系是_． 【答案】(1) (2)①；②外；③相交或相离 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）①利用勾股定理求出的长即可得到答案； ②利用勾股定理求出点到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系； ③确定直线l到圆心的距离即可判断直线l和圆的位置关系． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： （2）解：①由题意得，， ， ， ∴的半径为； ②， ， ∴在外； ③∵直线l平行于x轴，并且到x轴距离为4， ∴直线l的解析式为或， ∵， ∴直线l到圆心的距离为或， ∴直线l与的位置关系是相交或相离． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个函数永远没有交点，则称这两个函数为“相离”函数． (1)当满足什么条件时，函数与为“相离”函数； (2)已知关于的函数，，，，其中与为“相离”函数，与为“相离”函数，请求出的值和的取值范围； (3)已知关于的函数与函数和都不是“相离”函数，且函数与轴负半轴交于点，抛物线向右平移5个单位再向上平移个单位后与轴分别交于，两点，当的外接圆的面积最小时，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先判断正比例函数的图象所在象限，再判断反比例函数图象所在象限满足条件，进而可求解； （2）根据两个一次函数的图象是直线，根据题意，当两条直线平行时永远无交点可求得k值；再根据题意判断出当二次函数图象与x轴无交点时满足题意，进而利用判别式小于0求解即可； （3）注意到函数和的图象可以由平移得到，进而可求得k值，根据抛物线的平移和对称性可得的外接圆的圆心在其对称轴上，进而得到当的外接圆与y轴相切时，即半径最小为5时，的外接圆的面积最小，进而求得点A坐标，进一步求解可得结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象在第一、三象限，又函数与为“相离”函数， ∴函数的图象在第二、四象限时，两函数图象永远无交点， ∴，解得； （2）解：∵关于的函数与为“相离”函数， ∴且， 解得； ∵函数与为“相离”函数， ∴函数的图象与x轴无交点，即方程无实数解， ∴，又， ∴； （3）解：当关于的函数与函数不是“相离”函数时，则两个函数的图象相交或相切， 当两函数图象相切时，由得， ∴， 解得或， 当时，函数图象与函数图象相切； 当时，函数图象与函数图象相切，将两函数图象同时向左平移4个单位时，则变为函数与函数图象相切， ∴， ∵函数与轴负半轴交于点， ∴， ∵抛物线向右平移5个单位再向上平移个单位后与轴分别交于，两点， ∴平移后的抛物线的解析式为，则新抛物线的对称轴为直线， 如图，设对称轴与x轴交点为D，的外接圆圆心为I，则圆心在抛物线的对称轴上，， 由题意，当的外接圆与y轴相切时，即半径最小为5时，的外接圆的面积最小，此时， ∴， ∴， ∴点， 将代入中，得， 解得． 【点睛】本题考查新定义下的一次函数、反比例函数和二次函数的性质与图象问题，涉及函数图象的平移和交点问题、三角形的外接圆与切线问题、勾股定理等知识，综合性强，有难度，解决的关键是熟练掌握各函数的图象与性质，以及平移之间的关系． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第三十章直线与圆的位置关系 30.1.1直线与圆相离、相切、相交 课时目标 理解直线与圆相离、相切、相交三种位置关系的含义，能识别割线、切线与切点。 2.掌握用公共点个数和d与r的数量关系判定直线与圆的位置关系，能进行两种方法间 的互推。 3. 能结合分类讨论思想解决由位置关系求取值范围的问题，并会应用于航行、台风等实 际情境。 课时目录 知识点01：直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交) 知识点02：割线、切线与切点的概念 知识点03：用公共点个数描述直线与圆的位置关系 知识点04：用d与r的数量关系判定直线与圆的位置关系 知识点05：由位置关系求半径或距离的取值范围 知识点06：直线与圆位置关系中的分类讨论 知识点07：直线与圆位置关系的实际情境应用（航行、台风类） 1/11 知识点01：直线与圆的三种位置送系（相离。相切相交） 直线与圆没有公共点时，直线与圆相离；只有一个公共点时，直线与圆相切；有两个公共 点时，直线与圆相交。 三种位置关系是本章研究的基础，后续判定与计算都围绕它展开。 易错提醒：相切是恰好一个公共点，不是“看起来贴近”就是相切，必须有严格的判定依 据。 1.(25-26九年级下·浙江杭州阶段检测)已知圆的半径是6cm,如果圆心到直线的距离是3cm,那么直 线和圆的位置关系是() A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 2.(2026上海宝山二模)如图，∠ABC=30°，点O为射线BC上一点，B0=8,如果⊙0是以点0为 圆心，半径为3的圆，那么⊙O与直线BA的位置关系是() B A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 3.(25-26九年级下·上海长宁期中)已知⊙0及其所在平面内的直线L,P为直线1上的一点，如果⊙0半 径为3，且P0=3,那么下列对直线1的表述不正确的是() A.直线1可能经过圆心O B.直线1可能与⊙0相交 C.直线1可能与⊙O相切 D.直线1可能与⊙0相离 2/11 4.(2026广东汕头·一模)如果圆的半径是6cm,圆心到直线的距离是8cm,那么直线与圆的位置关系是 () A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 知识点02：割线。切线与切点的概念 与圆有两个公共点的直线叫做圆的割线：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线。 这个唯一的公共点叫做切点，它是切线与圆的联系纽带。 切点既在切线上又在圆上，因此圆心到切点的连线就是半径，这一性质常用于证明与计 算。 5.(25-26九年级上北京期末)已知直线a上两点A,B,点A在⊙0上，点B在⊙0外，则直线a与⊙0 的关系是() A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 6.(25-26九年级上·江苏盐城阶段检测)⊙0的半径为3，点O到直线1的距离为2，则反映直线1与⊙0 位置关系的图形() 7. (25-26九年级上山西运城阶段检测)设⊙0的半径为6cm,点P在直线l上，已知OP=6cm,那么 直线1与⊙0的位置关系是() A相切 B.相交 C.相离 D.相交或相切 8.(2025福建福州二模)如图，∠A0B=90°，P为OA上一点，且OP=2,以点P为圆心作半径为1的 ⊙P,将⊙P绕点O顺时针旋转60°，则旋转后的OP与射线OB的位置关系是 一（填“相交”“相 切”或“相离”）. A B 3/11 知识点03：用公共点个数描述直线与圆的位置送系 从图形上看，公共点个数为2~相交，为1~相切，为0相离。 这种方法直观，适合判断图形中直线与圆的位置关系。 易错提醒：直线是无限延伸的，判断时不能只看图形画出的一段，要想象直线向两端延伸 后与圆是否相交。 9.(2025福建三明·二模)三个半径均为6的圆与直线1的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上， 且点P到直线的距离为8，则这个圆只能是() 0 A ⊙02 B.⊙0 c.o0或o0 D.o0欧0 10.(24-25九年级上：河北唐山期末)如图，矩形ABCD中，经过顶点A的OO恰好与边CD相切.已知 ⊙0 6 ABCD 8 的半径为，点O到矩形 某条边的距离为，则这条边是() D A.AD B.AB C.BC D.CD 11.(24-25九年级上·天津蓟州阶段检测)已知⊙0的半径为2cm,点A在直线m上，OA=2cm,则直 4/11 线m与⊙0的位置关系为() A,相交 B.相切 C.相交或相切 D.相交或相离 12.(24-25九年级上江苏南京阶段检测)已知⊙0的半径为2，点0到直线1的距离为3，则1与⊙0的 位置关系是 知迟点04：用4与r的数量送系判定直线与圆的位置送系 设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r。 d>r~直线与圆相离：d=r~直线与圆相切；d<re直线与圆相交。 这是用数量关系刻画位置关系的方法，比公共点个数更便于计算。 使用时先用勾股定理或垂线段求出圆心到直线的距离d,再与r比较。 d=1 ○ 13.(25-26九年级上·云南昆明期末)已知⊙0的半径为lcm,圆心O到直线1的距离为2cm,则直线1 与⊙0的位置关系为() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 14.(25-26九年级上河北唐山期末)如图，若⊙0的半径为2，点0到一条直线的距离为1，则这条直 线可能是() ●O 5/11 B.4 D.4 15.(24-25九年级上辽宁朝阳期末)⊙0的直径为15cm,若圆心0与直线l的距离为7cm,则1与⊙0 的位置关系是 16.(26-27九年级下·全国期末)若⊙0的半径为6，圆心到一条直线的距离为3，则这条直线与圆的位 置关系是 知识点05：由位置送系求半径或距离的取值范围 已知直线与圆相离，则r<d:相切，则r=d:相交，则r<d中d<r且r>0。 反之，己知r求d的范围同理，关键是把位置关系翻译成关于从r的不等式。 注意半径必须为正数，求出范围后还要检验是否满足r>0、d>0。 17.(25-26九年级上湖北武汉期末)如图，直线1与半径为r的⊙0相交，且点O到直线1的距离为6， 则r的取值范围是() A.r>6 B.r=6 C.r<6 D.r≤6 18.(25-26九年级上·浙江金华阶段检测)已知直线1与⊙0相离，圆心O到直线1的距离为3，则⊙0的 半径可能是() A.2 B.3 C.4 D.5 19.(24-25九年级上·安徽滁州期末)已知⊙0的半径为10，直线1与⊙0相切于点P,则P0=() A.1 B.5 C.8 D.10 20。(25-26九年级上上海静安期未)已知点4坐标为-3 ,如果半径为的0A与轴无公共点，与” 轴有公共点，那么”的取值范围是 知识点06：直线与圆位置送系中的分类讨论 6/11 当直线（或圆）的位置不确定时，要分相离、相切、相交三种情况分别讨论。 例如：动直线与定圆，或定直线与动圆（半径或圆心变化），需找出使d=r的临界位置作 为分界。 临界状态（相切）往往是问题的关键，求出临界值后再判断区间。 易错提醒：不要遗漏相切这一中间情形，结果要按情况完整写出。 21,(25-26九年级上陕西安康阶段检测)⊙0的半径为T,某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为 d,则() A.d=r B.d<r c.d≥r D.d≤r 22.(25-26九年级上甘肃张掖期末)己知⊙0与直线I没有公共点，若⊙0的半径为5，则圆心0到直线 1的距离可以是() A.6 B.5 C.4 D.3 23.(25-26九年级上·天津红桥阶段检测)若半径为6cm的⊙0与直线1没有公共点，则圆心0到直线I的 距离可以是() A.7cm B.6cm C.5cm D.4cm 24.(25-26九年级上·辽宁盘锦期末)已知⊙0的半径为5，点0到直线I的距离为d,若直线1与⊙0相 离，则d的取值范围是一· 知识点0：直线与圆位置关系的实际情境应用（航行台风类） 航行问题：把航线看作直线，暗礁区、台风圈看作圆，判断航线是否进入危险区域即判定 直线与圆的位置关系。 解决步骤：求出圆心（台风中心）到航线（直线）的距离d,与危险半径r比较。d>r安 全，d≤r受影响。 台风类问题还常求受影响的航程：相交时弦长=22-严，配合船速可求受影响时间。 25.(2024上海模拟预测)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，CD=16,BC=AD+6 如果以CD为直径的圆与梯形ABCD各边共有3个公共点(C,D两点除外)，那么AD长的取值范围 是() 7/11 D B A.5<AD<16 B.5≤AD<8 C.5≤AD≤8 D.0<AD<5 26.(2025陕西汉中模拟预测)在平面直角坐标系中，⊙0的圆心为坐标原点，半径为3，若直线 -x+b 3 与⊙O始终有交点，则b的取值范围是()， A.b≤3 B.b≤-3 c.-25≤bs2V5 D.b≤-2V3或b≥2V5 27.(24-25九年级上河南郑州期末)如图，正三角形ABC和ADE的边长分别是3、7，点F是BC中点， 将正三角形ABC绕点A旋转，在旋转过程中，△DEF的面积S的取值范围是一· D B 28.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图1，在矩形ABCD中，边长AB=a,AD=b,其中a、b分别 是方程x2-7x+12=0的两个根(a<b),连接BD.点O从点C出发，沿CB向点B运动（到达点B停 止运动)，速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒，在运动过程中，以O为圆心，OC的长为半径 作半圆，交射线CB于点Q, 图1 图2 图3 I)BD=: 8/11 (2)如图2，当点O运动到∠BDC的角平分线上时， ①判断此时半圆O与BD有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时t的值： (3)如图3，当半圆O与△ABD的边有两个交点时，请直接写出t的取值范围 课时训练 一、选择题 1.(2026河南周口二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3.以点C为圆心，r为半 径作圆.若⊙C与斜边AB所在直线有且只有一个公共点，则"的值为() D B 2 A.5 B.3 C.4 D.5 2.(25-26九年级下上海杨浦期中)在平面直角坐标系x0中，已知点 (8,6 ,以M为圆心，r为半径 的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是() A.6 B.7 C.8 D.10 3.(25-26九年级上·湖北武汉阶段检测)Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,以点C为圆心， 以2为半径画圆，则直线AB与OC的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 4,(25-26九年级上河南鹤壁期末)已知00的半径是二次函数”=r-2x+4 的最小值，圆心O到直线1 的距离d=3,则直线1与⊙0的位置关系是() A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定 二、填空题 9/11 5。(26-27九年级上江苏宿迁阶段检测)在平面直角坐标系中，OA的圆心坐标 为3,60，半径是方程 x2-3x-18=0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是— 6.(2026贵州遵义模拟预测)如图，Rt△ABC中，以点A为圆心作⊙A,与BC,AC有交点（不经过 点B,C两点)，∠B=90°，∠C=30°.若AB=3,则⊙A的半径r的取值范围是 B 7.(25-26九年级上上海宝山期末)若以点1(2,1)为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径 长是 8.(25-26九年级上江苏镇江期末)如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是边AB上的一个动 点，点O是边BC上的一个动点，且始终满足BE:BO=1:2,连接OE,以点O为圆心，OE长为半径 作圆，当OO与矩形ABCD的边有且只有三个公共点时，BE长等于 D 三、解答题 9.(26-27九年级上·江苏盐城阶段检测)如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过 网格点A、B、C,点O为坐标原点.（网格中小正方形的边长为1） B (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为-： 10/11 (2)根据(1)中的条件填空： ①⊙P的半径为-；（结果保留根号） ②点M(,-2》在⊙P,(填“上”、“内”政“外) ③直线1平行于x轴，并且到x轴距离为4，则直线1与⊙P的位置关系是_， 10.(24-25九年级上湖南长沙期中)我们定义：如果两个函数永远没有交点，则称这两个函数为“相 离”函数. @当*满足什么条作时.厨数'=-2024)r与=2025r为“相离”丽数： ②已知关于x的函数1=(3+k+1小x+2k.为=(+2k+4x+3.⅓=0.%=(1-)2-22x+m 其中片与片为“相离”函数，乃与为“相离”函数，请求出的值和m的取值范围； 已知关于的函数y2x+k+5与函数<0)和y子4k+4>0都不是“相离”函数。▣ 函数y=-2x+k+5与y轴负半轴交于点C,抛物线y= 12 一4x向右平移5个单位再向上平移n个单位后 与x轴分别交于A,B两点，当△ABC的外接圆的面积最小时，求n的值. 11/11