第4讲 二项分布与超几何分布 专项训练-2027届高三数学一轮复习

二项分布与超几何分布 概率与统计 · 专题篇 一 二项分布：独立重复试验 一、二项分布的三条判据。 ① 试验可重复 次；② 每次只有「成功／失败」两种结果；③ 各次相互独立、成功概率恒为 。三条齐备才记 。 ★ 关键在第三条「概率恒定」—— 若前一次结果会改变下一次的概率，就不是二项分布（河西(2)-13 要先算出一个恒定的单次概率）。 二、两个公式。 ，；，。 三、反向求参数。 给出 或 反求 、：两个公式联立即可。 ★ 厦门(2)-03 由 求 ，青岛-03 由 求 。 四、先算「单次概率」再套公式。 题面往往不直接给 ，要先从古典概型算一次试验的成功概率。 ★ 广州实验外语-05（摸 2 球同色）、孝感-14（三次编号和为 5 的倍数）、巴蜀-07（只戴帽子）都是这一步。 五、「恰好」与「至少」。 恰好 次直接用公式；至少 次要「逐项累加」——把 这几种情形的概率各算一遍再加起来，或者用 减去「不足 次」的那些情形。 例1（解答·★★★★☆） 每次抛掷一枚质地均匀的六面体骰子，若出现偶数点得2分，奇数点得1分。已知每次抛掷出现偶数点和奇数点的概率都是，且结果相互独立。（1）求在抛掷过程中，恰好得3分的概率；（2）记抛掷次得分为，求的分布列及数学期望。 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（ ） A. 5， B. 5， C. 10， D. 10， 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-3（单选·★☆☆☆☆） 若随机变量，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-4（填空·★★★☆☆） 现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望 = ______________。 变式1-5（单选·★★☆☆☆） 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。则摸球三次仅中奖两次的概率为（ ） A. B. C. D. 变式1-6（填空·★★★☆☆） 甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分。设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________。（结果用数字作答） 变式1-7（单选·★★★☆☆） 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 变式1-8（填空·★★★★☆） 某篮球运动员进行定点投篮训练。已知他第一次投篮命中的概率为0.5。若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4。若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为，则期望 = ______。 变式1-9（填空·★★★★☆） 已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望 = ______。 变式1-10（单选·★★★☆☆） 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望 = （ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 变式1-11（填空·★★★☆☆） 某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6。活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖。现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立。记中奖人数为X，则X的数学期望为______。 变式1-12（单选·★★★☆☆） 一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）。从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球。记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件相互独立 D. 变式1-13（多选·★★★☆☆） 在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率为，事件发生的次数超过一半的概率为，下列叙述中正确的是（ ） A. 若为奇数时， B. 若为偶数时， C. 若为奇数时，随着的增大而增大 D. 若为偶数时，随着的增大而增大 变式1-14（填空·★★★☆☆） 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望 = ______。 二 超几何分布：不放回抽样 一、超几何分布的判定。 总体 个元素分两类： 个「目标」、 个「非目标」；不放回地抽 个，其中目标个数 服从超几何分布。 ★ 与二项的分水岭只有一条：是否放回。放回是二项，不放回是超几何。 二、公式。 ，其中 。 ★ 两端要按这个范围截断 —— 次品只有 个时，抽 个不可能出现 个次品。 三、期望与方差。 ，与二项同形；，比二项小一个修正因子。 四、抽签的对称性。 不放回逐个抽取时，第 次抽到目标的概率与第 次相同，都是 。 ★ 常德-03 就是这一条：第二次摸到红球的概率仍是 ，与「第几次」无关。 例2（单选·★☆☆☆☆） 一批零件共有10个，其中有4个不合格。随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 为测试某AI图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，其中两张是“龙”，另外两张是“蛇”。系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为（ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 变式2-3（单选·★★★☆☆） 某快递分拣中心待处理的5件包裹中，3件为“普通件”，2件为“优先件”。分拣员按随机顺序不放回逐一扫描分拣，若未分拣的“优先件”数量不少于“普通件”数量，则系统自动暂停当前批次处理。记为暂停时已完成分拣的包裹数，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-4（解答·★★★★☆） 某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测。在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望。 三 二项与超几何的辨析 一、一句话分辨。 放回 → 二项 ；不放回 → 超几何。「一次性抽一批」等价于「不放回逐个抽」，仍属超几何。 ★ 判别只看抽取方式，不看题目用词 —— 没写「放回」的，看是一次取一批还是逐个取后不放回。 二、期望相同，方差不同。 两者都是 ；二项的方差为 ，超几何的方差为 。 ★ 修正因子 ，所以不放回的方差更小、分布更集中。 三、为什么更集中。 不放回时「抽到目标会降低后续再抽到目标的概率」，这种自我抑制压掉了极端值。 ★ 变现为：两端概率变小、中间概率变大 —— 唐山(3)-17 第（3）问要按这个说。 四、混合题的写法。 分别写出两种方式下的分布列，再比 、比 ；结论写成「因为 ，所以……更可靠」。 ★ 新海-17、黄冈-16 的结论都是「不放回更可靠」，但新海-17 的结论是「有放回中奖可能性更大」—— 问的是概率不是可靠性，别照搬句式。 例3（解答·★★★★☆） 一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数。（1）写出的分布列，并计算出数学期望和方差；（2）写出的分布列，并计算出数学期望和方差；（3）比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析。 变式3-1（单选·★★★☆☆） 某超市周年庆开展“幸运抽奖”活动，设置了一种盲盒抽奖机制。抽奖箱中有12个除奖品内容不同外，外观完全相同的盲盒，其中有8个“祝您好运”，4个“恭喜中奖”，试验一：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都放回，记取到“恭喜中奖”的个数为；试验二：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都不放回，记取到“恭喜中奖”的个数为，的期望和方差分别为，（为1，2），则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 变式3-2（多选·★★★☆☆） 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球。现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球。记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 变式3-3（解答·★★★★☆） 某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同。游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖。现有一位员工参加此摸奖游戏。（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为，求的分布列；（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由。 变式3-4（解答·★★★★☆） 一个袋子中有4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为。（1）求的值：（2）从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为。（i）求的数学期望和方差；（ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球的比例估计总体中绿球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际含义。 变式3-5（解答·★★★★☆） 某市举办「数字科技商品」展销会，现场进行抽奖活动。已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签。二等奖的标签中有个标记「国产」，其余标记「合资」，所有标签除了内容不同，其余完全相同。若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有「国产」一个标有「合资」的概率是抽到2个均标有「国产」的概率的3倍。（1）求的值；（2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中。表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望。 学科网（北京）股份有限公司 $ 二项分布与超几何分布 概率与统计 · 专题篇 一 二项分布：独立重复试验 一、二项分布的三条判据。 ① 试验可重复 次；② 每次只有「成功／失败」两种结果；③ 各次相互独立、成功概率恒为 。三条齐备才记 。 ★ 关键在第三条「概率恒定」—— 若前一次结果会改变下一次的概率，就不是二项分布（河西(2)-13 要先算出一个恒定的单次概率）。 二、两个公式。 ，；，。 三、反向求参数。 给出 或 反求 、：两个公式联立即可。 ★ 厦门(2)-03 由 求 ，青岛-03 由 求 。 四、先算「单次概率」再套公式。 题面往往不直接给 ，要先从古典概型算一次试验的成功概率。 ★ 广州实验外语-05（摸 2 球同色）、孝感-14（三次编号和为 5 的倍数）、巴蜀-07（只戴帽子）都是这一步。 五、「恰好」与「至少」。 恰好 次直接用公式；至少 次要「逐项累加」——把 这几种情形的概率各算一遍再加起来，或者用 减去「不足 次」的那些情形。 例1（解答·★★★★☆） 每次抛掷一枚质地均匀的六面体骰子，若出现偶数点得2分，奇数点得1分。已知每次抛掷出现偶数点和奇数点的概率都是，且结果相互独立。（1）求在抛掷过程中，恰好得3分的概率；（2）记抛掷次得分为，求的分布列及数学期望。 【切入点】每次掷骰子的得分只有 分（奇数）与 分（偶数）两种，且概率各 —— 把总得分写成「基础分 ＋ 加分」。 【关键】（1）得 分有两种来源：掷两次（一奇一偶）得 ，或掷三次全奇。。（2）设 次中奇数点出现 次，则 ，总得分 。故 取 ，，。 【易错】第一，得分不是「每次固定 分」，而是 分与 分各占一半；第二， 对应 （即 次偶数点），对应关系最容易写反；第三，求期望用线性性质 最快，不必展开求和。 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（ ） A. 5， B. 5， C. 10， D. 10， 【切入点】「出现 点算成功、每次独立、共 次」——三条判据齐全，直接认定 。 【关键】，，选 B。 【易错】 里的 是 不是 ，漏掉它会算成 —— 那正是干扰项 A。 【答案】 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知随机变量，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 反求 ，再算「恰好 次」的概率。 【关键】，故 。，选 B。 【易错】先由期望定 再算概率； 的指数是 不是 。 【答案】 变式1-3（单选·★☆☆☆☆） 若随机变量，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 反求 ，再用 算概率。 【关键】，即 ，，。，选 B。 【易错】 恰是 能取到的最大值，此时 是唯一解；解方程时别把 拆成两个根。 【答案】 变式1-4（填空·★★★☆☆） 现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为______________；记用英语回答问题的学生人数为，则X的数学期望 = ______________。 【切入点】每名学生用英语的概率恒为 、三人相互独立 ——。 【关键】至少两人分两种：，，相加得 。。 【易错】「至少两人」含 与 两种，只算 会少一项；公式里的 是 。 【答案】； 变式1-5（单选·★★☆☆☆） 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。则摸球三次仅中奖两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】每次摸 2 球后放回，三次独立 —— 先算「一次中奖」的概率，再套二项。 【关键】一次摸 2 球同色：。三次仅中两次：，选 A。 【易错】每次摸的是「2 球」不是「1 球」，单次概率要先按组合数算成 ；「仅中两次」要乘 。 【答案】 变式1-6（填空·★★★☆☆） 甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分。设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________。（结果用数字作答） 【切入点】五局中甲胜 局，则甲得 分、乙得 分，甲比乙多 分 —— 要求 ，即 。 【关键】甲胜 5 局：；胜 4 局：。两者相加得 。 【易错】甲胜 3 局时比分为 ，只多 分，不满足「至少多 分」；把 误当成 是最常见的错。 【答案】 变式1-7（单选·★★★☆☆） 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】每次得分只与「正面次数」有关 —— 设正面 次，把总分写成 的一次函数。 【关键】，总分 。、，故 ，，选 D。 【易错】，常数项不影响方差、系数要平方 —— 写成 就落进干扰项 C。 【答案】 变式1-8（填空·★★★★☆） 某篮球运动员进行定点投篮训练。已知他第一次投篮命中的概率为0.5。若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4。若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为，则期望 = ______。 【切入点】单次投篮的命中概率会随上一次结果变，但「每组两次都命中」的概率是恒定的 —— 恒定的是「组」。 【关键】每组成功即「第一投中且第二投中」：。四组独立，，故 。 【易错】不能把 当成每投命中率 —— 第一次的 0.5 必须乘进去；也不能用第二次的全概率 当作「两次都中」的概率。 【答案】 变式1-9（填空·★★★★☆） 已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望 = ______。 【切入点】三单独立、每单准时率恒为 —— 直接是二项分布。 【关键】，。 【易错】 直接出结果，不要先写分布列再求和； 是单数不是 。 【答案】 变式1-10（单选·★★★☆☆） 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望 = （ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 【切入点】「每天至少戴一件」说明帽与镜不会同时不戴 ——先用 求出同时戴的概率，再求「只戴帽子」。 【关键】，故 。「只戴帽子」的概率为 ，故 ，，选 A。 【易错】「只戴帽子」不是 ，要扣掉「两件都戴」的那部分；「至少一件」给出的信息正是 。 【答案】 变式1-11（填空·★★★☆☆） 某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6。活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖。现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立。记中奖人数为X，则X的数学期望为______。 【切入点】先算「一位顾客中奖」的概率（三次编号和为 的倍数），再看三位顾客 —— 人数服从二项分布。 【关键】三次抽取共 种，和为 的倍数分三类：三数互异（、、、）共 种；恰两数相同（、、、、、）共 种；三数全同只有 这 种。故单人中奖概率 ，，。 【易错】三类要穷尽：漏掉「恰两数相同」会少 种；「三数全同」只有 一种（和为 ），别把 、 也算进去。 【答案】 变式1-12（单选·★★★☆☆） 一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）。从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球。记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件相互独立 D. 【切入点】有放回取 2 次共 个等可能结果 —— 逐项算概率验证。 【关键】有放回取 次共 个等可能结果，逐项验证。A 错： 与 有公共结果 ，不互斥；B 错： 而 。C 对：、、，独立；D 错：。故选 C。 【易错】互斥看「能否同时发生」，独立看「」，两件事别混；加法公式里要减去重复的 。 【答案】 变式1-13（多选·★★★☆☆） 在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率为，事件发生的次数超过一半的概率为，下列叙述中正确的是（ ） A. 若为奇数时， B. 若为偶数时， C. 若为奇数时，随着的增大而增大 D. 若为偶数时，随着的增大而增大 【切入点】 时二项分布关于 对称 ——「超过一半」的概率与「少于一半」相等，剩下看「恰好一半」。 【关键】A 错： 为奇数时「恰好一半」不可能，故 ；B 对： 为偶数时「恰好一半」概率为正，两份对称的概率各为 。C 错： 时 ， 时 ， 很小时后者反而更小；D 对：固定偶数 ，把 看成 的函数求导可证单调递增。故选 BD。 【易错】A 与 B 的差别只在「恰好一半」是否可能；C 的「随 增大」不能靠直觉，代两个小 就能推翻。 【答案】BD 变式1-14（填空·★★★☆☆） 已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望 = ______。 【切入点】 是三种数字出现次数的最大值， 次抽取中它至少是 ——正面分类很繁，先算两端的 、，再用和为 定 。 【关键】每次抽到 的概率为 ，抽到 、 各 。 至少为 ，先算两端： 即四次全同，。 即某数字恰出现 次（第四次必是别的数字）：。故 ，。 【易错】第一， 取不到 （四次抽取必有某数字出现至少两次）；第二， 时第四次必须换成别的数字，所以要乘 ；第三， 用补法最快，正面要分「」与「」两大族。 【答案】 二 超几何分布：不放回抽样 一、超几何分布的判定。 总体 个元素分两类： 个「目标」、 个「非目标」；不放回地抽 个，其中目标个数 服从超几何分布。 ★ 与二项的分水岭只有一条：是否放回。放回是二项，不放回是超几何。 二、公式。 ，其中 。 ★ 两端要按这个范围截断 —— 次品只有 个时，抽 个不可能出现 个次品。 三、期望与方差。 ，与二项同形；，比二项小一个修正因子。 四、抽签的对称性。 不放回逐个抽取时，第 次抽到目标的概率与第 次相同，都是 。 ★ 常德-03 就是这一条：第二次摸到红球的概率仍是 ，与「第几次」无关。 例2（单选·★☆☆☆☆） 一批零件共有10个，其中有4个不合格。随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 个零件里 个不合格，一次抽 个问「恰 个不合格」——不放回、分两类，标准超几何。 【关键】总数 ，符合条件的是「 个不合格 × 个合格」：，选 B。 【易错】分子是 不是 （要用「不合格 个、合格 个」去配）；分母是 （一次抽 个，无序）。 【答案】 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 为测试某AI图像识别系统的准确率，工程师准备了四张不同的图片，其中两张是“龙”，另外两张是“蛇”。系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是“蛇”的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】四张图两张「龙」、两张「蛇」，抽两张问「一龙一蛇」——这就是 、、 的超几何。 【关键】，选 D。 【易错】「恰一张龙」要「龙取 、蛇取 」，两个组合数相乘；用对立事件 也对，得 。 【答案】 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】不放回摸两次，问「第二次是红球」—— 不必管第一次，抽签的对称性直接给答案。 【关键】第二个位置上每个球机会均等，故概率为 ，选 D。也可按第一次分类验算：。 【易错】不要以为「不放回」会让第二次的概率变大或变小 —— 对称性保证它仍是 ；分类验算时两条路径的分母都是 。 【答案】 变式2-3（单选·★★★☆☆） 某快递分拣中心待处理的5件包裹中，3件为“普通件”，2件为“优先件”。分拣员按随机顺序不放回逐一扫描分拣，若未分拣的“优先件”数量不少于“普通件”数量，则系统自动暂停当前批次处理。记为暂停时已完成分拣的包裹数，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】暂停条件是「未分拣的优先件 ≥ 普通件」——逐个检查 时剩余包裹的构成。 【关键】初始为「优先 、普通 」。：第一件是普通件，剩「 优先 普通」，满足，；：第一件若普通则已在 暂停，若优先则剩「 优先 普通」仍不满足，故 。：第一件优先、第二三件都普通，剩「 优先 普通」，满足，； 与 同理为 。故 ，选 A。 【易错】、 的概率是 而不是「很小」；判断依据是「未分拣」的剩余数，不是「已分拣」的数。 【答案】 变式2-4（解答·★★★★☆） 某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测。在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望。 【切入点】 个零件中 个次品，抽 个 —— 不放回、分两类，超几何；次品只有 个，故 只取 。 【关键】，，，三者之和为 。加权和为 ，故 ；用超几何期望公式验算：。 【易错】第一， 取不到 —— 次品只有 个，这就是公式里 的含义。第二，三个概率的分母都是 ，分子分别是 、、， 与 恰好相等，别以为算错了。 【答案】分布列见解析， 三 二项与超几何的辨析 一、一句话分辨。 放回 → 二项 ；不放回 → 超几何。「一次性抽一批」等价于「不放回逐个抽」，仍属超几何。 ★ 判别只看抽取方式，不看题目用词 —— 没写「放回」的，看是一次取一批还是逐个取后不放回。 二、期望相同，方差不同。 两者都是 ；二项的方差为 ，超几何的方差为 。 ★ 修正因子 ，所以不放回的方差更小、分布更集中。 三、为什么更集中。 不放回时「抽到目标会降低后续再抽到目标的概率」，这种自我抑制压掉了极端值。 ★ 变现为：两端概率变小、中间概率变大 —— 唐山(3)-17 第（3）问要按这个说。 四、混合题的写法。 分别写出两种方式下的分布列，再比 、比 ；结论写成「因为 ，所以……更可靠」。 ★ 新海-17、黄冈-16 的结论都是「不放回更可靠」，但新海-17 的结论是「有放回中奖可能性更大」—— 问的是概率不是可靠性，别照搬句式。 例3（解答·★★★★☆） 一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数。（1）写出的分布列，并计算出数学期望和方差；（2）写出的分布列，并计算出数学期望和方差；（3）比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析。 【切入点】同一批球，甲有放回、乙不放回 —— 前者二项、后者超几何，正好拿来当对照组。 【关键】（1）甲：，分布列为 对应 、、、；由 、 得 、。（2）乙： 服从超几何，，分布列为 对应 、、、；由 得 ，又 ，故 。（3）期望相同，方差 ：两端概率有放回更大、中间概率不放回更大 —— 不放回抑制了极端值，分布更集中。 【易错】第一，超几何的期望也是 ，与二项形式相同，不要以为要另记一套。第二， 必须用 ，不能套 。第三，第（3）问要求「结合分布列」，只报两个方差数字是不完整的。 【答案】（1），；（2），；（3）见解析 变式3-1（单选·★★★☆☆） 某超市周年庆开展“幸运抽奖”活动，设置了一种盲盒抽奖机制。抽奖箱中有12个除奖品内容不同外，外观完全相同的盲盒，其中有8个“祝您好运”，4个“恭喜中奖”，试验一：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都放回，记取到“恭喜中奖”的个数为；试验二：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都不放回，记取到“恭喜中奖”的个数为，的期望和方差分别为，（为1，2），则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】同一批盲盒，试验一有放回（二项）、试验二不放回（超几何）——比 与 。 【关键】，，。 超几何：，与 相同；。故 相等、，选 C。 【易错】两者期望相等，所以 A、B 都错在「不等」；比较方差直接用修正因子 ，不必逐项算分布列。 【答案】 变式3-2（多选·★★★☆☆） 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球。现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球。记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】先从乙袋取 球放入甲袋（三种情况），再从甲袋取 球 ——先用全概率定 的分布，再算 、。 【关键】乙袋 红 白取 球： 红概率 、 白 、一红一白 ；放入后甲袋红球数为 、、，总球数都是 。，；，。故选 BC。 【易错】 只取 （只取 个球）；放球后甲袋总球数是 ，分母别按原来的 算； 的干扰项 是把系数平方弄错了。 【答案】BC 变式3-3（解答·★★★★☆） 某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同。游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖。现有一位员工参加此摸奖游戏。（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为，求的分布列；（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由。 【切入点】同一袋球，两种抽法各问一次中奖概率 ——有放回用二项，不放回用超几何。 【关键】（1）每次红球概率 ，中奖即「 红」或「 红 白」：前者 ，后者 ，相加得 。（2） 超几何：、、、。（3），故有放回中奖可能性更大。 【易错】第一，「至少两个红球」含 与 ，别只算一个。第二，两个分数分母不同（ 与 ），必须通分才能比大小。第三，本题结论是「有放回更大」，与「不放回估计更可靠」不是同一件事，不要照搬句式。 【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）有放回方式中奖可能性更大 变式3-4（解答·★★★★☆） 一个袋子中有4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为。（1）求的值：（2）从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为。（i）求的数学期望和方差；（ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球的比例估计总体中绿球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际含义。 【切入点】第（1）问用「取出的 2 球都是红球」列方程求 ；第（2）问把「样本比例与总体比例的误差」翻译成「绿球个数取哪几个值」。 【关键】（1），得 ，（负根舍）。（2）（ⅰ），，。（ⅱ）误差条件即 ，取 ：两项分别为 与 ，相加得 ；不放回时 。因 ，不放回估计更可靠。 【易错】第一， 的方程有两个根，负根要舍。第二，误差条件要先化成「 取哪几个值」，直接算 无从下手。第三，，别算成 。 【答案】（1）；（2）（ⅰ），；（ⅱ），，，不放回估计更可靠 变式3-5（解答·★★★★☆） 某市举办「数字科技商品」展销会，现场进行抽奖活动。已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签。二等奖的标签中有个标记「国产」，其余标记「合资」，所有标签除了内容不同，其余完全相同。若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有「国产」一个标有「合资」的概率是抽到2个均标有「国产」的概率的3倍。（1）求的值；（2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中。表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望。 【切入点】第（1）问把两个概率都写成关于 的式子再列方程；第（2）问抽完放回、三次独立 —— 二项。 【关键】（1） 个标签中 个一等、 个二等（ 个国产、 个合资）。「一国产一合资」概率 ，「两国产」概率 ，由题意约去分母得 ，解得 。（2）每次抽 个签恰得「一个一等奖 + 一个二等奖」的概率 ；三次放回独立，，分布列为 、、、，。 【易错】第一，两个概率的分母都是 ，可以整体约掉，不必先算成具体数。第二，「三等奖」不存在 —— 标签只有一等与二等，所以「一个一等一个二等」就是「各取一个」。第三，只有「抽完放回」才能用二项；若不放回， 就不是二项分布。 【答案】（1）；（2）分布列见解析， 学科网（北京）股份有限公司 $