29.2.1 垂直于弦的直径（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

这份内容属于「人教版九年级上册·第二十四章 圆」中 **24.1.2 垂直于弦的直径**（你写的 29.2.1 是笔误，我按正确章节出题）。下面是按 1450 字左右编写、含答案的专项练习。 --- # 《垂直于弦的直径》专项练习 ## 一、知识要点（理解背诵） 1. **轴对称性**：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2. **垂径定理**：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3. **推论**：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 4. **数量关系**：设⊙O半径为 r，弦 AB 长为 a，圆心到弦的距离（弦心距）为 d，则半弦、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股定理： 　　**r² = d² + (a/2)²** 这是本章所有计算的核心，务必牢记。 ## 二、基础过关（直接填空） 1. ⊙O 半径 r=5，弦 AB=8，则弦心距 d=____。 2. ⊙O 半径 r=10，弦心距 d=6，则弦长 AB=____。 3. 直径 AB⊥弦 CD 于 E，若 CE=3，则 DE=____。 4. ⊙O 半径 r=13，弦 AB=24，则圆心到 AB 的距离为____。 **答案**：1. 3（勾股 3—4—5）；2. 16；3. 3（直径平分弦）；4. 5。 ## 三、能力提升（写过程） **5.** 如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB 于 E，AE=2，EB=6，求弦 CD 的长。 解：AB=AE+EB=8，故半径 r=OA=OB=4，OE=OA−AE=4−2=2。连接 OC，在 Rt△OCE 中，OC=4，OE=2，由勾股定理得 CE=√(16−4)=2√3。∵CD⊥AB 且过圆心 O（垂径定理），∴CD=2CE=**4√3**。 **6.** ⊙O 半径 r=5，弦 AB 的弦心距 d=3，求弦 AB 的长及弦所对的弧的中点到底弦的距离。 解：半弦 =√(25−9)=4，故 AB=**8**。弧中点到弦的距离（弓形高）= r−d=5−3=**2**。 **7.（拱桥问题）** 一座桥的桥拱是圆弧形，跨度（弦长）AB=24 米，拱高（弓形高）CD=8 米，求桥拱所在圆的半径。 解：设圆心 O，半径 r，D 为弧 AB 的中点，则 OD⊥AB，AD=BD=12。OD=r−CD=r−8。在 Rt△AOD 中，OA²=AD²+OD²，即 r²=12²+(r−8)²，展开得 16r=208，**r=13 米**。 **8.（易错）** 半径为 13 的圆内有两条平行弦 AB=10、CD=24。若两弦位于圆心同侧，求两弦间的距离。 解：AB 弦心距 d₁=√(169−25)=12；CD 弦心距 d₂=√(169−144)=5。同侧取差：两弦距离=12−5=**7**。若在圆心两侧则取和=**17**（务必区分）。 ## 四、中考链接（综合） **9.** 如图，⊙O 半径 r=17，弦 AB⊥半径 OC 于 D，AD=8，CD=2，求弦 AB 的长。 解：连接 OA，设 OD=x，则 OA=OD+CD=x+2。在 Rt△OAD 中，OA²=AD²+OD²，即 (x+2)²=64+x²，解得 x=15。∴r=17，弦心距 OD=15，半弦=√(289−225)=8，**AB=16**。 **10.** 判断：①直径是圆中最长的弦（√）；②垂直于弦的直线平分弦（×，应是直径或过圆心的直线）；③平分弦的直径一定垂直于弦（×，被平分的弦是直径时例外）。 ## 五、小结 解垂径定理题一律「**连半径、作垂径、用勾股**」三步走；出现弓形高、跨度时设半径为未知数列方程求解。题目总字数约 1450 字。 --- 需要我把这份练习转成可打印的 Word 文档，或按你的教学计划调整难度（多基础题/多中考题）、增减题量吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 29.2.1垂直于弦的直径 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第29章 圆 实践探究 　 把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 情境导入 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. ●O 说一说 （2）如何来证明圆是轴对称图形呢？ 情境导入 3 环节一：探究圆的轴对称性 圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？有多少条对称轴？ 学习活动： 将圆形纸片沿任意一条直径对折，观察对折后的重合情况 O 圆是轴对称图形 对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 你能用轴对称的相关知识证明这个结论吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：探究圆的轴对称性 思考 如图，设AB是⊙O的任意一条直径，M为⊙O上点A，B以外的任意一点.证明点M关于直线AB的对称点仍在⊙O上. M' O M A B N 要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 如图，设AB是⊙O的任意一条直径， 如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点， M'是点M关于直线AB的对称点， 那么直线AB是线段MM'的垂直平分线. 因为圆心O在AB上， 所以OM'=OM，因此点M′在⊙O上. 如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立. 根据轴对称定义证明 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 思考 如图，设AB是⊙O的任意一条直径，M为⊙O上点A，B以外的任意一点.证明点M关于直线AB的对称点仍在⊙O上. 你还能用其他方法证明吗 M' O M A B N 证明：过点M作MM'AB，交⊙O于点M'， 垂足为N，连接OM，OM' 在△OMM'中，∵OMOM' ∴△OMM'是等腰三角形 又∵MM'AB ∴NM=NM'，即AB是MM'的垂直平分线 ∴.点M关于直线AB的对称点M′在⊙O上 根据对称轴性质证明 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：探究圆的轴对称性 归纳 圆的对称性 ①圆是轴对称图形 F F' E E' B B' C D A A' M O ②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：推导垂径定理 思考 如图，设AB是⊙O的任意一条直径，弦MM′⊥AB，垂足为N， 求证：AB平分MM′，且AB平分，AB平分 M' O M A B N 证明: ∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 MM′，垂足为 N， ∴点 M 和 M′ 是关于直径AB的对称点. 与 重合 MA M′A 与 重合 MB M′B 因此，MN = M′N ， 即直径 AB 平分弦 MM′，并且平分 ， . MM′ MAM′ 把圆沿着直径AB对折时，M N与 M′N 重合， 点 M与点 M′ 重合， 结论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 归纳 环节二：推导垂径定理 文字语言 几何语言 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 在⊙O中，AB 是直径， AB ⊥弦MM′于N. M' O M A B N MN=NM′ 垂径定理 圆中直径与弦的位置关系 相等线段，相等的弧 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：推导垂径定理 想一想 （1）下列图形是否具备垂径定理的条件？ E C O A B D E C O A B D C O A B （1） （2） （3） （4） 没有垂直 AB、CD都不是直径 D O A B C （2）条件“直径”可以用什么条件替换 半径，或过圆心的直线（线段），其本质是“过圆心” 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 1. 返回 下列说法中，不正确的是(　　) A．圆是轴对称图形 B．圆的对称轴是直径 C．圆有无数条对称轴 D．经过圆心的直线是圆的对称轴 B 举一反三 11 返回 2. 如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是(　　) A．AE＝BE B．OE＝DE B 举一反三 返回 3. [内江中考]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5.则DC的长是________． 2 举一反三 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 思考 （1）垂径定理中的题设条件和结论分别是什么？ 题设： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 有一条直线如果 那么这条直线 结论： M' O M A B N （2）能不能将垂径定理中的题设条件“垂直弦” 和结论“平分弦” 互换吗？ ①过圆心 ③平分弦 ②垂直于弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 一定成立吗？ 环节三： 垂径定理的推论 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三： 垂径定理的推论 D O A B C 思考 （3）AB、CD是⊙O的直径， AB、CD互相平分， AB、CD一定互相垂直吗？ ①过圆心 ③平分弦(直径) ②垂直于弦不一定成立 （4）AB是⊙O的直径， CD为圆中非直径的弦， AB平分CD，AB、CD一定互相垂直吗？ D O A B C ∟ ①过圆心 ③平分弦(非直径) ②垂直于弦成立 说说你的理由. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三： 垂径定理的推论 证明：连接OA,OB,则OA=OB. 在△OAM和△OBM中， ∵OA=OB,OM=OM,AM=BM ∴△OAM≌△OBM.（SSS） ∴∠AMO=∠BMO. ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 与重合, 与重合, ∴ =, = D O M A B C 图（2） 已知：如图，AB是⊙O的直径， CD为圆中非直径的弦， AB平分CD，求证：AB⊥CD且 =, = 结论： 平分（非直径）弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧. ①③→②④⑤ 还有别的结论吗？ 如：①④→②③⑤？ 环节三： 垂径定理的推论 知二推三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三： 垂径定理的推论 垂径定理拓展 （1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： ①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. D O A B C ∟ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 条件 结论 推论 ①过圆心，②垂直于弦，③平分弦, ④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧. 知二推三 环节三： 垂径定理的推论 ①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧. ②③ ①⑤④ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧. … … … … … … 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节四：定理应用与模型构建 归纳 应用垂径定理及其推论常用辅助线 连接半径，过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理计算 半径r、弦心距d、半弦长，满足：r²=d²+()² O ∟ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例1 .赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 37m 7.23m O ∟ 解：如图，表示主桥拱，设 所在圆的圆心 O，半径长为 R m.经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 相交于点 C，连接 OA. 根据垂径定理，D 是 AB 的中点，C 是 的中点，CD 就是拱高.由题设可知 AB = 37，CD = 7.23， ∴ AD = = = 18.5， OD = OC－CD = R－7.23. 在 Rt△OAD 中，有勾股定理，得 OA² = AD² + OD²， 即 R² = 18.5² + (R - 7.23)². 解得 R ≈ 27.3. 答：赵州桥主桥拱的半径长约为 27.3 m. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例2、⊙O 的半径为5，为两条平行的弦，．求这两条平行弦之间的距离 【分析】 （1）为两条平行的弦，这两条弦的位置有两种情况 ① 和在圆心的同侧； ② 和在圆心的异侧 O O （3）辅助线：过点作于，交于，则， 连结OA、OC （2）方法：利用垂径定理构造直角三角形计算 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例2、⊙O 的半径为5，为两条平行的弦，．求这两条平行弦之间的距离 O 解：当和在圆心的同侧时，如图所示， 连接，．过点作于，交于， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ， ， 则． E ∟ F 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例2、⊙O 的半径为5，为两条平行的弦，．求这两条平行弦之间的距离 O E ∟ F 解：当和在圆心的两侧时，如图所示， 连接，．过点作于，交于， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ， ， 则． 答：这两条平行弦之间的距离是1或7． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 返回 4. [教材P125练习T1变式]如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． (1)求证：AD＝BC； 证明：过点O作OH⊥CD于点H. ∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH， ∴AH＋DH＝BH＋CH，∴AD＝BC. 举一反三 返回 (2)若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长为________． 举一反三 如图，A，B，C三点在⊙O上，D为弦AB的中点，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则OD＝(　　) 返回 5. B 举一反三 如图，过 的中点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝4，CD＝2，则 所在圆的半径长是________． 返回 6. 5 举一反三 返回 7. [石家庄期中]如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为(　　) A．1.25 m B．1.3 m C．1.4 m D．1.45 m B 举一反三 返回 8. 【新考向 传统文化】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是________寸． 26 举一反三 返回 9. 【易错题】已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则AB与CD之间的距离为(　　) A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．3 cm或4 cm C 举一反三 31 返回 10. 如图，已知点M(0，－3)，N(0，－9)，半径为5的⊙A经过点M，N，则点A的坐标为(　　) A．(－5，－6) B．(4，－6) C．(－6，－4) D．(－4，－6) D 举一反三 32 返回 11. 下面是甲、乙两人测量圆形工件直径的方法． 甲：如图①，在工作台上用棱长相同的两个正方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的棱长a即可； 乙：如图②，把两个小木块换成两个相同的小圆柱(假设圆柱可固定在工作台上)，量得小圆柱的底面半径n和两个圆心之间的距离m即可． 下面的说法正确的是(　　) A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 D 举一反三 33 返回 12. 【新考向 传统文化】[石家庄长安区期中]“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有一千多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度(即水面下方的圆上任一点距离水面的最大距离)为1米． (1)求该圆的半径OA； 举一反三 34 解：过点O作OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D， 由题意可知，CD＝1米，AB＝6米． ∵OC⊥AB，AB＝6米，∴AC＝BC＝ AB＝3米． 设该圆的半径为r米， 则OA＝OD＝r米，∴OC＝(r－1)米． 在Rt△AOC中，OC2＋AC2＝OA2，即(r－1)2＋32＝r2，解得r＝5， ∴该圆的半径OA为5米． 返回 举一反三 (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米，则水面上涨的高度为________米． 返回 1 举一反三 13. 如图，P是⊙O内一定点． (1)过点P作弦AB，使P是AB的中点．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 返回 解：如图，弦AB即为所求． 举一反三 (2)若⊙O的半径为13，OP＝5. ①求过点P的弦的长度m的取值范围； 返回 解：过点P的所有弦中，直径最长，为13×2＝26； 与OP垂直的弦最短．连接OA，如图所示． ∵OP⊥AB，∴ ∴AB＝AP＋BP＝24， ∴过点P的弦的长度m的取值范围为24≤m≤26. 举一反三 (2)若⊙O的半径为13，OP＝5. ②过点P的弦中，长度为整数的弦有________条． 返回 4 举一反三 课堂小结与知识梳理 1.圆的对称性：轴对称图形，直径所在直线为对称轴 2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.垂径定理推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.垂径定理拓展： 一条直线具备“①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧”中两个条件，就能推出其他三个结论成立。 5.计算模型： 已知圆中半径为r，弧对的弦长为a，圆心到弦的距离为d，则： r²=d²+()²（勾股定理）   O ∟ r d 谢谢观看 THANKS C．＝ D．＝ A. cm B. cm C. cm D. cm AP＝BP＝＝＝12， $