6.4用二次函数解决问题（1）导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

6.4 用二次函数解决问题(1) ——匀变速运动和面积问题 学习目标 1.能分析实际问题中的常量与变量，建立二次函数表达式，并确定自变量的取值范围； 2.会利用二次函数顶点公式或配方法求解实际问题中的最大值、最小值； 3.体会数学建模思想，能检验所求最值对应的自变量取值是否符合实际意义，提升数学应用能力。 学习重难点 重点：建立二次函数模型，利用二次函数求实际问题的最值。 难点：确定自变量的取值范围，检验结果的实际合理性。 学习过程 一．情景创设 如图,小球从光滑的斜坡上由静止向下滚动，各时刻的位置与起点的距离如下表所示. 0.35 s时，小球和起点的距离是多少? 二．自主构建 1.用一段长30 m的篱笆围成一个矩形花园，怎样围花园的面积最大？   2.变式：某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50 m），中间用两道墙 隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室 的总占地面积的最大值为多少？ “用二次函数解决问题”的步骤： （1）理解、分析问题中的变量和常量,确定两个变量之间的二次函数表达式和自变量的取值范围； （2）用配方法或顶点坐标公式求实际问题中的最大或最小值; （3）检查求得的最值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 . 三．互动体验 1.比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔.据说物理学家伽利略曾在塔顶做过著名的自由落体实验.在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同，物体的下落距离h(m)关于下落时间t(s)的函数表达式为 (g取9.8m/s²).已知比萨斜塔的高度为55m,试计算实验物大约经过多长时间落到地面(结果精确到0.1 s). 2.把一根长100 cm 的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形， 这两个正方形的面积和最小是多少? 3.用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成高、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？ 四．能力提升 如图，已知：关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与 y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 五．智慧建构 通过这节课的学习,你有什么收获? 1.知识：________________________________________________ 2.方法：________________________________________________ 3.数学思想：___________________________________________ 六．课后练习 1.小明根据自由落体运动规律表达式，用一块小石子来估算一口枯井的深度.如果石子从井口脱手1.3 s时听到石子落到井底的声音（不计声音传播的时间,g取9.8m/s²）,那么该枯井大约有多深（结果精确到0.1m）? 2. 一辆汽车在公路上行驶时因故紧急刹车.刹车过程中，滑行距离s(m)关于滑行时间t(s) 的函数表达式为s=10t-3t², 速度v(m/s) 关于滑行时间t(s) 的函数表达式为v=10-6t. 汽车从刹车到停下来滑行了多远？ 3.某网店以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量m(件)与每件的销售价x (元)之间的函数关系为m=204-3x. （1）试写出每天销售这种服装的利润y (元)关于每件销售价x(元)的函数表达式.（利润=总销售价-总进货价） （2）每件销售价定为多少元，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 4．某建筑物的窗口如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m，当半圆的半径为多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少（结果精确到0.01m2）？ 答案解析 一．情景创设 s = 200·t² 代入 t=0.35 s = 200 × 0.35 × 0.35 = 24.5 答：0.35秒时，小球距离起点24.5厘米。 二自主构建 1.解：设矩形一边长为x米，则另一边是 (15−x) 米。 面积 S = x(15−x) = −x² + 15x 二次项系数-1＜0，开口向下，顶点取最大值。 对称轴 x = 7.5 x=7.5米，另一边=7.5米，图形为正方形。 最大面积 =7.5 ×7.5 =56.25 平方米。 答：围成边长7.5米的正方形时，花园面积最大，最大面积56.25平方米。 2.解：设总占地面积为S（m2），CD的长度为x（m）， 由题意知：AB＝CD＝EF＝GH＝x， ∴BH＝48﹣4x， ∵0＜BH≤50，CD＞0， ∴0＜x＜12， ∴S＝AB•BH＝x（48﹣4x）＝﹣4（x﹣6）2+144， ∵﹣4＜0， ∴当x＝6时，S可取得最大值，最大值为144． 答：这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2． 3． 互动体验 1.解：根据题意得55＝4.9t2， 则t2， 解得：t＝3.4或t＝﹣3.4（舍）， 答：铁球落到地面所用的时间为3.4s． 2.解：如图，设将铁丝分成xcm和（100﹣x）cm两部分，列方程得： y＝（）2+（）2（x﹣50）2+312.5， 由于0，故其最小值为312.5cm2， 答：面积和的最小值是312.5cm2． 3.解：设长为x，则宽为，Sx，即Sx2+2x， 要使做成的窗框的透光面积最大， 则x1.5m． 于是宽为1m， 所以要使做成的窗框的透光面积最大， 则该窗的长，宽应分别做成1.5m，1m． 4． 能力提升 解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c， ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t， ∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， 即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1． 六．课后作业 1.解：根据题意得，hgt2， 当g＝9.8，t＝1.3时，h9.8×1.32≈8.3（m）， 答：该枯井大约有8.3m． 2.解：10 - 6t = 0 6t = 10 t = 10÷6 = 5/3 （秒） 把 t=5/3 代入滑行距离公式 s = 10t - 3t² s = 10×(5/3) - 3×(5/3)² = 50/3 - 3×(25/9) = 50/3 - 25/3 = 25/3 25÷3 ≈8.3 答：汽车从刹车到停下来滑行了 25/3 米（约8.3米） 3.解：（1）根据题意，y＝（x﹣42）t＝（x﹣42）（﹣3x+204）＝﹣3x2+330x﹣8568， 由得42≤x≤68； （2）∵y＝﹣3x2+330x﹣8568＝﹣3（x﹣55）2+507， ∴当x＝55时，y的最大值507元； 3.解：设半圆的半径为xm，矩形的宽为ym，窗户的面积为Sm2． ∵材料的总长为15m， ∴4y+7x+πx＝15， ∴， 从而3.5x2+7.5x． ∵﹣3.5＜0， ∴S有最大值， 当x时， ． 答：当半圆的半径约为1.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/18 19:35:32；用户：潘桂粉；邮箱：2411070213@qq.com；学号：1917067 1 学科网（北京）股份有限公司 $