期末复习 练习与应用(二) 图形与位置 知识清单-2026-2027学年数学六年级上册苏教版

《期末复习 练习与应用（二）图形与位置》知识清单 苏教版·2026-2027学年·数学六年级上册　（教材P116~P117） 一、知识梳理 本课是期末复习的第三课时“练习与应用（二）图形与位置”，对应教材第116~117页的第16~23题。这一课把本学期“图形与几何”领域的内容集中练了一遍，共四块：圆（第16~20题）、放大与缩小（第21题）、比例尺（第22题）、确定位置（第23题）。四块内容看起来各说各的，其实都在回答两个问题：图形有多大？图形在哪里？“有多大”要用周长、面积、边长的比去量，“在哪里”要用数对、方向与距离去说。把全课要点整理成下表。 要点 具体内容 半径与直径 同一个圆里，d＝2r，r＝d÷2；圆心O定位置，半径r定大小。圆有无数条半径、无数条直径。 圆的周长 C＝πd＝2πr，π取3.14。半径2厘米的圆，周长是2×3.14×2＝12.56（厘米）。 圆的面积 S＝πr²，r²表示r×r，不是2r。半径3分米的圆，面积是3.14×3×3＝28.26（平方分米）。 四个量互求 已知r、d、C、S中的任意一个，都能求出其余三个。第一步通常都是先求半径：d÷2，C÷3.14÷2，S则用“几乘几”反推。 圆环与半圆 圆环面积S＝π(R²－r²)，即外圆面积减内圆面积；半圆的周长＝圆周长的一半＋一条直径，半圆面积＝圆面积÷2。 放大与缩小 按n:1放大，每条边乘n；按1:n缩小，每条边除以n。形状不变、角度不变，只有大小改变；边长乘n，面积乘n的平方。 比例尺 比例尺＝图上距离:实际距离。1:1000000表示图上1厘米相当于实际1000000厘米，即10千米。 图上与实际 图上距离＝实际距离÷（1厘米代表的实际距离）；实际距离＝图上距离×（1厘米代表的实际距离）。换算前先统一单位。 数对 用两个数表示位置，第一个数表示列，第二个数表示行，先列后行。(9,7)是第9列第7行。 方向与距离 确定位置要说清观测点、方向、距离。方向按“先南北、后偏东西”说，如“北偏东40度方向20千米处”；方向和距离缺一不可。 观察物体 站在不同位置观察同一个物体，看到的形状可能不同；最多同时看到物体的三个面。 用一句话记住本课：算圆先找半径，放大缩小看对应边，比例尺先统一单位，定位置先列后行。 二、算理剖析 ① 为什么求面积一定要先求半径？因为面积公式S＝πr²里只有半径，没有直径，也没有周长。题目给直径8厘米，8厘米是“穿过圆心的一条线段”，要先除以2得到半径4厘米，才能平方。若直接用3.14×8×8，等于把直径当成了半径，算出的面积会是正确答案的4倍。这就是“半径是关键”的来历。 ② 车轮滚动一圈，为什么前进的距离就是周长？把车轮边缘上的一点看作起点，车轮在地上滚一圈，这个点又回到原来的位置，车轮边缘“展开”在路面上，正好是一条与圆周等长的线段，所以滚一圈前进一个周长。滚40圈，就是40个周长；要求“多少米”，还要把厘米换算成米。 ③ 圆变小了、个数变多了，为什么圆的总面积不变？剪成4个圆时，每个圆的半径是原来的。半径缩到，一个圆的面积就缩到（因为面积要乘两次），而圆的个数正好是原来的4倍，一缩一扩正好抵消，所以总面积不变。剪成9个圆时，半径是，面积是，个数是9倍，同样抵消。这背后是一条重要规律：半径扩大到n倍，面积就扩大到n的平方倍。 ④ 三个扇形为什么能拼成半圆？三角形的内角和是180度，三个扇形的圆心角正好是三角形的三个内角，把它们拼在一起，三个角合起来就是180度；三个扇形的半径又都相等，所以拼成的图形是一个半径不变、圆心角180度的半圆。它的面积就是同半径圆面积的一半。 ⑤ 按2:1放大，为什么面积变成4倍而不是2倍？因为“2:1”说的是每条边与原来对应边的比是2:1，长变成2倍，宽也变成2倍，长方形面积＝长×宽，两个2相乘就是4，所以面积变成4倍。切记：比指的是边的比，不是面积的比。 ⑥ 为什么数对要先列后行？这是数学上的一种约定：横着数叫列，竖着数叫行，说位置时先说横向的第几个，再说纵向的第几个。约定本身没有对错，但必须统一，否则(4,7)和(7,4)就会指同一个点，位置就说不清了。平移时，左右移动只改列、上下移动只改行，也是这个约定带来的规律。 三、方法归纳 （一）圆的四个量互求的三条通道 ① 由直径求半径：r＝d÷2。如d＝8厘米，r＝4厘米。 ② 由周长求半径：r＝C÷3.14÷2。如C＝62.8厘米，先得直径20厘米，再得半径10厘米。 ③ 由面积求半径：想“几乘几等于S÷3.14”。如S＝28.26平方分米，28.26÷3.14＝9，因为3×3＝9，所以r＝3分米。六年级不学开方，用乘法反推即可。 （二）解决圆的实际问题的一般步骤 ① 读题圈关键词：是求长度还是求面积？有没有“至少”“约”“滚动几圈”这类词？ ② 判断中间量：求路程要先求周长，求占地要先求半径。 ③ 列式计算：写清每一步求的是什么，不跳步。 ④ 统一单位后再作答：5652厘米＝56.52米，7400000厘米＝74千米。 （三）组合图形的两条思路 ① 剪、拼：看能不能拼成学过的图形。三个扇形拼成半圆，就是因为圆心角合起来180度。 ② 减、补：用大图形面积减去小图形面积。剪圆后剩下的铁皮＝正方形面积－圆的总面积＝144－113.04＝30.96（平方厘米）；圆环面积＝外圆面积－内圆面积。 （四）比例尺换算的双向方法 ① 先翻译：1:1000000就是“图上1厘米代表实际10千米”，心里有了这句大白话，方向就不会反。 ② 求图上距离：实际距离÷1厘米代表的实际距离。173千米＝17300000厘米，17300000÷1000000＝17.3（厘米）。 ③ 求实际距离：图上距离×1厘米代表的实际距离。7.4×1000000＝7400000（厘米）＝74（千米）。 ④ 换比例尺要重算：同样120千米，1:2000000的图上画6厘米，1:1000000的图上要画12厘米。 （五）确定位置的两套说法 ① 数对法：先约定列与行，写作（列，行），先列后行。适合座位、方格图等排列整齐的场合。 ② 方向距离法：说清观测点、方向、距离，如“B在C的正西方向1格处”“清凉岛在黎明岛北偏东40度方向20千米处”。适合地图、野外等场合。 ③ 图形变换的坐标规律：左右平移列变行不变，上下平移行变列不变；绕点旋转要看对应边转到什么方向、长度不变；轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等。 四、易错警示 ✗ 错误：直径8厘米，直接用3.14×8×8＝200.96求面积。 → ✓ 正确：先求半径8÷2＝4（厘米），S＝3.14×4×4＝50.24（平方厘米）。把直径当半径，面积会大4倍。 ✗ 错误：半径3厘米，用3.14×3×2＝18.84求面积。 → ✓ 正确：r²是r×r，S＝3.14×3×3＝28.26（平方厘米）。3.14×3×2算出来的是周长，不是面积。 ✗ 错误：半圆的周长算成圆周长的一半，3.14×4＝12.56（厘米）。 → ✓ 正确：半圆的周长还要加一条直径，3.14×4＋4×2＝20.56（厘米）。 ✗ 错误：地图上量得7.4厘米，就说实际最宽7.4千米。 → ✓ 正确：7.4×1000000＝7400000（厘米）＝74（千米）。图上距离要乘比例尺才能变成实际距离。 ✗ 错误：173÷1000000＝0.000173（厘米）。 → ✓ 正确：173千米＝17300000厘米，17300000÷1000000＝17.3（厘米）。千米不能直接除以比例尺，先统一单位。 ✗ 错误：数对(4,7)说成第7列第4行。 → ✓ 正确：第4列第7行，先列后行。(4,7)与(7,4)不是同一个位置。 ✗ 错误：按2:1放大后，认为面积也变成2倍。 → ✓ 正确：边长变成2倍，面积变成2×2＝4倍。比是边的比，不是面积的比。 五、典型例题 例1　圆的四个量互求（教材P116第16题） 一个圆的半径是3分米，求它的直径、周长和面积；一个圆的半径是4厘米，求它的直径、周长和面积。 解：r＝3分米时，d＝2×3＝6（分米），C＝3.14×6＝18.84（分米），S＝3.14×3×3＝28.26（平方分米）。r＝4厘米时，d＝2×4＝8（厘米），C＝3.14×8＝25.12（厘米），S＝3.14×4×4＝50.24（平方厘米）。 点睛：三个量都由半径出发。若题目只给直径，先除以2；只给周长，先除以3.14再除以2；只给面积，用“几乘几”反推半径。 例2　独轮车与钢丝（教材P116第17题） 独轮车车轮的外直径是45厘米。从钢丝的一端骑到另一端，车轮正好滚动40圈。这根钢丝至少长多少米？ 解：3.14×45＝141.3（厘米），141.3×40＝5652（厘米），5652厘米＝56.52米。答：这根钢丝至少长56.52米。 点睛：滚一圈前进一个周长。“至少”说明钢丝长不少于滚过的路程；问“多少米”就必须把厘米化成米，5652÷100＝56.52。 例3　圆形羊圈（教材P116第18题） 牧民围出一个周长约94.2米的圆形羊圈。这个羊圈的面积大约是多少平方米？ 解：94.2÷3.14÷2＝15（米），3.14×15×15＝706.5（平方米）。答：这个羊圈的面积大约是706.5平方米。 点睛：94.2÷3.14得到直径30米，再除以2得到半径15米。两步各有各的用处，不能只除一次就去求面积。 例4　剩下的铁皮一样大吗（教材P116第19题） 三块边长都是12厘米的正方形铁皮，分别剪下1个最大的圆、4个同样大的圆、9个同样大的圆。剩下的铁皮面积相等吗？ 解：正方形面积12×12＝144（平方厘米）。剪1个圆，半径6厘米，3.14×6×6＝113.04；剪4个圆，每个半径3厘米，4×3.14×3×3＝113.04；剪9个圆，每个半径2厘米，9×3.14×2×2＝113.04。144－113.04＝30.96（平方厘米）。答：三种剪法剩下的面积相等，都是30.96平方厘米。 点睛：圆的总面积都是113.04平方厘米。剪成4个圆，半径是、面积是、个数是4倍；剪成9个圆，半径是、面积是、个数是9倍，一缩一扩正好抵消。 例5　三个扇形的面积和（教材P116第20题） 从一块三角形铁皮上剪下3个扇形，每个扇形的半径都是5厘米。这3个扇形的面积和是多少平方厘米？它们拼在一起能得到什么图形？ 解：3.14×5×5÷2＝39.25（平方厘米）。答：面积和是39.25平方厘米，拼在一起得到一个半圆。 点睛：三个扇形的圆心角就是三角形的三个内角，合起来180度，半径又相同，所以拼成半圆，面积就是圆面积的一半。半径是6厘米时，面积和是3.14×6×6÷2＝56.52（平方厘米）。 例6　按比放大与缩小（教材P116第21题） 方格纸上有一个长4格、宽2格的长方形。把它按2:1的比放大，再按1:2的比缩小，分别写出放大、缩小后的长和宽，并比较面积。 解：放大后长4×2＝8（格）、宽2×2＝4（格），面积8×4＝32（格）；缩小后长4÷2＝2（格）、宽2÷2＝1（格），面积2×1＝2（格）。原长方形面积4×2＝8（格）。答：放大后面积是原来的4倍，缩小后面积是原来的。 点睛：放大、缩小只改变大小，形状和角度都不变，长与宽的比始终是2:1。边长乘n，面积乘n的平方。 例7　鄱阳湖的比例尺（教材P117第22题） 鄱阳湖湖区南北长173千米，地图的比例尺是1:1000000。(1) 图上南北长多少厘米？(2) 量得湖区东西最宽7.4厘米、最窄0.3厘米，实际最宽、最窄各多少千米？ 解：(1) 173千米＝17300000厘米，17300000÷1000000＝17.3（厘米）。(2) 7.4×1000000＝7400000（厘米）＝74（千米）；0.3×1000000＝300000（厘米）＝3（千米）。答：图上南北长17.3厘米；实际最宽约74千米，最窄约3千米。 点睛：已知实际求图上用除法，已知图上求实际用乘法，换算前先统一单位。1:1000000就是图上1厘米代表实际10千米。 例8　方格图上的数对（教材P117第23题） 方格图上三角形ABC的三个顶点是A(9,7)、B(8,4)、C(9,4)。(1) 把三角形向左平移7格，写出三个顶点的数对。(2) 绕点C顺时针旋转90度，连转三次，写出A1、A2、A3的数对。(3) 以AC所在直线为对称轴，写出B的对应点的数对。 解：(1) A(2,7)、B(1,4)、C(2,4)，列减7、行不变。(2) A1(12,4)、A2(9,1)、A3(6,4)，四点连成正方形，C是中心。(3) (10,4)。 点睛：CA长3格，每转90度，CA的方向依次变成向右、向上、向左，长度始终3格，所以三个点分别是(12,4)、(9,1)、(6,4)。以AC为对称轴时，B在轴左边1格，对应点在轴右边1格，行不变，是(10,4)。 六、拓展延伸 ① 圆与正方形的“互相包含”。边长12厘米的正方形里剪最大的圆，圆的直径就是正方形的边长12厘米；反过来，圆里画最大的正方形，正方形的对角线就是圆的直径。这两种“最大”的关系，是解决组合图形问题的一把钥匙。 ② 面积比与边长比。半径扩大到2倍，面积扩大到4倍；半径扩大到3倍，面积扩大到9倍。反过来，面积扩大到9倍，半径只扩大到3倍。记住这条规律，剪圆问题和放大缩小问题就能一眼看穿。 ③ 比例尺的“放大”用法。比例尺不一定都是缩小，画蚂蚁、画手表零件时用的是放大比例尺，如2:1，表示图上2厘米代表实际1厘米。判断是放大还是缩小，看比例尺的前项与后项谁大即可。 ④ 数对与方向的互译。同一个位置，用数对说是“第9列第7行”，用方向距离说是“在C的正北方向3格处”。两种说法各有各的方便：排列整齐时数对简洁，空旷场地上方向距离更直观。学会互译，才算真正理解“位置”。 ⑤ 生活中的应用。车轮的周长决定车子滚多远，圆形花坛的周长决定围多长的栅栏，地图的比例尺决定两地画多远，导航里的“前方500米右转”就是方向与距离。学完这一课，再看身边的世界，处处都是图形与位置。 七、本课小结 1. 圆的四个量互求，核心是“先求半径”：d÷2，C÷3.14÷2，S用“几乘几”反推；C＝πd＝2πr，S＝πr²，r²是r×r。 2. 圆的实际问题先判断求长度还是求面积：滚轮求路程先求周长，围圈求占地先求半径；算完记得统一单位，5652厘米＝56.52米。 3. 组合图形先想“能不能拼成学过的图形”，再用“减、补”求面积；剪圆后剩料相等，是因为半径缩到几分之一、面积就缩到几分之一的平方，而个数正好是几的平方倍。 4. 放大缩小看对应边：按n:1放大，边乘n、面积乘n的平方；按1:n缩小，边除以n、面积除以n的平方。形状和角度始终不变。 5. 比例尺是图上与实际的“翻译器”：1:1000000就是图上1厘米代表实际10千米；求图上用除法，求实际用乘法，换算前先统一单位。 6. 确定位置有两套说法：数对（列，行）先列后行；方向与距离要说清观测点、方向、距离，方向按“先南北、后偏东西”说。左右平移列变、上下平移行变，旋转看边长与方向，对称看到轴的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $