2.2 区间同步练- 2026-2027学年高一中职数学高教版基础模块上册

《2.2 区间》作业 高等教育出版社《数学（基础模块）上册》第二章　|　建议用时：30分钟　|　满分：100分 📌 答题要求：区间端点务必分清开闭——圆括号 ( ) 对应“取不到”（空心圈），方括号 [ ] 对应“取得到”（实心点）；涉及不等式解集的，请先在数轴上画出来再写区间。 一、选择题（每小题4分，共20分） 1．不等式 2x−6＜0 的解集用区间表示为（　　） A．(3，＋∞)　　　B．(−∞，3) C．[3，＋∞)　　　D．(−∞，3] 2．区间 [−2，5) 所表示的不等式是（　　） A．−2＜x≤5　　　B．−2≤x＜5 C．−2≤x≤5　　　D．−2＜x＜5 3．下列区间中，长度等于 4 的是（　　） A．(−1，2]　　　B．[0，4) C．(−3，−1)　　　D．[1，6] 4．已知 A＝(−∞，2)，B＝[−1，4)，则 A∩B＝（　　） A．[−1，2)　　　B．(−1，2) C．[−1，4)　　　D．(−∞，4) 5．已知 A＝[2，＋∞)，B＝(−∞，a)。若 A∩B＝∅，则实数 a 的取值范围是（　　） A．a≤2　　　B．a＜2 C．a≥2　　　D．a＞2 二、填空题（每小题4分，共24分） 6．不等式 −3x≥9 的解集用区间表示为____________。 7．不等式组 2x−1＞0 且 x−4≤0 的解集用区间表示为____________。 8．用区间表示下列集合：{x｜x＞−2}＝____________；全体实数 R＝____________。 9．区间 [a，2a＋1] 的长度可表示为____________；若该区间长度为 3，则 a＝____。 10．不等式 x²＜4 的解集用区间表示为____________。 11．设 A＝(−∞，1]，B＝[−2，＋∞)，则 A∩B＝____________，A∪B＝____________。 三、判断题（每小题4分，共16分。正确的打“√”，错误的打“×”，错误的请举出反例） 12．(−∞，3] 与 [3，＋∞) 的交集为 {3}。（　　） 理由／反例：____________________________________________ 13．区间 (2，5) 中只含有 3 个实数。（　　） 理由／反例：____________________________________________ 14．若 a＜b，则 [a，b]、(a，b)、[a，b) 三个区间的长度都是 b−a。（　　） 理由／反例：____________________________________________ 15．不等式 ≥−3 的解集为 [−6，＋∞)。（　　） 理由／反例：____________________________________________ 四、解答题（共40分） 16．（10分）解下列不等式（组），把解集用区间表示，并在数轴上画出来。 （1）3x＋5≤11； （2）−2x＜8； （3）2x−1＞0 且 x−4≤0； （4）x＋1＜0 或 2x−6＞0。 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 17．（10分）已知 A＝[−1，3)，B＝(0，5]，全集 U＝R。求： （1）A∩B；　（2）A∪B；　（3）∁ᵤA；　（4）A∩(∁ᵤB)。 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 18．（10分）已知 A＝(−2，4)，B＝[m，＋∞)。 （1）若 A∩B≠∅，求实数 m 的取值范围； （2）若 A∩B＝∅，求实数 m 的取值范围。 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 19．（10分）已知关于 x 的不等式 ax＋b＜0 的解集为 (2，＋∞)。 （1）判断 a 的符号，并说明理由； （2）求 b 与 a 之间的关系； （3）求不等式 bx−a＞0 的解集，并用区间表示。 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 ⭐ 挑战题（选做，加10分） 20．已知 A＝[−3，4)，B＝(1，6]。求 A∩B、A∪B，并求区间 A∩B 的长度。 　　 　　 　　 　　 　　 　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2.2 区间》作业答案 教师版　|　高等教育出版社《数学（基础模块）上册》第二章　|　满分：100分＋挑战题10分 一、选择题（每小题4分，共20分） 题号 1 2 3 4 5 答案 B B B A A 1．B 解析：由 2x−6＜0 得 2x＜6，两边同除以 2（2＞0，方向不变），得 x＜3。x＜3 表示所有小于 3 的实数，向左一直延伸，写作 (−∞，3)；因为取不到 3，所以 3 这一端用圆括号。⚠️ 易错：误写成 (−∞，3] 或 (3，＋∞)。 2．B 解析：方括号 [ 表示左端点 −2 取得到，即 x≥−2；圆括号 ) 表示右端点 5 取不到，即 x＜5。合起来是 −2≤x＜5。📌 口诀：“方取到、圆取不到”。 3．B 解析：区间长度＝右端点−左端点，与开闭无关。A：2−(−1)＝3；B：4−0＝4 ✓；C：(−1)−(−3)＝2；D：6−1＝5。⚠️ 易错：以为开区间 (−3，−1) 长度要“扣掉两个端点”，其实长度仍是 2。 4．A 解析：A∩B 要同时满足 x＜2 与 −1≤x＜4，即 −1≤x＜2，写作 [−1，2)。📌 端点规则：取两个区间中限制更严的那个端点，开闭也跟随它。左端点 −1 只有 B 有且是闭的，故用方括号；右端点 2 来自 A 且是开的，故用圆括号。 5．A 解析：A＝[2，＋∞) 是 2 及其右边（含 2），B＝(−∞，a) 是 a 的左边（不含 a）。交集为空要求 B 伸不到 A 的起点，即 a≤2。验证 a＝2：B＝(−∞，2) 不含 2，A 从 2 开始，无公共点，交集为 ∅ ✓，故 a＝2 可取。⚠️ 易错：只写 a＜2 而漏掉 a＝2，这是端点取舍问题，务必代回验证。 二、填空题（每小题4分，共24分） 6．(−∞，−3] 解析：两边同除以 −3，因为 −3＜0，由性质4，不等号方向必须改变，得 x≤−3，即 (−∞，−3]。⚠️ 本卷最高频错误：除以负数忘记变号会错写成 x≥−3，即 [−3，＋∞)。 7．(，4] 解析：由 2x−1＞0 得 x＞；由 x−4≤0 得 x≤4。“且”取交集，公共部分为 ＜x≤4。左端点 取不到用圆括号，右端点 4 取得到用方括号。 8．(−2，＋∞)；(−∞，＋∞) 解析：x＞−2 表示 −2 右边的所有实数，−2 取不到用圆括号，向右无限延伸也永远取不到，故写作 (−2，＋∞)。全体实数从负无穷到正无穷，两端都取不到，写作 (−∞，＋∞)。⚠️ 关键：±∞ 不是实数，永远取不到，所以 ±∞ 这一端只能用圆括号，绝不能写成 [−∞ 或 ＋∞]。 9．a＋1；a＝2 解析：长度＝右端点−左端点＝(2a＋1)−a＝a＋1。令 a＋1＝3，得 a＝2。验证：a＝2 时区间为 [2，5]，长度 5−2＝3 ✓。⚠️ 补充：区间要有意义须 a≤2a＋1，即 a≥−1，a＝2 满足。 10．(−2，2) 解析：由 x²＜4 得 x²−4＜0，即 (x＋2)(x−2)＜0，两根为 −2、2，“小于取中间”，故 −2＜x＜2，写作 (−2，2)。⚠️ 易错：只写正数部分 (0，2)，漏掉 −2＜x＜0。 11．A∩B＝[−2，1]；A∪B＝R 解析：A∩B 同时满足 x≤1 与 x≥−2，即 −2≤x≤1，写作 [−2，1]。A∪B：A 覆盖 1 及其左边全部，B 覆盖 −2 及其右边全部，两段拼起来覆盖整条数轴，故 A∪B＝R，也可写作 (−∞，＋∞)。 三、判断题（每小题4分，共16分） 12．√ 解析：(−∞，3] 即 x≤3，[3，＋∞) 即 x≥3，同时成立只有 x＝3，故交集为 {3}。⚠️ 关键：两个区间在 3 处都是闭的，3 才被共同取到；若改成 (−∞，3)∩[3，＋∞)，交集就是 ∅。 13．× 解析：反例：2.1、2.5、3、4.99 都在 (2，5) 内。事实上 2 与 5 之间有无穷多个实数。⚠️ 纠正直觉错误：区间内的实数个数与长度无关。(0，1) 长度只有 1，里面的实数却和 (0，100) 一样多，都是无穷多个。 14．√ 解析：区间长度定义为右端点减左端点，开闭不影响长度。a＜b 时，[a，b]、(a，b)、[a，b)、(a，b] 的长度都是 b−a＞0。 15．√ 解析：两边同乘 2，2＞0，方向不变，得 x≥−6，即 [−6，＋∞)。⚠️ 对比辨析：若是 − ≥−3，两边同乘 −2＜0，方向必须改变，得 x≤6，即 (−∞，6]。可见“变不变号”只取决于所乘（除）的数是不是负数。 四、解答题（共40分） 16．解：（10分） （1）由 3x＋5≤11，两边同减 5（性质3，方向不变），得 3x≤6； 　　两边同除以 3（3＞0，性质4，方向不变），得 x≤2。 　　区间表示：(−∞，2]。数轴：在 2 处画实心点，向左画箭头。 （2）由 −2x＜8，两边同除以 −2（−2＜0，性质4，方向必须改变），得 x＞−4。 　　区间表示：(−4，＋∞)。数轴：在 −4 处画空心圈，向右画箭头。 （3）由 2x−1＞0 得 x＞；由 x−4≤0 得 x≤4。 　　“且”取交集，公共部分为 ＜x≤4。 　　区间表示：(，4]。数轴： 处空心圈、4 处实心点，中间连线。 （4）由 x＋1＜0 得 x＜−1；由 2x−6＞0 得 x＞3。 　　“或”取并集，两段不相连，都要保留。 　　区间表示：(−∞，−1)∪(3，＋∞)。数轴：画两段分开的射线。 【评分标准】每小题 2.5 分，其中解出不等式 1 分、区间开闭正确 1 分、数轴正确 0.5 分，共 10 分。 ⚠️ 第(2)问未改变不等号方向的，该小题不得分。 17．解：（10分） A＝[−1，3)，B＝(0，5]，U＝R。 （1）A∩B：同时满足 −1≤x＜3 与 0＜x＜5，得 0＜x＜3，即 (0，3)。 　　两端都是开的：左端点 0 来自 B 是开的，右端点 3 来自 A 是开的。 （2）A∪B：从 −1（闭）一直连到 5（闭），中间不断开，即 [−1，5]。 （3）∁ᵤA：A 为 −1≤x＜3，补集为 x＜−1 或 x≥3， 　　即 (−∞，−1)∪[3，＋∞)。📌 规律：原区间闭的端点，补集里变开；开的变闭。 （4）∁ᵤB＝(−∞，0]∪(5，＋∞)； 　　A∩(∁ᵤB)＝[−1，3)∩[(−∞，0]∪(5，＋∞)]＝[−1，0]。 　　（A 最远只到 3，与 (5，＋∞) 无公共部分，故只取 [−1，0] 这一段。） 【评分标准】每小题 2.5 分，结果正确 1.5 分、开闭端点全对 1 分，共 10 分。 18．解：（10分） A＝(−2，4) 即 −2＜x＜4；B＝[m，＋∞) 即 x≥m。 （1）A∩B≠∅ 表示两区间有公共部分。 　　B 从 m 出发向右无限延伸，A 的上界是 4 且取不到 4， 　　要有公共部分，m 必须严格小于 4，即 m＜4。 　　验证 m＝4：B＝[4，＋∞)，A＝(−2，4) 取不到 4，交集为 ∅ ✗，故 m＝4 舍去。 　　验证 m＝3.5：B＝[3.5，＋∞)，公共部分为 [3.5，4)，非空 ✓。 　　所以 m＜4，即 m∈(−∞，4)。 （2）A∩B＝∅ 是（1）的反面，故 m≥4，即 m∈[4，＋∞)。 　　验证 m＝4：交集确为 ∅ ✓，所以 m＝4 要取到，端点用方括号。 【评分标准】每小题 5 分，其中数轴示意 1 分、得出范围 3 分、端点取舍说明 1 分。 💡 讲评要点：先把固定的 A 画在数轴上，再让 B 的左端点 m 从左往右滑动， 　观察 m 滑到哪个位置开始与 A 脱离，比纯代数推理直观得多，也最能讲清端点取舍。 19．解：（10分） 已知 ax＋b＜0 的解集为 (2，＋∞)，即 x＞2。 （1）a＜0。 　　理由：由 ax＋b＜0 移项得 ax＜−b。 　　若 a＞0，两边同除以正数 a，方向不变，得 x＜， 　　解集形如 (−∞，t)，是向左延伸的； 　　若 a＜0，两边同除以负数 a，方向必须改变，得 x＞， 　　解集形如 (t，＋∞)，是向右延伸的。 　　题目给的解集 (2，＋∞) 向右延伸，故 a＜0。 （2）由 a＜0，两边同除以 a 时不等号方向改变，得 x＞。 　　与解集 x＞2 对比，端点必须相等，即 ＝2， 　　所以 −b＝2a，即 b＝−2a（且 a＜0）。 （3）把 b＝−2a 代入 bx−a＞0，得 −2ax−a＞0，即 −2ax＞a。 　　因为 a＜0，两边同除以 −2a。注意 −2a＞0（负数乘负数为正）， 　　所以除以 −2a 时不等号方向不变，得 x＞ ＝−。 　　解集为 (−，＋∞)。 验证：取 a＝−1，则 b＝−2a＝2，原不等式为 −x＋2＜0，即 −x＜−2， 　　　两边除以 −1 变号得 x＞2，解集 (2，＋∞) ✓。 　　　再看 bx−a＞0 即 2x＋1＞0，得 x＞−，与上面结论一致 ✓。 【评分标准】(1)3分，(2)3分，(3)4分，共10分。 💡 本题的关键有两处：一是判断 a 的符号时要看不等号方向和解集方向的对应关系； 　二是第(3)问中除数是 −2a，因为 a＜0 所以 −2a＞0 是正数，方向不变—— 　很多同学一看到 a＜0 就习惯变号，这里是最容易翻车的地方，讲评时务必板书强调。 ⭐ 挑战题（选做，加10分） 20．解： A＝[−3，4)，B＝(1，6]。 （1）A∩B：同时满足 −3≤x＜4 与 1＜x＜6，得 1＜x＜4，即 (1，4)。 　　交集“左端取大、右端取小”：左端取 1 与 −3 中较大的 1（B 中取不到，圆括号）， 　　右端取 4 与 6 中较小的 4（A 中取不到，圆括号），两端都开。 　　📌 端点规则：取两个区间中限制更严的那一端，开闭也跟随它。 （2）A∪B：并集“左端取小、右端取大”，从 −3（闭）一直连到 6（闭）， 　　A 的右端 4 落在 B 内部，中间没有断开，即 [−3，6]。 （3）A∩B＝(1，4) 的长度＝右端点−左端点＝4−1＝3。 　　⚠️ 长度与开闭无关，(1，4)、[1，4]、(1，4] 的长度都是 3。 【评分标准】(1)4分，(2)3分，(3)3分，共10分；结果正确但端点开闭写错的，该问减半给分。 💡 本题把“交、并、长度”三个考点串在一起，是本节最基础也最重要的综合题， 　建议全班必做。解题时先在数轴上把 A、B 用两种颜色画出来， 　重叠的部分就是交集，两段合起来就是并集，一眼就能看出端点开闭。 学科网（北京）股份有限公司 $