期末复习 练习与应用(一) 数与运算 知识清单-2026-2027学年数学六年级上册苏教版

《期末复习 练习与应用（一）数与运算》知识清单 苏教版·2026-2027学年·数学六年级上册　（教材P114~P115） 一、知识梳理 本课是期末复习的第二课时，复习的内容是“数与运算”，对应教材第114~115页的14道题。这14道题不是零散的计算，而是一条完整的知识链：从口算到笔算，从准确计算到取近似值，从按顺序算到用运算律简算，最后落到用计算解决问题。复习时请抓住一条主线——先算准，再算巧，最后用活。下面把全课要点整理成表。 内容 要点 举例 小数乘法 先按整数乘法算出积，再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 4.8×6.7＝32.16（两个因数共两位小数） 小数除法 先把除数转化成整数，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变；除到哪一位不够商1，就在那一位上商0。 9.9÷0.75＝990÷75＝13.2 取近似值 保留两位小数要除到千分位，看千分位上的数四舍五入；横式上写“≈”；末尾的0表示精确度，不能去掉。 0.742÷3.8＝0.1952…≈0.20 分数乘法 分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分再乘。 ×＝ 分数除法 除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数。 5÷＝5×＝7 四则混合运算 先乘除后加减；有括号先算括号里面的，先小括号再中括号。 36÷[(17.5＋0.5)×8]＝0.25 运算律 乘法分配律：a×c＋b×c＝(a＋b)×c。两个积中有相同因数时，可以把两个积合并成一个积。 ×＋×＝×1＝ 分数解决问题 先找单位“1”：单位“1”已知，用乘法；单位“1”未知，用除法或列方程。 ÷＝2（千米）……全长 工程问题 把工作总量看作“1”，工作效率＝1÷单独完成的时间，合作工效＝各人工效之和。 1÷(＋)＝＝4又（小时） 按比例分配 先求总份数，再求1份是多少，最后求各部分；已知一个部分时，用这个部分除以它对应的份数。 0.78÷(5＋1)＝0.13（公顷） 比与比例 两个比的比值相等，就能组成比例；交换前项与后项、交换两个比的位置，可以得到不同的比例。 4.8:3＝6.4:4（比值都是1.6） 用一句话记住本课：小数乘除看小数点，混合运算看顺序，能简算的看数据，解决问题看单位“1”。 二、算理剖析 ① 小数乘法为什么可以先按整数算，最后再点小数点？因为小数是计数单位的累加。4.8是48个0.1，6.7是67个0.1，4.8×6.7就是48×67个0.01，48×67＝3216，3216个0.01就是32.16。所以只要数清两个因数一共有几位小数，积就有几位小数，从右往左数出几位点上小数点即可。这也解释了为什么0.48×0.67的积是0.3216——两个因数共四位小数。 ② 小数除法为什么可以把除数变成整数？依据是商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。9.9÷0.75中除数是两位小数，把被除数和除数同时乘100，变成990÷75，商不变，仍是13.2。所以竖式计算时“划掉小数点、移动小数点”的动作，背后是商不变规律在起作用，不是随便移的。 ③ 保留两位小数，为什么要看千分位？因为“保留两位小数”就是精确到百分位，百分位后面的数都要舍去。要判断百分位上的数该不该加1，就要看它后面一位，也就是千分位：千分位满5进一，不满5舍去。3.7×0.46＝1.702，千分位是2，舍去得1.70；0.742÷3.8＝0.1952…，千分位是5，进一，0.19进一得0.20。 ④ 为什么0.19进一之后要写成0.20，而不写成0.2？因为0.19的百分位是9，加1满十，要向十分位进一，十分位由1变成2，百分位写0，所以是0.20。这里的0既表示百分位上的计算结果，也表示精确到百分位，不能省略。同理1.70末尾的0也不能去掉，去掉就变成精确到十分位了。 ⑤ ×＋×为什么能用乘法分配律？因为这个算式正好是“两个积相加，而且两个积里有相同的因数”的结构，符合a×c＋b×c＝(a＋b)×c。把提出来，括号里是＋，正好等于1，所以一步就得。如果算式里没有相同因数，比如5÷－×，就不能套分配律，只能按顺序算。 ⑥ 工程问题为什么可以把工作总量看作“1”？因为这类题只关心“完成得多快”，不关心“一共多少”。把总量设为1，一人8小时完成，每小时就完成总量的；另一人10小时完成，每小时完成。两人合起来每小时完成＋＝，看1里面有几个，就需要几小时，所以是1÷＝（小时）。总量设成1、设成2、设成100，结果都一样，设成1最简便。 三、方法归纳 （一）小数乘法的三步 ① 按整数算：先把两个因数看成整数，算出积。 ② 数位数：数一数两个因数一共有几位小数。 ③ 点小数点：从积的右边起数出同样的位数，点上小数点；位数不够时，前面用0补足。 （二）小数除法的三步 ① 移小数点：看除数有几位小数，就把除数和被除数的小数点同时向右移动几位，把除数变成整数。 ② 按整数除法算：除到哪一位，商就写在哪一位的上面；不够商1就商0。 ③ 查商的小数点：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。 （三）取近似值的三步 ① 算到位：除到比要求保留的位数多一位（保留两位小数就除到千分位）。 ② 看下一位：看千分位上的数，满5进一，不满5舍去；注意连续进位，如0.19进一成0.20。 ③ 写约等号：横式上写“≈”；结果末尾的0要保留，表示精确度。 （四）混合运算的两把尺子 ① 第一把尺子量顺序：先乘除后加减；有括号先算括号，先小括号再中括号。 ② 第二把尺子量数据：看有没有相同的因数、能不能凑整凑1，符合运算律的就简算，不符合的按顺序算。 ③ 特别提醒：5÷要乘，不能乘；除法和乘法的转化只有“乘倒数”这一条路。 （五）找单位“1”的四问 ① 问“谁和谁比”：是地下线和高架线比，还是余下面积和整块菜地比？ ② 问“比谁的几分之几”：多是多谁的？是4.5小时的。 ③ 问“已知还是未知”：单位“1”已知用乘法，未知用除法或列方程。 ④ 问“分率还是数量”：是分率，不能与4.5小时相加；千米是数量，可以直接加减。 （六）两个模型：按比例分配与工程 ① 按比例分配：先求总份数（5＋1＝6），再求1份（0.78÷6＝0.13），最后求各部分（0.13×5＝0.65，0.13×1＝0.13）。已知一个部分时，用这个部分除以它对应的份数求1份。 ② 工程问题：把总量看作“1”，工效＝1÷时间，合作工效相加，合作时间＝1÷合作工效。 四、易错警示 ✗ 错误：0.742÷3.8＝0.1952…，保留两位小数写成0.19。 → ✓ 正确：千分位是5，要向百分位进一；百分位9加1满十再向十分位进一，结果是0.20。这里的连续进位最容易漏。 ✗ 错误：3.7×0.46＝1.702，保留两位小数写成1.7。 → ✓ 正确：应写1.70。1.70表示精确到百分位，末尾的0不能去掉；去掉就变成精确到十分位了。 ✗ 错误：小斌比小亮多，算成4.5＋。 → ✓ 正确：是分率不是数量，要先算4.5×＝1（小时），再算4.5＋1＝5.5（小时）。分率只能乘单位“1”，不能与数量直接相加。 ✗ 错误：判断两车能否相遇，只算甲车2.8小时行的90×2.8＝252（千米）。 → ✓ 正确：相遇是两车共同走完全程，要先求乙车速度90×＝60（千米/时），再算(90＋60)×2.8＝420（千米），与460千米比较。 ✗ 错误：一块60平方米的菜地，先用20平方米种茄子，再用余下的种黄瓜，算成60×＝40（平方米）。 → ✓ 正确：单位“1”是余下的面积，60－20＝40（平方米），40×＝26又（平方米）。 ✗ 错误：5÷算成5×＝。 → ✓ 正确：除以一个数等于乘它的倒数，5÷＝5×＝7。可以这样想：5里面有7个。 ✗ 错误：看到“香樟树与银杏树的比是7:9”，就说“香樟树比银杏树多8棵”。 → ✓ 正确：7:9的前项小于后项，说明香樟树比银杏树少。比的前项、后项要与“多”“少”一一对应；若真要多8棵，比应写成9:7。 五、典型例题 例1　小数乘法与取近似值（教材P114第3题） 计算 3.7×0.46，得数保留两位小数。 解：先按整数算，37×46＝1702；两个因数一共有三位小数，从积的右边起数出三位点上小数点，得1.702；保留两位小数看千分位，千分位是2，舍去，得1.70。所以 3.7×0.46＝1.702≈1.70。 点睛：先算准、再取近似，两步不能混。写成1.7就错了，因为1.7只精确到十分位。 例2　小数除法与连续进位（教材P114第3题） 计算 0.742÷3.8，得数保留两位小数。 解：把除数和被除数同时扩大10倍，变成7.42÷38；除到千分位得0.1952…；保留两位小数看千分位，千分位是5，向百分位进一，百分位9加1满十，再向十分位进一，得0.20。所以 0.742÷3.8＝0.1952…≈0.20。 点睛：这一题有两个坎——除数是小数要转化，连续进位要算清。0.19进一成0.20，不是0.20写成0.2。 例3　混合运算与乘法分配律（教材P114第4题） 计算：(1) (－)÷；(2) ×＋×。 解：(1) 先算括号，－＝－＝；再乘的倒数，×＝＝。(2) 两个积中有相同的因数，逆用乘法分配律：×(＋)＝×1＝。 点睛：第(1)题的关键是“除以一个分数等于乘它的倒数”，并且先约分再乘；第(2)题的关键是看出“相同因数”，一步合并。判断能不能简算，就看有没有相同因数、能不能凑成1。 例4　单位“1”未知用除法（教材P115第9题） 第一周铺设了千米，是全部地下管道长度的；第二周铺设了全长的。第二周铺设管道多少千米？ 解：千米对应全长的，单位“1”是全长且未知，用除法求全长：÷＝2（千米）。第二周铺设全长的：2×＝＝1.5（千米）。也可以列方程：设全长x千米，x＝，解得x＝2，再算2×＝1.5（千米）。答：第二周铺设管道1.5千米。 点睛：先问“谁是单位1”，再问“已知还是未知”。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法；也可以列方程，两种方法是一回事。 例5　工程问题（教材P115第11题） 两名图书管理员整理图书，一人单独整理完需要8小时，另一人单独整理完需要10小时。两人合作整理，需要多少小时完成？ 解：把工作总量看作“1”。一人每小时完成，另一人每小时完成，两人合作每小时完成＋＝＋＝。1÷＝1×＝＝4又（小时）。答：两人合作需要4又小时完成。 点睛：工程问题三句话——总量看作1，工效等于1除以时间，合作时间等于1除以工效和。结果要化成带分数，并写清单位。 例6　按比例分配的正用与逆用（教材P115第12题） (1) 0.78公顷田地中，水田和旱地面积的比是5:1。水田和旱地各有多少公顷？(2) 水田和旱地面积的比是5:1，水田有0.65公顷。旱地有多少公顷？ 解：(1) 总份数5＋1＝6，每份0.78÷6＝0.13（公顷），水田0.13×5＝0.65（公顷），旱地0.13×1＝0.13（公顷）。(2) 水田5份是0.65公顷，每份0.65÷5＝0.13（公顷），旱地1份就是0.13公顷。答：水田0.65公顷、旱地0.13公顷；水田0.65公顷时旱地0.13公顷。 点睛：两问的比相同，解法不同。(1)已知总数求部分，先求总份数；(2)已知一个部分求另一个部分，用这个部分除以它对应的份数。做完记得验算：0.65＋0.13＝0.78。 例7　比的应用与验算（教材P115第14题） 校园里的香樟树与银杏树棵数的比是7:9，香樟树比银杏树少8棵。两种树一共有多少棵？ 解：香樟树7份、银杏树9份，相差9－7＝2份，这2份正好对应少的8棵，所以每份8÷2＝4（棵）。总份数7＋9＝16，一共4×16＝64（棵）。验算：香樟7×4＝28（棵），银杏9×4＝36（棵），36－28＝8（棵），28:36＝7:9，符合题意。答：两种树一共有64棵。 点睛：比的应用题，先找“差对应几份”或“和对应几份”，再求1份。求完一定要验算，既查数量，也查比。 六、拓展延伸 ① 为什么同一道小数乘法，竖式算出来的积有时位数不够？例如0.48×0.67，48×67＝3216，两个因数共四位小数，可3216只有四位数字，正好够；如果是0.048×0.067，48×67＝3216，两个因数共六位小数，就要在3216前面补两个0，写成0.003216。位数不够时用0补足，这也是“先按整数算、再点小数点”的一部分。 ② 简算的本领，说到底是“看结构”的本领。×＋×能简算，是因为有相同因数；0.36＋9.6÷3.2不能简算，因为没有相同因数、也没有凑整的可能。今后遇到计算题，先花三秒钟扫一眼：有没有相同因数？能不能凑成整十、整百、整1？扫完再动笔，往往能省一半力气。 ③ 单位“1”是会“变”的。第7题里，整块菜地是“1”，余下的面积也是“1”，题目问的是“余下的”，单位“1”就换成了余下的面积。所以做题时不能只看“”这个数，要顺着“的”字往前找——“谁的”，谁就是单位“1”。 ④ 工程问题还可以反过来问：如果两人合作4又小时完成，甲单独做要8小时，乙单独做要几小时？这时先求合作工效1÷＝，再减去甲的工效，得乙的工效－＝＝，所以乙单独做要10小时。正着算、反着算都练一练，模型才算真正掌握。 七、本课小结 1. 小数乘法：先按整数算，再数两个因数中小数的位数，从积的右边起数出几位点上小数点；位数不够用0补足。 2. 小数除法：把除数变成整数，被除数和除数同时扩大相同的倍数（商不变）；取近似值要除到千分位，看千分位四舍五入，横式写“≈”，末尾的0不能去掉。 3. 混合运算：先看顺序（先乘除后加减，有括号先算括号，先小括号再中括号），再看数据（有相同因数就用乘法分配律，没有就按顺序算）。 4. 解决问题：先找单位“1”，已知用乘法，未知用除法或方程；分清分率与数量，分率不能与数量直接相加减；比的前项后项要与“多”“少”对应。 5. 两个模型要记牢：工程问题把总量看作“1”，合作时间＝1÷工效和；按比例分配先求总份数再求1份，已知部分时用部分除以对应份数。做完都要验算——既查得数，也查关系。 学科网（北京）股份有限公司 $