第一章 特殊平行四边形 章末知识总复习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大初中数学九年级上册 第一章 特殊的平行四边形 章末总复习 1 一、明晰体系，结构知识化 特殊化 特殊化 2 二、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 平行四边形 矩形 菱形 正方形 3 三、知识点1 菱形的性质及判定 概念 性质 对称性 判定 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 四条边相等 对角线互相垂直 既是轴对称图形, 又是中心对称图形 四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 4 三、知识点2 矩形的性质及判定 定义 性质 对称性 判定 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 四个角都是直角 对角线相等 既是轴对称图形 , 又是中心对称图形 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 矩形 直角三角 形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 （1）矩形的一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形； （2）矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形. 5 三、知识点3 正方形的性质及判定 定义 性质 对称性 判定 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 四条边都相等 对角线互相垂直平分且相等 既是轴对称图形, 又是中心对称图形 有一组邻边相等的矩形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 正方形 四个角都是直角 对角线垂直的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 正方形的对角线将正方形分成八个全等的等腰直角三角形； 6 菱形 矩形 正方形 轴对称 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 边 对边平行， 四边都相等 对边平行 且相等 角 对角相等， 邻角互补 四个角 都是直角 对角线 对角线互相 垂直平分 对角线相等 且互相平分 轴对称图形 中心对称图形 对边平行 四条边相等 四个角 都是相等 对角线相等 互相垂直平分 四 菱形、矩形、正方形的性质对比 7 四边形 条件 矩形 菱形 正方形 五 菱形、矩形、正方形的判定对比 ①定义：有一外角是直角的平行四边形 ②三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 ①定义：一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 ①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 8 六 中点四边形 中点四边形：顺次连接四边形四边中点的四边形 一般四边形的中点四边形是平行四边形； 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是 原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系； 中点四边形的周长等于原四边形对角线之和；面积等于原四边形面积一半 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 A D B C E G H F 9 特殊四边形的基本图形 平行四边形 _____________________________ 是过对称中心 的任一条直线 _____________________________ 点 是平行四边形内任意一点 __________________________________点 是对角 线上任意一 点 结 论 = 一对全等 三角形； ；； ； 两对全等 三角形； 10 结论 _____________________________ _____________________________ __________________________________ 特殊四边形的基本图形 菱形 _____________________________ _____________________________ __________________________________ H 菱形ABCD中 ∠A=60°,连接BD (1)△ABD、△CBD、 △DEF均是等边三角形 (2)△ADE≌△BDF △DBE≌△DCF (3)AE=BF,BE=CF BD=BE+BF 菱形ABCD中 D在AC上， 连接DN、BN (1) △ADN≌△ABN △CDN≌△CBN (2)DN=BN 菱形ABCD中 AC⊥BD (1)S△ABC=1/2 AC·BD (2)AC2+BD2=4AB2 (3)AB·DH=1/2 AC·BD 11 特殊四边形的基本图形 结论 _____________________________ _____________________________ __________________________________ 矩形 _____________________________ _____________________________ __________________________________ 矩形ABCD中 O在AC上，EF//AD,MN//AB (1)矩形DMOE面积=矩形BFON面积 (2)矩形ADEF面积=矩形ABNM面积 (3)矩形CDMN面积=矩形BCEF面积 (4)四边形AOED面积=四边形AONB面积 (5)四边形COMD面积=四边形COFB面积 A C D B P 矩形ABCD中,P在矩形内一点 (1)S△ABP+S△CDP= S△ADP+S△BCP =1/2 SABCD (2)AP2+CP2=BP2+DP2 12 正方形 _____________________________ _____________________________ __________________________________ 特殊四边形的基本图形 结 论 A B C D P DP=BP; A B C D P E F 条件：正方形ABCD， P在对角线BD上若PE⊥AD, PF⊥AB 结论： EF=CP; EF ⊥ CP A B C D O E F 条件：正方形ABCD 若OE⊥OF 结论：OE=OF; √2OA=AE+AF 四边形AEOF面积为定值 条件：正方形ABCD中 E、F在AB、DC上，M、N在AD、BC上， 若EF⊥MN 结论：EF=MN 条件： 正方形ABCD中 E在DC上，CF平分∠BCD的外角，EF⊥AE, 结论：AE=EF 13 特殊四边形的基本图形 结论 _____________________________ _____________________________ __________________________________ 正方形 _____________________________ _____________________________ __________________________________ O 结论：①△ABC面积=△AFH面积；FH2+BC2=√2(AB2+AC2) 若连接CF、BH交于O,则 ②BH=CF; BH⊥CF; ③OF+OB=√2OE； OC+OH=√2OG； ④OB平分∠BOC; ⑤若AD是中线，则AM⊥FH；FH=2AD； ⑥若AM⊥FH，则AD是中线； 如图，四边形ABCD是正方形，M，N分别在DC、BC上，且∠MAN=45°，即“半角模型” 结论：（1）MN=DM+BN; (2)△CMN的周长=正方形ABCD周长的一半； (3)AM平分∠DMN；AN平分∠MNB； (5)△AEN、△AFM均是等腰直角三角形； (6)DE2+BF2=EF2； (7)△ANM的高AH=AB,△ANM的面积=1/2 MN·AB； H 14 同步练习 1.如图，要使▱ABCD是矩形，需要增加的条件是( ____ ) A.AC与BD互相平分 B.AB=AD C.AC=BD D.AC⊥BD C 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件后，不能确定四边形ABCD是菱形的是( ____ ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠BAC=∠DAC C 15 同步练习 3.如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6cm,BD=8cm,点P为线段BC上的一个动点(不与端点重合)，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，连接MN， 则MN的最小值为 cm 解：∵AC=6cm,BD=8cm,∴AO=OC=3cm,BO=OD=4cm； ． ∵PM⊥AC，PN⊥BD，AC⊥BD， 四边形PMON为矩形，∴MN=OP． 因此，求MN的最小值等价于求点O到线段BC的最短距离， 即当OP⊥BC时取得最小值． ， 或，∴ ，即MN的最小值为 16 同步练习 4.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点(不与A、B重合)，过点E作EM∥BD，交AD于点M，作E、M关于BD的对称点F、G，联结EF、MG交BD于点P、H．下列说法正确的是( _ ) ①四边形EFGM周长是定值；②四边形EPHM周长是定值． A.①、②均正确 B.①正确②错误 C.②正确①错误 D.①②均错误 B 17 解：设正方形ABCD的边长为a,则a为定值， AB=a,∠A=∠EBF=90°，∠ABD=45°， 设BE=x,则AE=AB-BE=a-x, ∵EM∥BD，∴∠AEM=∠ABD=45°， 在△AEM中，∠A=90°，∠AEM=45°， ∴△AEM是等腰直角三角形，∴AM=AE=a-x, 由勾股定理得：EM= = AE= ， ∵点E、M关于BD的对称点为F、G， ∴EF⊥BD，EP=FP= EF，MG⊥BD，MH=GH= MG，EM∥FG， ∴BD是EF的垂直平分线，∴BF=BE=x, ∵EM∥BD，∴EF⊥EM，EF⊥FG，MG⊥EM，MG⊥FG， ∴四边形EFGM和四边形EPHM都是矩形，∴PH=EM=FG= ， 在△BEF中，∠EBF=90°，由勾股定理得：EF= = BE= ， ∴MG=EF= ，∴EP=MH= EF= ， ∴矩形EFGM周长为：2EM+2EF= = 为定值； 矩形EPHM的周长为：2EM+2EP= = 不是定值， 同步练习 5.如图，矩形ABCD中，点F在线段BC上，连接AF．AE平分∠BAF交BC于点E，过点E作EM⊥AF，垂足为点N，交AD于点M．若AB=6，BE=2，则△AMN的面积为( ____ ) A.12 B.24 C.36 D.48 B 19 解：∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠NAE． ∵EM⊥AF，∴∠ANE=90°， 在矩形ABCD中，∠B=90°， 在△ABE和△ANE中：∠B=∠ANE=90°． ∠BAE=∠NAE．AE=AE(公共边)， ∴△ABE≌△ANE(AAS)． AN=AB=6，EN=BE=2． 设MN=x. 在矩形ABCD中，∠BAD=90°， ∴∠MAE+∠BAE=90°，∵EM⊥AF， ∴∠ANE=90°，∴∠AEN+∠EAN=90°， 又∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠EAN， ∴∠MAE=∠AEN，也就是∠MAE=∠MEA， ∴AM=ME， ∵M、N、E三点共线，∴ME=MN+EN=x+2， ∴AM=x+2， 将AM=x+2代入得(x+2)2=36+x2，解得：x=8． ∴MN=8． △AMN是直角三角形，两直角边分别为AN和MN． 面积S△AMN= •AN•MN= ×6×8=24． 同步练习 6.如图，▱ABCD的两条对角线相交于点O．已知▱ABCD的面积为24，BD的长为8，当AO的长为 ____ 时，▱ABCD是菱形． 3 7.菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示(边框厚度忽略不计)，则其透光面积为 ______ cm2． 2400 21 同步练习 8.菱形ABCD中，点E是边AD的中点，EF⊥BC交直线BC于点F． 若DE=3CF，EF=4 ，则菱形ABCD的边长为 　　． 或 22 同步练习 9.已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q． 若∠FQP=45°，则EF的长为　　． M 6 23 同步练习 10.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD=6，OE= ，则菱形ABCD的面积是　　． 6 24 同步练习 11.如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AD及其延长线上，BE∥CF，连接CE，BF． (1)求证：△BDE≌△CDF； (2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形． (1)证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∵BE∥CF，∴∠BED=∠CFD， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF(AAS)； (2)证明：∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，即EF⊥BC， 由(1)知△BDE≌△CDF， ∴BE=CF， 又∵BE∥CF， ∴四边形BFCE是平行四边形， ∵EF⊥BC， ∴四边形BFCE是菱形． 25 同步练习 12.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线对称． (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE=3，AD=5，求线段OC长． 26 (1)证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称， ∴BD⊥AC，BO=DO， ∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO， 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO(ASA)， ∴AB=CD， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； (2)解：由(1)得：四边形ABCD是菱形， ∴OC=OA= AC，AD=BC=CD=5， ∴BE=BC+CE=5+3=8， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=90°， 在Rt△CED中，DE= = =4， 在Rt△BED中，BD= = =4 ， ∵S菱形ABCD=DE•BC， S菱形ABCD= AC•BD=OC•BD， ∴DE•BC=OC•BD， ∴OC= = = ． 同步练习 13.在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为直线AC上一点，连接BE，过E点作EF⊥BE，交AD边所在的直线于点F． (1)如图①，当点E在OC上时，求证：AB+AF= AE； (2)如图②，当点E在OA上时；如图③，当点E在CA的延长线上时，请分别写出线段AB，AF，AE之间的数量关系，不需要证明． ________ 28 (1)证明：如图①，过点E作EG⊥AC交AB的延长线于点G，∴∠AEG=90°， ∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线， ∴∠BAC=∠DAC=45°， ∴∠G=90°-∠BAC=45°， ∴△AGE是等腰直角三角形， ∴AE=EG，∴ ， ∵EF⊥BE， ∴∠FEA+∠AEB=∠FEB=90°， ∵∠AEB+∠BEG=90°， ∴∠FEA=∠BEG， 又∵∠FAE=∠G=45°，AE=EG，∠FEA=∠BEG， ∴△AEF≌△GEB(ASA)，∴AF=BG， ∴AG=AB+BG=AB+AF， ∵ ， ∴ ； (2)解：图②： ；图③： ．理由如下： 如图②，过点E作EH⊥AC交AB于点H，∴∠AEH=90°， ∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线， ∴∠BAC=∠DAC=45°， ∴∠AHE=90°-45°=45°， ∴△AHE是等腰直角三角形， ∴AE=EH，∴ ， ∵EF⊥BE，∴∠FEA+∠FEH=∠AEH=90°， ∵∠FEH+∠HEB=90°， ∴∠FEA=∠HEB， 又∵∠DAC=∠AHE=45°， ∴∠FAE=∠BHE=180°-45°=135°， ∵∠FAE=∠BHE，AE=EH，∠FEA=∠HEB， ∴△AEF≌△HEB(ASA)， ∴AF=BH， ∵AB=AH+BH， ∴ ； 如图③，过点E作EK⊥AE交AF于点K， ∵四边形ABCD是正方形，AC，BD是对角线， ∴∠BAC=∠DAC=∠EAK=45°， ∴∠AKE=90°-45°=45°， ∴△AKE是等腰直角三角形， ∴AE=EK，∴ ， ∵EF⊥BE， ∴∠FEK+∠KEB=∠FEB=90°， ∵∠KEB+∠BEA=90°， ∴∠FEK=∠BEA， 又∵∠AKE=∠BAC=45°， ∴∠FKE=∠BAE=135°， ∵∠FEK=∠BEA，EK=AE，∠FKE=∠BAE， ∴△KEF≌△AEB(ASA)， ∴FK=AB，∵AF=AK+FK，∴ ． ___ 同步练习 32 $