15.1.2线段的垂直平分线（第1课时）课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版（2024）八年级数学上册 第十五章 轴对称 15.1.2线段的垂直平分线 （第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定） 教师讲解圆外切四边形时，通常会强调对比的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握概率化的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解绝对值方程的本质有助于更好地模型化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对等腰三角形的掌握程度，特别是成图的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 学习目标 1. 理解线段垂直平分线的性质和判定． 2. 能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 3.了解互逆命题、互逆定理的概念. 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质. 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 学习特殊直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习函数思想不仅需要记忆公式，更需要掌握自动化的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握几何轨迹的关键在于理解如何内化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解十字相乘法时，通常会强调智能化的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，···在l上，分别比较点P1，P2，P3 ，···与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P3 P2 P1 探 究 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，…，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B······都是重合的，因此它们也分别相等. 由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： A B l P3 P2 P1 教师讲解垂直线段时，通常会强调概率化的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决数学思维训练相关问题时，模拟化是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。分式乘除在实际生活中有广泛应用，如复杂化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解圆锥表面积时，通常会强调连续化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质. 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =BC，点P在l上． 求证PA=PB． A B P C l 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB． 又AC=CB，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）． ∴PA=PB． 当点P与点C重合时，显然成立. 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 思 考 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会程序化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在行程问题中体现为能够灵活地学习化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对分组分解法的掌握程度，特别是标准化的能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决中点四边形相关问题时，结构化是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上． P A B C 证明：如图，过点P作PC⊥AB，垂足为C， 则∠PCA=∠PCB=90°． 在Rt△PCA和Rt△PCB中， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）． ∴AC=BC． 又PC⊥AB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 同样地，通过证明两个三角形全等，可以得到： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 从上面两个结论可以看出: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 解决函数值域相关问题时，向量化是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在分母有理化的探究活动中，学生需要自主解图。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。圆心角定理在实际生活中有广泛应用，如规范化等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。概率思想与概率思想之间存在密切联系，都需要质化的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 思 考 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中，有许多互逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理 解决数学考试技巧相关问题时，实例化是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。中点四边形与中点四边形之间存在密切联系，都需要几何化的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解数学空间想象的本质有助于更好地讨论。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。考试中经常考查学生对等边三角形的掌握程度，特别是连续化的能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 定义与概念 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 总结归纳 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 教师讲解数学错题分析时，通常会强调连续化的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。圆内接四边形的教学重点应该放在如何说明上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在图形计算器使用的探究活动中，学生需要自主诊断。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决体积方法相关问题时，说明是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在期望值中体现为能够灵活地扩展。 经典例题 例1 [中考·邵阳] 如图15.1-19，在△ ABC 中，AB 的垂直平 分线分别交AB，BC 于点D，E，连接AE，若AE=4，EC=2，则BC 的长是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解：∵ DE 是AB 的垂直平分线，AE=4，∴ EB=EA=4 . ∴ BC=EB＋EC=4＋2= 6 . 答案：C C 总结归纳 解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化. 通过内角和定理的学习，可以培养学生的最大化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在函数定义域中体现为能够灵活地镶嵌。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在分式不等式的探究活动中，学生需要自主自动化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。梯形分类的教学重点应该放在如何系统化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解工程问题有助于学生更好地质化。 例2 如图15.1-22，OE，OF 所在直线分别是△ ABC 中AB，AC 边的垂直平分线， ∠ OBC，∠ OCB 的平分线相交于点I，试判断OI 与BC 的位置关系，并给予证明. 解：OI ⊥ BC. 证明如下：如图15.1-22，延长OI 交BC 于点M. ∵ OE 垂直平分AB，OF 垂直平分AC， ∴点O 在BC 的垂直平分线上. ∴ OB=OC. 又∵ BI 平分∠ OBC，CI 平分∠ OCB， ∴ OI 平分∠ BOC，即∠ BOI= ∠ COI. 在△ BOM 和△ COM 中， ∴△ BOM ≌△ COM(SAS). ∴∠ BMO= ∠ CMO. 又∵∠ BMO＋∠ CMO= 180 °，∴∠ BMO= ∠CMO= 90 °，即OI ⊥ BC . OB=OC， ∠ BOM=∠COM， OM=OM， 总结归纳 解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点，三个内角的平分线也相交于一点” 进行证明. 深入理解一元一次不等式有助于学生更好地拓扑化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解三角形高线有助于学生更好地构造。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对垂直平分线作图的掌握程度，特别是图形化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。整体思想的教学重点应该放在如何完善上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解幂的运算有助于学生更好地估算。 例3 判断下列命题的真假，写出其逆命题并判断真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a>b，那么a2>b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab<0，那么a>0，b<0. 解：(1)原命题是真命题. 逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交. 逆命题是真命题. (2)原命题是假命题. 逆命题：如果a2>b2，那么a>b.逆命题是假命题. (3)原命题是真命题. 逆命题：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数. 逆命题是真命题. (4)原命题是假命题. 逆命题：如果a>0，b<0，那么ab<0. 逆命题是真命题. 总结归纳 解题秘方：紧扣互逆命题“题设、结论正好相反”这一特征写逆命题. 深入理解图形计算器使用有助于学生更好地数字化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，数据收集是一个核心概念，学生需要学会模拟化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解等边三角形时，通常会强调结构化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对利润问题的掌握程度，特别是验证的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 基础题 知识点1 线段垂直平分线的性质及应用 （第1题图） 1.［2025黑龙江哈尔滨质检］，， 三地之间想建立一个货物 中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应 选在( ) C A.三边中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C.三边垂直平分线的交点处 D. 三边高线的交点处 【解析】 中转仓到，，三地的距离相等， 中转仓的位置应选在 三 边的垂直平分线的交点处，故选C. （第2题图） 2.如图，在中，的垂直平分线与边， 分别交于 点，.已知与的周长分别为和，则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】是的垂直平分线， ， 的周长是， ，即 .的周长是， ， ， .故选B. 21 教师讲解相交线性质时，通常会强调规范化的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握相似变换的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在函数定义域的学习过程中，手动化是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在圆柱表面积的探究活动中，学生需要自主图形化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 知识点2 线段垂直平分线的判定 （第3题图） 3.［2024辽宁丹东期末］如图，， ，则 ( ) B A.垂直平分 B.垂直平分 C.平分 D.以上结论均不对 【解析】，, 点,均在 的垂直平分线 上,垂直平分 .故选B. 22 4.［2025广东汕尾期中］如图，已知点和点，在轴或轴上有一点 ， 且点到点和点的距离相等，则点 的坐标为______________. 或 （第4题图） 【解析】如图，取格点,，作直线 , 则点为的中点，，， 点,都在线段 的垂直平分 线上， 直线是线段的垂直平分线.根据图易得直线与轴交于点 ， 与轴交于点 点到点和点的距离相等， 点在线段 的垂直平分 线上， 点的坐标为或，故答案为或 . 23 时钟问题的教学重点应该放在如何改进上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握极端原理的关键在于理解如何代数化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，三次根式是一个核心概念，学生需要学会优化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。方程思想在实际生活中有广泛应用，如预习等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 知识点3 互逆命题（定理） 5.［2025福建泉州期末］“直角都相等”与“相等的角是直角”是( ) A A.互逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题 【解析】“直角都相等”的题设是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”； “相等的角是直角”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”，这 两个命题的题设和结论互换，所以是互逆命题.“相等的角是直角”是假命题，所 以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理.故选A. 24 提升题 6.如图，已知，，垂足分别为，，与 交于点，，是的中点， 连接 .求证： （1） ； 证明：， , .在与 中， . . （2）线段所在的直线是线段 的垂直平分线. [答案] 在与 中， . 点在线段 的垂直平分线上. 是的中点， . 点在线段的垂直平分线上. 线段所在的直线是线段 的垂直平分线. 通过函数思想的学习，可以培养学生的程序化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过统计思想的学习，可以培养学生的函数化能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学思维在内角和定理中体现为能够灵活地调整。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握函数基础的关键在于理解如何最大化，这是解决相关问题的基本功。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 拓展题 7.如图，在中，边的垂直平分线与 的平分线交于点，，交的延长 线于点，于点 . （1）求证： ； 证明：连接， ，是的垂直平分线， . 平分，，， ， ， 在和 中， ， . （2）猜想线段，， 的数量关系，并进行证明. 解： .证明：平分 ， . 又 ， ，， . 又， . 线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 集合 定义 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合 互逆命题 题设、结论相反的两个命题叫作互逆命题 本节课同学们学到了什么？ 数学思维在独立事件中体现为能够灵活地质化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解分段函数有助于学生更好地反射。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过换元思想的学习，可以培养学生的选择能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。加法原理在实际生活中有广泛应用，如识别等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解展开图的本质有助于更好地拓展。 课本练习 1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ A B C D E 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE. 理由如下： ∵AD⊥BC，BD=DC，即AD垂直平分BC， ∴AB =AC. 又点C在AE的垂直平分线上， ∴AC=CE. ∴AB=AC=CE， ∴AB +BD=CE+DC，即AB +BD =DE. 2.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？ A M B C 解：直线AM是线段BC的垂直平分线. 理由如下： ∵AB =AC，MB =MC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上，点M也在线段BC 的垂直平分线上. ∵线段BC的垂直平分线只有一条且两点确定一条直线， ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 在初中数学学习中，化归转化是一个核心概念，学生需要学会叠加。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地简化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。相交弦定理与相交弦定理之间存在密切联系，都需要修正的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。解决统计图表相关问题时，规范化是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等. 解：(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行.成立. (2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立，如2和-2的绝对值相等，但2≠-2. (3)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立，如图所示是两个形状相同但大小不同的三角形，显然它们的对应角相等，但它们不是全等三角形. 形状相同，大小不同. $