精品解析：2026年上海市初中学业水平考试 数学 调研试卷

上海市初中学业水平考试 数学调研试卷 （考试时间100分钟，满分150分） （试卷共6页，答题纸共2页） 一．选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 南翔寺砖塔是上海现存最古老的佛塔．在比例尺为的图纸上，量得该塔的高是厘米，那么它实际的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例尺的意义计算即可得出结果，注意单位的换算． 【详解】解：由比例尺得，实际高度为厘米， 换算为米是米． 2. 在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 3. 下列图形，相似的一组是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 4. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差 D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可． 【详解】甲班视力值分别为：； 从小到大排列为：；中位数为， 平均数为；极差为 方差为； 乙班视力值分别为：； 从小到大排列为：，中位数为 平均数为；极差为 方差为； 甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D选项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键． 5. 已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作垂线构造直角三角形，证，利用求出长度，在中算出． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 二．填空题：（本大题共9题，每题4分，满分36分） 6. 如果，那么的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例设参数，代入所求表达式化简计算即可． 【详解】解：， 设，（）， ． 故答案为6． 7. 已知函数，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数，代入，求解即可． 【详解】函数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的_____函数． 【答案】正比例 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，常量与变量．由正比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数． 故答案为：正比例． 10. 一个布袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从布袋中任取一个球记下数字作为点P的横坐标x，不放回小球，然后再从布袋中取出一个球记下数字作为点P的纵坐标y，那么点落在直线上的概率是_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=x+1的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 1 （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，3） 3 （3，1） （3，2） 共有6种等可能的结果，其中，点落在直线上的结果有2种， ∴点落在直线上的概率=． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比，还需要注意实验是不放回实验． 11. 明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长________尺.（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 【答案】15 【解析】 【分析】设竿长尺，则绳长尺，根据“将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”列一元一次方程，求解即可． 【详解】设竿长尺，则绳长尺， 由题意得：， 解得， 所以，竿长为15尺， 故答案为：15. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键. 12. 如图，过原点且平行于的直线与反比例函数（,）的图像相交x于点C，过直线上的点，作轴于点B，交反比例函数图像于点D，且，那么点C的坐标为______. 【答案】() 【解析】 【分析】由条件可求得D点坐标，则可求得反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解析式可求得C点坐标． 【详解】解：A(1，3)，AB⊥x轴点B， AB=3， OB= 1， ， BD=1， D(1，1)， 点D在反比例函数图象上， ，解得k=1， 反比例函数解析式为， 联立直线与反比例函数解析式可得 解得或， C ()． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及，函数图象的交点，联立方程组求交点是解题的关键 13. 如图，在中，点、、分别为边、、的中点，分别连接、、、，点是与的交点，下列结论中，正确的序号________． ①的周长是周长的一半； ②与互相平分； ③如果，那么点到四边形四个顶点的距离相等； ④如果，那么点到四边形四条边的距离相等． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】利用三角形中位线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，解答即可． 【详解】解：点、、分别为边、、的中点， ，是的中位线， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形；与互相平分，的周长是周长的一半， 故①②正确； 四边形平行四边形，， ∴四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等且互相平分，得点到四边形四个顶点的距离相等， 故③正确； ， ， 四边形平行四边形， ∴四边形是菱形， 根据菱形的对角线垂直且互相平分，且每条对角线平分一组对角，根据角的平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得点到四边形四条边的距离相等． 故④正确． 14. 如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______. 【答案】4 【解析】 【分析】解：如图，联结CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解． 【详解】解：如图，联结CE， ， ， 六边形是正六边形， AB=AF=EF=BC，， ， ， ， ， 四边形BCEF是平行四边形， ， 的面积为1，， 的面积为， 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 三．解答题：（本大题共8题，满分94分） 15. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、绝对值的意义、分数指数幂以及二次根式化简等知识作答即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂、绝对值的意义、分数指数幂以及二次根式化简等知识，熟悉相关运算法则是解答本题的关键． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】x2-2xy-3y2="0" (x-y)2-4y2=0 又因：x-y=2代入上式 4-4y2=0 y=1或y=-1 再将y=1、y=-1分别代入x-y=2 则 x=1、x=3 ∴ 17. 如图，在四边形中，，，点E是的中点，连接． （1）求线段的长； （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作于F，根据矩形的性质得到，根据正切的定义求出，计算即可； （2）过点E作于G，根据相似三角形的判定和性质求出，进而求出，根据正切的定义计算，得到答案． 【小问1详解】 解：过点D作于F， 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴ 在中，， 则， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作于G， 则， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，掌握正切的定义是解题的关键． 18. 定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的对顶值．如图，在中，，顶角的对顶值记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的对顶值的定义，解决下列问题： （1）的值为 ． （2）对于，的对顶值的取值范围是 ． （3）如果，其中为锐角，试求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）顶角为的等腰三角形是等边三角形，直接按的定义求解即可； （2）根据三角形两边之和大于第三边，求出对顶值范围； （3）作高构造直角三角形，利用设边长，用勾股定理算出，代入定义求． 【小问1详解】 解：根据题意可知， ， 为等边三角形， ， ． 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作，则， ， 设，， ， ， ， ， ． 19. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表： 课题 测量教学大楼的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量方案示意图 说明 点、在点的正东方向 是教学大楼旁的居民住宅楼 是教学大楼正南方向的“校训石”，借助进行测量，使、、三点在一条直线上，点、在点的正南方向 测量数据 从点处测得点的仰角为37°，从点处测得点的仰角为45°，米 从点处测得点的仰角为37°，测得点的俯角为45° 米，从点处测得点的仰角为37°，从点处测得点的仰角为45° （1）根据测量方案和所得数据，第______小组的数据无法算出大楼高度？ （2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度． 【参考数据：，，】 【答案】（1）二；（2）36米 【解析】 【分析】（1）根据第二组只测了角度，未给出距离相关信息即可判断； （2）由锐角三角函数可求，，由，列出方程可求解． 【详解】（1）∵第二组中没有线段长度的数据，所以无法测出AB的高度， ∴填第二组， 故答案为：二． （2）可选第一组的方案， 设， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：教学大楼高36米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 20. 已知：和相交于、两点，线段的延长线交于点，、的延长线分别交于点、． （1）、，、分别与连心线相交于点、点．如图1，求证：； （2）如图2，已知，当点与重合，的半径为4时，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接，，，，，． ∵是连心线，是公共弦， ∴，． ∴垂直平分． ∴，． 又， ∴． ∴． ∴． 又，， ∴． ∴． ∴． ∴ ，即． ∴是的垂直平分线． ∴． ∴． （2）的半径为3 【解析】 【分析】本题主要考查“圆的基本性质”，连接半径，通过圆的性质推导出线段之间的数量关系和位置关系是解题关键． （1）连接半径，根据同圆的半径相等，推出是的垂直平分线，进而推出，再通过补角的性质和等腰三角形的性质，推出，得到也是的垂直平分线，即可得证． （2）利用（1）中得到的，连接半径，借助等腰三角形的性质，通过等角转换，求出，再通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接、． ∵，∴．∵，∴． ∵，∴．∴． ∴． ∵，∴． 在中，，，∴． ∴的半径为3． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G. （1）求抛物线的表达式； （2）以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标. 【答案】（1） （2） ①，证明：∵的圆心为G，的圆心为E， ∴GE是与圆心的连线， ∵两圆相切时，圆心的连线经过切点， ∴当与内切时，GE经过切点， ∵点B是线段GE延长线上的点，且在上， ∴点B是与内切时的切点， ∴点B在以点E为圆心，为半径的上， ∴， ② 【解析】 【分析】（1）将抛物线的解析式可以写成的形式，与对比即可求出a，b的值，进而求出抛物线的表达式； （2）①画出大致图形，证明点B是与内切时的切点，即可得到；②设点F的坐标为，用含m的代数式分别表示出和，列等式即可求出m的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于点，， ∴抛物线的解析式可以写成的形式， 即， ∴，， ∴，， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意作图如下， ①略 ②在中， 令得， ∴抛物线与y轴交于点C的坐标为， 设直线BC的解析式为， 将和的坐标代入， 得， ∴， ∴设直线BC的解析式为． ∵点F在抛物线上， ∴设点F的坐标为， 由题意轴， ∴点E的坐标为， ∵点F在BC的上方， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∵点E在线段BC上， ∴， ∴, ∵， ∴， 整理得，， 解得或3， 当时，点E，F，B重合，此时不存在， 故不合题意，应舍去， ∴， 当时， ， ∴求点F的坐标为． 【点睛】本题考查求一次函数、二次函数的解析式，圆与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标的特征，三角函数解直角三角形等知识点，证明点B是与内切时的切点，进而得到是解题的关键． 22. 已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式； （3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1 易得四边形ADHM是正方形， ∵ 又∠FED=∠MEA ∴△ ∴ ∵ ∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∵， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴△FMH∽△MCH ∴ ∴， ∴ （2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2， ∵， ∴， ∵MH⊥DC， ∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠HCM=90° ∵∠FMC=90°， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴ ∴，即， ∴ ∴，， ∴ ∴ 由可得 ∴定义域为 （3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，联结AG，AF，如图 ∵ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ 点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，联结DM，如图 ∵， ∴， ∴ ∵∠，∠FMC为直角， ∴，垂直平分 ∴，， ∴ 综上，或 【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市初中学业水平考试 数学调研试卷 （考试时间100分钟，满分150分） （试卷共6页，答题纸共2页） 一．选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 南翔寺砖塔是上海现存最古老的佛塔．在比例尺为的图纸上，量得该塔的高是厘米，那么它实际的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形，相似的一组是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 4. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差 D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 5. 已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：（本大题共9题，每题4分，满分36分） 6. 如果，那么的值为________． 7. 已知函数，那么_______． 8. 因式分解：______． 9. 圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的_____函数． 10. 一个布袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从布袋中任取一个球记下数字作为点P的横坐标x，不放回小球，然后再从布袋中取出一个球记下数字作为点P的纵坐标y，那么点落在直线上的概率是_________. 11. 明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长________尺.（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 12. 如图，过原点且平行于的直线与反比例函数（,）的图像相交x于点C，过直线上的点，作轴于点B，交反比例函数图像于点D，且，那么点C的坐标为______. 13. 如图，在中，点、、分别为边、、的中点，分别连接、、、，点是与的交点，下列结论中，正确的序号________． ①的周长是周长的一半； ②与互相平分； ③如果，那么点到四边形四个顶点的距离相等； ④如果，那么点到四边形四条边的距离相等． 14. 如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______. 三．解答题：（本大题共8题，满分94分） 15. 计算：. 16. 解方程组： 17. 如图，在四边形中，，，点E是的中点，连接． （1）求线段的长； （2）求的正切值． 18. 定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的对顶值．如图，在中，，顶角的对顶值记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的对顶值的定义，解决下列问题： （1）的值为 ． （2）对于，的对顶值的取值范围是 ． （3）如果，其中为锐角，试求的值． 19. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表： 课题 测量教学大楼的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量方案示意图 说明 点、在点的正东方向 是教学大楼旁的居民住宅楼 是教学大楼正南方向的“校训石”，借助进行测量，使、、三点在一条直线上，点、在点的正南方向 测量数据 从点处测得点的仰角为37°，从点处测得点的仰角为45°，米 从点处测得点的仰角为37°，测得点的俯角为45° 米，从点处测得点的仰角为37°，从点处测得点的仰角为45° （1）根据测量方案和所得数据，第______小组的数据无法算出大楼高度？ （2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度． 【参考数据：，，】 20. 已知：和相交于、两点，线段的延长线交于点，、的延长线分别交于点、． （1）、，、分别与连心线相交于点、点．如图1，求证：； （2）如图2，已知，当点与重合，的半径为4时，求的半径． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G. （1）求抛物线的表达式； （2）以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标. 22. 已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $