安徽合肥一六八中学2026-2027学年高三上学期数学周测（二）试题

合肥一六八中学2026-2027学年高三上学期数学周测（二） 考试时间：120分钟 考试满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若为复数，，则（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 6．若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足对，有，且对，都有．设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知正实数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 10．已知两个正数，，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最大值为 D．的最小值为 11．已知函数，，下列说法正确的是（    ） A．有极小值为 B．对于恒成立，则实数的取值范围是 C．当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D．若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．若非零实数满足且，则的值为__________. 13．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______ 14．已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是________ 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（本题满分13分） （1）已知，求关于的不等式的解集； （2）已知集合，若，使得能成立，求实数的取值范围． 16．（本题满分15分） 已知函数，. (1)求的最值； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 17.（本题满分15分） 已知函数在上为奇函数，. (1)求实数m的值； (2)存在，使成立. （i）求t的取值范围；（ii）若恒成立，求n的取值范围 18.（本题满分17分） 已知函数，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； (3)在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 19．（本题满分17分） 对给定的实数a，b，q，其中，.对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： （i）对任意的，都有；（ii）对任意的，．则称为在区间上的一个“q-压缩函数”．区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作． (1)判断下列函数，是否属于集合？ ①，②； (2)若满足对任意的，，求的取值范围； (3)若函数是区间上的“q-压缩函数”，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 试卷第2页（共4页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 合肥一六八中学2026-2027学年高三上学期数学周测（二）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B C A D B AD ABD 题号 11 答案 BD 1．D 【详解】， ， 所以. 2．D 【详解】由，得，即， 所以，即， 所以， 所以． 3．A 4．B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 5．C 【详解】由二倍角公式可得，且为第二象限角， 所以，，从而， 故，所以，故选C. 6．A 【详解】易知，所以曲线在点处的切线为， 同理，所以在点处的切线为， 由题意知两条切线重合，所以， 两边同时取以为底的对数得， 则. 7．D 【分析】由中，令，得到，求得，得到A不一定正确，C错误；又由中，令，，可判定B错误，D一定正确. 【详解】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 8．B 【详解】在中令得，所以， 因为函数满足，都有， 所以时，，所以是增函数，所以是增函数， ， 不等式即为， 所以，即， 设，显然它是增函数，不等式为， 所以，恒成立，，令， 则，恒成立， 令，则， 时，，是减函数，时，，是增函数， 所以， 所以. 9．AD 【详解】若，因为，则，所以， 与矛盾，故不成立，所以，故A正确； 若，因为，则，所以， 与矛盾，故不成立，所以， 取，满足，，此时，故B错误； 取，满足，， 所以满足，此时，故C错误. 因为，，，所以，所以， 又，所以，所以，故D正确； 故选：AD. 10．ABD 【详解】， ，即，当且仅当时取等号， 的最大值为，故A正确； ， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，又， ，即，当且仅当时取等号， 的最大值为，故C错误； ，， ， 二次函数开口向上，对称轴为，， 当时函数取得最小值，最小值为 故选：ABD． 11．BD 【详解】对于A，，，求导得， 当时，，当时，， 函数在处取得极大值为，无极小值，A错误； 对于B，由已知，， 当时，，当时，， 函数在递减，在上递增，， 由对于恒成立，得，解得，B正确； 对于C，，函数定义域为，求导得， 设切点坐标为，则在处，的切线方程为：， 则，化简得，当时，，此方程无解；当时，，此方程无解； 当时，，满足要求， 因此方程只有这1个解， 即过原点有且仅有一条直线与相切，C错误； 对于D，由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 令函数，则，即为， 因为函数在上单调递增，则，即， 所以方程有两个不等实根， 由A选项知，，函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为从正数趋近于时，；时，，， 所以的值域为， 因此方程有两个不等实根，必有，解得， 所以a的取值范围为，D正确． 12． 【详解】， 由，可得：， 解得：. 13. 14. 15．（1）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2） 【详解】（1）由题意知，即， 方程的根为，. 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为. （2）解不等式，移项通分得，等价于且， 解得，故. “使得”等价于. 当时，，需满足且，解得； 当时，，，不满足； 当时，，，故，不满足. 综合可得a的取值范围为. 16．(1)有最小值，无最大值 (2) 【详解】（1）由题， 则时，时， 所以在上单调递减，在单调递增， 又时， 所以函数有最小值，无最大值； （2）当时恒成立，即恒成立， 显然时上述不等式恒成立， 当时，， ， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 17．(1) (2)（i）（ii） 【详解】（1）由题意函数在上为奇函数， 所以， 因为，所以解得，经检验符合题意. （2）（i）由（1）得在上为奇函数， 显然在上单调递增，在上单调递减， 所以由复合函数单调性可知在上单调递减， 从而在上单调递减， 所以 ，即， 因为，所以，所以； （ii）由（2）（i）得，所以， 若恒成立，则恒成立， 所以当，即时，，所以n的取值范围为. 18．(1) (2)由（1）知，当时，在上单调递增，没有极值点； 当时，，由函数，（）的图象知， 当时，存在唯一的，使， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故只有1个极值点， 因为，且，故1是在区间上唯一的零点，且， 由，， 令，则， 在单调递增，所以，所以， 所以， 令，则， 令，则， 所以当时，，单调递减； 所以当时，，单调递增； 所以，即， 所以当时，，则， 所以在单调递增，， 则，所以， 故存在唯一的，使得， 所以有两个零点. (3)由（2）知，，，， 当时，，时， ， 又在上单调递增， 要证，只要证，即证， 由，得，即要证， 因为，则，所以只需证，（*） 设（），则，令， 则，显然在上单调递增，且， 所以 在上恒成立，故在上单调递增， 又，故 在上恒成立， 所以在上单调递增，又，故， 故，得到，即（*）式成立， 故，从而，证毕. 19．【详解】（1）①不属于集合，②属于集合. ①，，则；， ，而，所以不符合题意； ②，，则， ，在上单调递增， ，证明即可，即证， 即证，即证单调递减，令，， 所以得证，即，符合题意. （2）设 ， 所以，， 设，， 则在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，         ， 恒成立， 因为，则，， 所以. （3）证明：令，因为在上的图像是一段连续曲线， 所以在上也是连续的，且对任意， 所以由，则， 则，，即； 同理，则，，即. 若，或，则或， 故满足，使得； 若，且，则且，且在上连续， 则由零点存在性定理可知，，使得； 下面证明唯一存在性.假设存在，，使得，， 则，由题意函数是区间上的“q-压缩函数”， 但根据条件②，存在，使得，即， 则，这与矛盾，故假设错误；所以存在唯一的，使得 答案第2页（共10页） 答案第1页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一六八中学2026-2027学年高三上学期数学周测（二） 考试时间：120分钟 考试满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若为复数，，则（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 6．若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足对，有，且对，都有．设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知正实数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 10．已知两个正数，，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最大值为 D．的最小值为 11．已知函数，，下列说法正确的是（    ） A．有极小值为 B．对于恒成立，则实数的取值范围是 C．当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D．若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．若非零实数满足且，则的值为__________. 13．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______ 14．已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是________ 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（本题满分13分） （1）已知，求关于的不等式的解集； （2）已知集合，若，使得能成立，求实数的取值范围． 16．（本题满分15分） 已知函数，. (1)求的最值； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 17.（本题满分15分） 已知函数在上为奇函数，. (1)求实数m的值； (2)存在，使成立. （i）求t的取值范围；（ii）若恒成立，求n的取值范围 18.（本题满分17分） 已知函数，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点； (3)在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 19．（本题满分17分） 对给定的实数a，b，q，其中，.对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： （i）对任意的，都有；（ii）对任意的，．则称为在区间上的一个“q-压缩函数”．区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作． (1)判断下列函数，是否属于集合？ ①，②； (2)若满足对任意的，，求的取值范围； (3)若函数是区间上的“q-压缩函数”，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 答案第2页（共4页） 答案第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $