湖南湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2026-2027学年高三上学期第四次起点考试数学试卷

泸溪一中2027届高三第四次起点考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．若集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．下列有关复数，的等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 4. 现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个参演，又不在最后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 5．若实数是方程在区间上不同的两根，则（    ） A． B． C． D． 6．若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（    ） A． B． C． D．65 7．已知正四面体的棱长为6，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. 5 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分． 9．已知事件，满足，，则（    ） A．事件，相互独立 B．事件，互斥 C． D． 10. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，为自然对数的底数，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 13．设正整数，其中，．记．从集合中随机抽取一个数，则的概率为________． 14. 已知平面内有5个互不相等的单位向量，，，，.若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B； (2)若，求面积的取值范围； 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 17．一电动机器人宇树需放入电池才能启动．现抽屉中备有块规格相同的电池，其中块为一次性电池，另外块为可反复使用的充电电池．每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉． (1)在已知第次取出一次性电池的条件下，求第次取出的是可充电电池的概率； (2)设是离散型随机变量，在给定事件条件下的期望定义为： 其中为的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率．设表示电动机器人宇树前次使用中取出一次性电池的块数，表示前次使用中取出可充电电池的块数，求； 18. 已知抛物线C：过点，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点. （1）若直线的斜率为-1，且，求直线的方程； （2）若直线不经过点P，且直线与直线的斜率之积为4，过点P作直线垂直于点G，求点G到C的准线距离的最大值. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求满足的的取值范围； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 泸溪一中2027届高三第四次起点考试 数学试卷参考答案 1．D【详解】由，即，解得，所以，当时，，符合，当时，由，解得，所以，因为，所以，解得.综上可得的取值范围为.故选：D 2．C【详解】已知点，，，则 ，，投影向量为，，，所以.故选：C 3．A【详解】设，令，，A错误； ，B正确；，则，，因此，C正确；，D正确.故选：A 4【答案】A【详解】若甲在第三个参演，则不同的参演顺序有种；若甲不在第三个参演，则不同的参演顺序有种.根据分类加法计数原理可知，不同的参演顺序共有种. 5．A【详解】，故，因为，所以，其中，故，即，则.故选：A 6．A【详解】因为数列为公差为6，首项为1的等差数列，所以若数列为正项等比数列，，设公比为， 则，所以数列前5项和为，设，求导可得，令，可得，在上为增函数，又，当时，，所以在上为增函数，又，所以当,，，，所以，当,,所以则数列前5项和的最小值为. 7．A【分析】由 ，解得，再根据题意由求得即可.【详解】如图所示：因为正四面体的棱长为6，所以正四面体的高为：， ，则 ，解得 ，由题意得，，因为，所以，即，解得，所以.故选：A 8【答案】A【详解】设关于的对称点为，所以，可得，即对称点为，又所以“将军饮马”的最短总路程为.故选：A 9．AC【详解】因为，所以，因为，所以，所以事件，相互独立，A选项正确；若事件，互斥，则，与已知矛盾，故事件，不互斥，B选项错误；因为事件，相互独立，所以事件，相互独立，所以，C选项正确； ，不一定是，D选项错误. 10【答案】BC【详解】令， ，，则恒成立，故在，上单调递增，故，即，故 B正确，D错误．，即，故 C正确，A错误． 11【答案】BCD【分析】由，得 ， ，即 .令，利用单调性即可求解.【详解】由，得 ， ，即 .令，则，由，得，由得，则函数在上单调递减，在 上单调递增，因为，由，得，当时，，得；当时，，有，因此，即，选项B正确；当时，，选项A错误；因为，，所以 ，得 ，选项C正确；若，则 ，又，得，即，令，则，由，得，由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，与矛盾，所以，选项D正确. 12.【答案】##【详解】由，可得．当时，． 因为曲线在点处的切线与直线平行，所以． 13.【答案】【详解】因为，所以表示的二进制数最多有11位，即，而为的二进制表示中1的个数，又，且，当时，取得最大值为 ，故满足条件的均不超过 2000，所以，对应的的个数为，，对应的的个数为，，对应的的个数为，综上，满足条件的的个数为， 所以的概率为. 14.【答案】##【详解】因为这5个单位向量互不相等，且恰有1对向量互相平行，所以这2个向量互为相反向量，令，则，若，，中有2个或3个向量与垂直，则这些向量也与垂直，所以这5个向量中，至少有4对向量互相垂直，不符合题意．若，，均不与垂直，也不与垂直，则，，两两垂直，不符合平面向量的性质．故，，中恰有1个向量同时与，垂直，令，，则由题可知，从而，则 ，当且仅当与同向时，等号成立，经检验此时满足题设条件，故的最大值为． 15．(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得：， 又，所以，又，所以，即，由，所以； （2）由题意有，由正弦定理有：，所以，由（1）得，所以，所以，又为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，，所以，，所以面积的取值范围为 16【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案； （2）以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设点，求出平面的一个法向量、，利用线面角的向量求法、点到平面的距离的向量求法可得答案. 【1】在正方形中，有，又底面，平面， 所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，点是棱的中点，所以有， 又，平面，所以平面，又平面，所以； 【2】如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，设点，，设平面的法向量，，，令，可得，又，所以直线与平面所成角的正弦值，化简可得，即，所以或（舍），即点，由可得，，，所以点到平面的距离． 17．(1) (2) 【分析】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件表示第二次取出时为一次性电池，求出和即可求解； （2）求出的可能取值，求出，和即可求解. 【详解】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件表示第二次取出时为一次性电池，则，，所以. （2）由题意，的可能取值为，则，，，所以. 18【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用抛物线上的点，求出抛物线方程，设直线的方程为，代入抛物线方程，利用韦达定理和，求出的值得直线的方程； （2）直线与直线的斜率之积为4，得直线恒过定点，点在以为直径的圆上，可求点G到C的准线距离的最大值. 【1】抛物线C：过点，则有，解得，所以抛物线C的方程为.直线与C交于A，B两点，设，直线的斜率为-1时，设直线的方程为，由消去得，则有，解得，由韦达定理得，，，，，解得或（舍去），所以直线的方程为. 【2】设直线l的方程为，联立得，化简得，则，即，设，则，. 得到，.又，所以，即， 可得，代入得，即，即，即，即，又直线不经过点P，所以，则，所以直线的方程为，因此直线恒过定点.由，得，解得或.连接，因为，所以点在以为直径的圆上，所以点到的准线的距离的最大值如下，为圆心到的准线的距离加上半径，即，此时，，满足题意，因此点G到C的准线距离的最大值为. 19【答案】（1） （2） 【1】当时，，所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即； 【2】若，由，可得，令，，所以有两个正根，记两正根为，且，当，，所以在上单调递增，当，，所以在上单调递减，当，，所以在上单调递增，所以函数至多三个零点，又，，所以函数有三个零点，所以且，所以满足的的取值范围为； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $