湖南湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2026-2027学年高三上学期第六次强化考试数学试卷

泸溪一中2027届高三第六次强化考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2．设，其中是实数，则（    ） A．2 B． C． D．4 3. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则x，y，z的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则（   ） A．该组数据的平均数为94 B．该组数据的众数与中位数相同 C．该组数据的极差为8 D．该组数据的方差为4.44 10．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 11. 如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则（    ） A. B. 是等差数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一枚骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为，，，则事件“”发生的概率为______. 13．若直线是曲线在处的切线，则______________． 14．已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，且； （1）求B的大小； （2）若，，求b和的值. 16. 已知数列满足，且． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 17．如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)求平面与平面所成二面角的正弦值． 18．某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲同学第局赢的概率为 （1）求乙同学第局赢的概率； （2）求； （3）若存在，使 成立，求的最小值. 19．如图，在中，D是的中点，，过O的直线分别与边，相交于点P，Q（含，端点），设（），（）. (1)设，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 泸溪一中2027届高三第六次强化考试 数学试卷参考答案 1【答案】B【详解】因为圆：关于直线：对称， 所以直线过圆心，即，因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是2．故选：B． 2．B【详解】由，因为，可得，解得，所以，则.故选：B. 3【答案】B【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种所以每位同学的不同选修方式有种，故选：B. 4．D【详解】由可得或，由可得，故或，解得或，因此由推不出，由也推不出， 故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D 5．A【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，由题意，圆锥的母线长为，高为， 则圆锥的表面积，球的表面积，所以，解得， 则圆锥的体积，球的体积，所以圆锥的体积与球的体积的比. 6．B【详解】构造函数，由换底公式，，所以，再令，，当时，，单调递增，所以当时，，即在有，所以在上单调递减，又，，由对数函数的单调性得，，所以，所以. 7．B【详解】设等比数列的公比为，当时，可得，，，则，．因为，所以，所以，此时，又因为，可得，所以，即．令，可得，解得或（舍去），所以，因为，所以，所以 ，所以，所以，解得． 8．B【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则，设，，则，，在中，由勾股定理可得，解得，则，同理，在中，由勾股定理可得，解得，所以 9．BCD【详解】将数据从小到大排序：,该组数据的平均数为，故A不正确；该组数据的众数为，中位数为，故B正确； 该组数据的极差为，故C正确；该组数据的方差为,故D正确 10．AB【详解】，故A正确；，故，故B正确；取，则，此时，，故C错误；取，则，此时，故D错误，故选：AB 11【答案】ABC【分析】设点，根据抛物线定义列方程可判断A；根据两圆外切可得的关系，然后可证是等差数列，可判断B；根据是等差数列求出可判断C；利用裂项相消法求和可判断D.【详解】由题意可知：焦点，设点，则的半径为，则，解得，故A正确；因为与外切，则，整理可得，且，可得，即，可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B正确；则，即，则，C正确；因为，所以，所以，D错误. 12【答案】【详解】解：由于，因此当时，事件“”发生当且仅当“，，”成立，相应的概率为.故答案为：. 13．【详解】曲线，导数为，切线斜率，在处有切点纵坐标为，切线方程为，切点在该直线上，，故，. 14．【详解】因为，所以，所以函数在区间上恰有3个零点，即在上恰有3个实数根，所以，，又，所以在上恰有3个实数根，所以，解得，即的取值范围是． 15【答案】（1） （2）、 【分析】（1）由向量平行的坐标表示可得，再由正弦定理及三角形内角的性质可得，即可求B的大小； （2）由三角形的面积公式及已知条件可得，，再由余弦定理求b的值，进而求、，最后应用差角正弦公式求. 【1】∵，∴，即，又， ∴，，即. 【2】，∴且，，∴.∵∴∵，∴；∴. 16【答案】（1）证明见解析， （2） （3） 【1】由，则，又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，则，所以． 【2】由，则，所以，所以． 【3】数列中在之前共有项，所以，当时，，当时，，所以 ． 17． (1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据空间向量夹角公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）因为为的中点，，所以，因为， 所以四边形是正方形，所以，因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面. （2）如图，在平面中，过点作的垂线为轴，以为坐标原点，向量方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系．则， 设平面的法向量为，，有，取，得，设直线与平面所成的角为，则. （3）在（2）的空间直角坐标系中，，设平面的法向量为， 则取，得，故平面与平面所成二面角的正弦值为. 18【答案】（1）； （2）； （3）. 【分析】（1）由全概率公式得到甲同学第局赢的概率，从而得到答案； （2）得到为等比数列，得到通项公式，得到答案； （3）参变分离，利用导函数得到函数单调性，要求的最小值，即求的最大值，分为偶数和奇数两种情况，得到为最大值，得到答案 【1】由题意甲同学第局赢的概率为，所以乙同学第局赢的概率为 ； 【2】由已知时，，所以 ，又，所以数列 是首项为，公比为的等比数列，所以，所以 ； 【3】 即，令，则， 易知是减函数，，所以时，，单调递减，显然 ，因此要求的最小值，即求的最大值，又 ，为偶数时，，随着的增大，减小，所以，为奇数时，，随着的增大，增大，所以，所以是 中的最大值，所以，故k的最小值为. 19【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据向量线性运算直接求得和，代入即可求解； （2）根据，，三点共线可求得，利用“1”的代换和基本不等式即可求解； （3）以，为基底可表示出，，平方后相加，整理可得到关于的二次函数，根据（2）的结论有，，，换元，可得出，然后根据对勾函数的单调性可得出，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为D是的中点，所以，又因为，所以，所以，所以. （2）由（1）知，因为，，三点共线，所以，又，，，当且仅当，即，时等号成立，的最小值为3. （3），， ，，，， ， ，由（2）知，即， 由，得，，因为，所以，又，所以，即，所以，又，所以， 令，，则，，所以，根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以，所以，因为，所以根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $