30.1.2 圆的切线（1） 教学设计 2026-2027 学年人教版数学九年级上册

30.1.2 圆的切线（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册 课题名称 30.1.2 圆的切线（1） 课型 新授课 教学资源 教学内容解析 内容 切线的判定定理与切线的性质定理 教学内容解析 内容解析：《圆的切线》是在学生已经学习了圆的基本概念、点与圆的位置关系、直线和圆的三种位置关系的基础上展开学习的。切线是直线与圆位置关系中最重要的特殊情形，是本章的学习重点，也是"图形与几何"领域的核心基础知识。 本节课主要学习切线的判定定理和性质定理，不仅为下节学习切线长定理、三角形的内切圆打下良好的基础，而且为今后学习圆的综合证明、圆与函数结合等知识奠定基础，起着承上启下的重要作用。 学生通过观察、思考、探究等活动归纳得出切线的判定定理，还要学习通过简单推理得出数学结论的方法，学会"说理"和"简单推理"，培养言之有据的思考习惯，发展几何直观和推理意识核心素养。 目标与目标解析 单元整体目标 平面内直线与圆的位置关系是"图形与几何"所要研究的基本问题，本章在学生已有知识和经验的基础上，继续研究直线与圆的位置关系。本章的重点是切线的概念与切线的判定和性质，因为这些知识是"图形与几何"领域的基础知识，在以后的学习中经常要用到。 对于推理能力的培养，在本章，不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要求"说理"和"简单推理"，并了解证明，把推理和证明作为探究得出结论的自然延续。逐步深入地让学生学会说理，是本章的一个难点。 对应课标： ① 理解直线与圆的位置关系，能用圆心到直线的距离d与半径r的数量关系判断直线与圆的位置； ② 探索并掌握切线的判定定理与性质定理； ③ 能利用切线判定和性质进行简单证明与计算，掌握证明切线的两种辅助线模型； ④ 发展几何直观，提升逻辑推理能力，体会转化思想。 课时目标（含核心素养） 1. 知识技能：理解切线的判定定理和性质定理，掌握判定一条直线是圆切线的三种方法；能准确使用几何符号语言表述定理；会证明简单的切线证明题，掌握切线证明的两类辅助线做法。（发展几何直观与推理意识核心素养） 2. 过程方法：经历动手画图、观察猜想、逻辑推导得到切线判定定理的全过程，体会数形结合、转化思想，培养学生有条理表达的能力，渗透归纳、演绎和类比的数学思想方法。（发展模型观念核心素养） 3. 情感态度：感受数学与生活的紧密联系，体会数学的价值。在自主探索和合作交流的过程中，激发学生学习数学的兴趣，丰富学生的基本活动经验，培养学生实事求是的科学态度、逻辑思维能力、与人协作的习惯。（发展应用意识核心素养） 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能说出判定定理两个缺一不可的条件（经过半径外端、垂直这条半径），会规范书写几何语言；能区分"有公共点、无公共点"两类切线证明，正确添加辅助线。 达成目标2的标志是：学生能结合图形完成定理推导，能从距离d=r过渡到切线判定定理，实现数量关系转化为位置关系。 达成目标3的标志是：学生做题每一步能说出依据，能主动反思证明漏条件的错误，形成严谨的几何思维习惯。 学情分析 已有的知识、认知水平 从认知结构的角度，九年级的学生已经具备一定的生活经验和数学活动经验，并且对基本几何图形有一定的认识。学生已经学了圆的定义、半径概念、直线与圆的三种位置关系，知道当圆心到直线距离d=r时，直线与圆相切，具备了探究切线判定条件的基础。 但学生在逻辑推理和合作交流的意识方面发展不够均衡，几何推理水平参差不齐，对几何定理条件容易遗漏，证明切线不会正确添加辅助线，符号语言书写不规范。 困惑点或探索点 1. 切线判定定理两个条件缺一不可，学生容易漏掉"经过半径外端"或者"垂直半径"； 2. 切线证明题辅助线选择：分不清什么时候连半径，什么时候作垂直； 3. 几何证明过程逻辑链条断裂，理由书写不规范。 教学重难点 教学重点：切线的判定定理与性质定理，运用判定定理证明直线是圆的切线。 教学难点：正确选择辅助线证明切线；证明过程严谨说理，规范书写几何证明步骤。 教学策略分析（为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：切线是圆一章的核心内容，是后续切线长定理、三角形内切圆、圆综合题的基础，是中考高频考点，是学生由简单图形推理向复杂几何证明过渡的重要载体，承上启下。 学什么：切线的判定定理与性质定理，切线的三种判定方法；切线证明两类辅助线模型；规范几何语言书写。 怎么学：虽然学生对直线与圆的位置关系有一定的认识，但是学生的认识主要停留在直观描述为主的阶段，通过实物感知、演示实验来创设情境，启发引导，采用以观察、操作、想象、推理、交流为主，学生通过"动手实践、观察思考、自主探究、合作交流"的学习方法，探索发现几何结论，获得新知。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 复习引入： 1. 直线与圆有哪几种位置关系？ 2. 设⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线和圆相切的数量关系是什么？ 设问：根据d=r可以判定直线与圆相切，在图形上，我们能不能利用半径直接判定切线？ 师：同学们，上节课我们学习了直线与圆的位置关系，请大家回忆，当直线与圆相切时，d和r满足什么关系？ 生：d=r。 师：d是圆心到直线的垂线段长度，如果这条垂线段正好就是圆的半径，直线和圆是什么位置关系？今天我们就来学习切线的判定。 学生能回忆d、r数量关系判断相切；能感受到用距离判定切线的局限性，想要寻找图形上直接判定的方法。 复习旧知，搭建新旧知识桥梁，引出本节课探究主题，激发学生探究欲望。 概念探究 切线判定定理引入 活动1：动手画图 画⊙O，取半径OA，过点A作直线l⊥OA。 思考： （1）圆心O到直线l的距离等于多少？ （2）直线l和⊙O有几个公共点？直线l是⊙O的切线吗？ 图1 切线判定定理基本图形 切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 ⚠️ 两个条件缺一不可： ① 经过半径外端； ② 垂直这条半径。 几何语言： ∵ OA是⊙O的半径，直线l⊥OA于点A ∴ 直线l是⊙O的切线 辨析判断题： 1. 垂直于半径的直线一定是圆的切线。（ ） 2. 经过半径外端的直线一定是圆的切线。（ ） 切线三种判定方法小结： ① 定义法：直线与圆有唯一公共点； ② 数量法：圆心到直线距离d=r； ③ 判定定理：过半径外端且垂直半径的直线是切线。 例1：已知直线AB经过⊙O上的点C，OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 图2 例1配图 分析：已知直线AB经过圆上点C， 有交点，连半径，证垂直。 证明：连接OC ∵ OA=OB，CA=CB ∴ OC⊥AB（等腰三角形三线合一） 又∵ OC是⊙O半径 ∴ AB是⊙O的切线 思考变式：如果题目没有告诉直线经过圆上一点，如何证明切线？ 模型二：无交点，作垂直，证半径。 教师布置画图任务，学生动手画图，独立思考问题，同桌交流。 师生共同归纳切线判定定理，教师重点强调两个条件缺一不可。 学生完成辨析题，说出错误理由。 教师板书三种判定方法，规范几何语言。 出示例1，学生独立思考，请学生口述思路，教师板书完整证明。 教师点拨：题目给出直线过圆上一点，辅助线：连接圆心和这个公共点得到半径，再证垂直。 学生能否完整说出判定定理两个条件；能否正确书写几何符号语言；辨析题可以说出错在哪里；例1能够说出辅助线做法，说理有据。 学生动手操作，由d=r推理得到切线判定定理，实现数量到图形位置转化；判断题强化定理易错点；例题落实"有交点连半径证垂直"模型，规范证明书写。 课堂练习 知识巩固 练习1：如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB。 求证：AT是⊙O的切线。 图4 练习1配图 练习2：△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于D， 求证：AC是⊙O的切线。 图3 练习2配图 提示：直线AC没有说明和圆有没有交点，过O作OE⊥AC于E，证OE等于半径OD（无交点，作垂直，证半径）。 课堂补充小结辅助线口诀： ✅ 有交点，连半径，证垂直； ✅ 无交点，作垂直，证半径。 学生独立完成练习，小组互相交流，两名学生上台板演。 教师巡视，收集学生书写的典型错误，例如漏写条件、理由不写定理名称，当堂纠错。 教师引导学生对比两道例题，归纳两种辅助线使用场景。 练习题目分层递进，检测学生是否会根据条件选择辅助线；检查证明步骤、定理依据书写是否规范。 两道练习分别对应切线证明两种模型，巩固本节课重难点，训练规范书写，提升推理意识核心素养。 反思总结 学生自主发言总结： 1. 切线判定有哪几种方法？判定定理要注意什么？ 2. 证明切线两种辅助线怎么做，分别什么条件下使用？ 3. 本节课还有哪些疑惑？ 教师引导学生自主梳理知识，最后教师整体梳理知识框架，强调易错点：判定定理两个条件缺一不可，证明每一步要有依据。 学生主动梳理知识，能够区分两种辅助线模型，说出常见错误。 以学生为主体进行课堂复盘，构建完整知识体系，深化几何推理思维。 布置作业 必做题：教材课后习题； 选做题：一道切线证明变式题。 分层布置作业，满足不同层次学生。 巩固新知，分层教学。 板书设计 30.1.2 圆的切线（1） 一、切线的判定 1. 切线三种判定方法 ① 定义：唯一公共点 ② 数量：d=r ③ 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ⚠️ 两个条件：①过半径外端；②垂直半径，缺一不可！ 几何语言： ∵ OA是⊙O半径，l⊥OA于A ∴ l是⊙O切线 二、证明切线辅助线模型 ① 有公共点：连半径，证垂直 ② 无公共点：作垂直，证半径 三、例1证明（板书证明过程） ⚠️ 易错提醒：定理两个条件不能少，每一步推理写清依据。 学科网（北京）股份有限公司 $