精品解析：河南南阳华龙高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

华龙高中2026年秋期第一次月考高三年级数学学科试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式求解集合，再由集合的交集即可求解. 【详解】因为，所以，解得，则. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】判断充分性：取，，满足，但无意义，推不出，充分性不成立. 判断必要性：若，则，一定有，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件，选项符合题意. 3. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】， 因为即所以， 当且仅当时等号成立， 即时取得最小值，最小值为. 4. 函数的定义域为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】要使函数有意义，必须 ，解得且， 则函数的定义域为. 5. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在上是增函数， 故内层函数在上是减函数且成立， 只需对称轴且， 解得：，即. 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及1，为桥梁，可比较三个数的大小. 【详解】， ， ， 只需比较，的大小， ， ， 又， ， 所以. 7. 已知，是偶函数，则（       ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，定义域关于原点对称求得，再利用列式求得，即可得. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 ，且 ，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数诱导公式化简原式，再转化为仅含的齐次分式，代入已知条件计算即可. 【详解】原式， 因为，所以，分子、分母同时除以得 原式. 二、多选题（共18分） 9. 下列选项的两个函数为同一函数的有（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据同一函数定义可知：表达式一样，且定义域一样即为同一函数. 【详解】A选项，，，表达式不一样，不是同一函数，错误； B选项，，其中，，其中， 表达式一样，是同一函数，所以B选项正确； C选项，，，表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； D选项，和表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； 10. 若是正实数且满足，则以下选项中正确的有（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项 A： 因为是正实数且满足， 所以由基本不等式得： ， 当且仅当 ，即 ，结合 ，得 时取等. 因此，选项 A正确； 选项 B： 因为是正实数，所以由基本不等式得：，当且仅当 时取等. 但 且 ，所以 ，因此 （因为 ）. 因此，选项 B正确； 选项 C： ， 由是正实数且满足得：， 因此：，即 ，与选项 C中 的 不等号 相反. 因此，选项 C错误； 选项 D： 利用 ，即 ，代入：， 因为是正实数且满足，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时取等号. 故，因此，选项 D正确. 11. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 幂函数是奇函数 C. 若，则的最小值为2 D. 若函数在上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】依次根据对数函数过定点的性质、幂函数的定义与奇偶性、对勾函数的最值规律、分段函数单调递增的条件判断各选项正误. 【详解】 选项A：令得，代入函数得，因此图象恒过定点，A正确； 选项B：幂函数的系数必须为1，故，得，此时函数为，定义域为，定义域关于原点对称，设， 则，故是偶函数，B错误； 选项C：将函数变形为，令，因为对勾函数在上单调递增，因此时取最小值为，C错误； 选项D：分段函数在上单调递增需满足两个条件：①二次函数在上单调递增，其开口向下，对称轴为，故即；②左段在处的函数值不大于右段在处的极限值，即，解得，综上得，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知集合，，若，则的取值是___________. 【答案】0或2 【解析】 【详解】∵，∴， 当时，即， 此时成立， 当时，解得或， 若，则，，此时成立， 若，违反集合中元素互异性，不合题意， 综上所述，或. 13. 已知角的终边上一点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由角的终边上一点，得为第二象限角，则，且. . 14. 已知函数是R上单调函数，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【详解】若是R上单调递减，当时，要使单调递减，需，即； 当时，要使单调递减，需，与矛盾，故单调递减不可能. 若是R上单调递增，当时，要使单调递增，需，即； 当时，要使单调递增，需， 分段点处衔接应满足，得，即. 所以. 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，全集 （1）求; （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解； （2）由，分或，两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意得：，或， 所以或； 【小问2详解】 由，所以或， 当时，，解得， 当时，， 综上所述，， 所以. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及对称轴； （2）求单调递增区间； （3）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 【答案】（1）最小正周期为；对称轴为 （2）单调递增区间为 （3）当时取最大值3；当时取最小值0 【解析】 【分析】（1）将化简为，利用最小正周期公式求解，利用正弦函数的图像和性质求解； （2）利用正弦函数的图像和性质求解； （3）利用正弦函数的图像和性质求解； 【小问1详解】 ， ， 则的最小正周期为， ，解得，即， 则函数的对称轴方程为. 【小问2详解】 ， ， ， 则的单调递增区间为. 【小问3详解】 ，则， 当，即时，，则， 当，即时，，. 则在区间上的最大值为，此时，最小值为，此时. 17. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. （1）求的解析式； （2）设，若在上有最小值，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）观察题意，知二次方程 的两根为和1，因此可设 ，再把点代入可求得； （2）函数是二次函数，需根据对称轴与区间的位置关系判断是否存在最小值，由此列不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可设，即 ， 由的图象过点，知 ，从而 ， 即 ； 【小问2详解】 ，开口向上，其对称轴为， 若，即时， 在上单调递增，取不到，所以不存在最小值； 若，即时，对称轴落在内，存在最小值； 若，即时， 在上单调递减，所以在处取得最小值； 综上所述，的取值范围为. 18. 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）若在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过换元将指数型函数转化为二次函数，结合二次函数单调性求解值域； （2）利用换元转化为二次函数单调性问题，结合复合函数"同增异减"规则求参数范围。 【小问1详解】 当时，; 令，因是上的单调递增函数，且，故， 此时函数转化为，； 该二次函数开口向上，对称轴为： 当时，；当时，； 故在上的值域为. 【小问2详解】 令， 当时，，且是上的单调递增函数， 此时转化为，； 根据复合函数单调性“同增异减”规则，要使在上单调递增，需在上单调递增； 是开口向上的二次函数，对称轴为，故需满足， 解得； 故实数的取值范围为. 19. 设函数，其中．已知． （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． （3）若存在，使等式成立，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开 ，合并同类项后通过辅助角公式化简为 ，代入 建立方程，结合 的范围确定 . （2）先根据三角函数图像的横坐标伸缩变换、向左平移变换规则逐步推导，得到 ；再由 的范围求出内层角的取值区间，结合正弦函数的值域求出 的最小值. （3）通过换元 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程，分离参数得到 ；结合 的取值范围，利用对勾函数的单调性求出 的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以 , 由题设知，所以，． 故，，又， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，所以． 因为，所以， 当即时，取得最小值． 【小问3详解】 由（2）知令， 当时，，则， 即存在，使成立， 即存在，成立， 而函数在单调递减，单调递增， 当，函数在单调递增， ，所以实数m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华龙高中2026年秋期第一次月考高三年级数学学科试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 函数的定义域为（       ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是偶函数，则（       ） A. B. C. D. 或 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题（共18分） 9. 下列选项的两个函数为同一函数的有（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 若是正实数且满足，则以下选项中正确的有（    ） A. B. C. D. 11. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 幂函数是奇函数 C. 若，则的最小值为2 D. 若函数在上单调递增，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12. 已知集合，，若，则的取值是___________. 13. 已知角的终边上一点，则________． 14. 已知函数是R上单调函数，则的取值范围是______ 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，全集 （1）求; （2）若集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及对称轴； （2）求单调递增区间； （3）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 17. 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. （1）求的解析式； （2）设，若在上有最小值，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）若在上单调递增，求实数a的取值范围. 19. 设函数，其中．已知． （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． （3）若存在，使等式成立，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $