精品解析：广东省广州市广州知识城中学2026-2027学年高二上学期10月阶段训练数学试题

2026-2027学年上学期高二数学阶段训练 第一部分 选择题 一、单项选择题（每小题只有一项符合题目要求，共8小题，每题5分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 在四面体中，点满足，若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间四边形中，点在棱上，且，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 给出以下命题，其中正确的是（ ） A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面、的法向量分别为，，则 D. 平面经过三个点，，，向量是平面的法向量，则 6. 给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知向量，．若向量与向量平行，则实数m的值是（ ） A. 2 B. -2 C. 10 D. -10 8. ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，若AB＝1，AB1⊥BC1，则AA1＝（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，每题6分） 9. 空间中三点是坐标原点，则（ ） A. B. C. 点关于平面对称的点为 D. 与夹角的余弦值是 10. 已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积一定为零的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 三、填空题（共3小题，每题5分，请按题目要求作答） 12. 在空间直角坐标系中，若为单位向量，则___________． 13. 已知向量，则的值为___________． 14. 已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． （1）写出，，，四点的坐标； （2）写出向量，，的坐标． 16. 已知向量，，向量同时满足下列三个条件：①；②；③. （1）求的模； （2）求向量的坐标. 17. 已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： （1）； （2）. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，是的中点. （1）求点到面的距离； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与面所成的角的正弦值. 19. 如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，为上一点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期高二数学阶段训练 第一部分 选择题 一、单项选择题（每小题只有一项符合题目要求，共8小题，每题5分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面对称的特征求解. 【详解】关于平面的对称点的特征为坐标不变，取相反数， 故所求坐标为. 故选：A. 2. 在四面体中，点满足，若四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得. 【详解】因四点共面，且， 由空间向量基本定理，可得，解得. 故选：C. 3. 在空间四边形中，点在棱上，且，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】解：连接， . 故选：B. 4. 已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基底的定义，任意两个向量不共线，三个向量不共面，即可判断. 【详解】向量， 得与是共面向量, 不能构成空间的一个基底，故A错误； 同理，得与是共面向量， 不能构成空间的一个基底，故B错误； 又与和不共面，所以与可以构成空间的一个基底，故C正确； 由题意得与是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：C. 5. 给出以下命题，其中正确的是（ ） A. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面、的法向量分别为，，则 D. 平面经过三个点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，由可得A正确；对于B，由与不平行可得B不正确； 对于C，由与不平行可得C不正确；对于D，根据可得D不正确. 【详解】对于选项A：因为，则，所以与垂直，故A正确； 对于选项B：显然与不平行，所以与平面不垂直，故B错误； 对于选项C：显然与不平行，所以与不平行，故C错误； 对于选项D：因为，，且向量是平面的法向量， 则，即，解得，所以，故D错误. 故选：A. 6. 给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 7. 已知向量，．若向量与向量平行，则实数m的值是（ ） A. 2 B. -2 C. 10 D. -10 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线定理即可得到，再进行向量坐标化，由向量相等得到参数值. 【详解】向量，，，向量与向量，，平行， 存在实数使得，坐标化得到： ，解得． 故选：A． 8. ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，若AB＝1，AB1⊥BC1，则AA1＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意画出图形，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a，再由列式求解a值，则答案可求. 【详解】如图，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点， 以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系， 设AA1＝a，则A（,0,0）,B1（,0,a）,B（,0,0）,C1（0,,a）, 则. 由AB1⊥BC1，得，即a. ∴AA1. 故选：B 【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离的求法，训练了向量垂直与数量积关系的应用，属于中档题. 二、多项选择题（共3小题，每题6分） 9. 空间中三点是坐标原点，则（ ） A. B. C. 点关于平面对称的点为 D. 与夹角的余弦值是 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量的求模公式，数量积公式及点的对称性即可判定. 【详解】由题意可得：，， 所以，故A正确； ，即，故B正确； 点关于平面对称的点为，故C错误； ，故D错误. 故选：AB 10. 已知四边形为矩形，平面，连接，，，，，则下列各组向量中，数量积一定为零的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直，据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案． 【详解】解：对于A：与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为， 对于B：根据题意，有平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以， 即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为， 对于C：根据题意，有平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面，平面，所以， 即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为， 对于D：根据题意，有平面，平面，所以， 即向量，一定垂直，则向量，的数量积一定为， 故选：BCD． 11. 将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算及共线向量的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，由点分别为的中点，得， 而，因此，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，长度相等，方向不同，C错误； 对于D，，D正确． 故选：AD 第二部分 非选择题 三、填空题（共3小题，每题5分，请按题目要求作答） 12. 在空间直角坐标系中，若为单位向量，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据单位向量的定义，单位向量的模为，所以． 13. 已知向量，则的值为___________． 【答案】7 【解析】 【详解】直接利用空间向量数量积的坐标形式计算即可. 因为向量，所以. 14. 已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用共线向量定理列出向量等式，再借助向量减法用表示即可得解. 【详解】因A，B，C三点共线，则存在唯一实数k使，显然且，否则点A，B重合或点B，C重合， 则，整理得：，令λ=k-1，m=1，n=-k，显然实数λ，m，n不为0， 因此，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，此时λ+m+n= k-1+1+(-k)=0， 所以λ+m+n的值为0. 故答案为：0 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． （1）写出，，，四点的坐标； （2）写出向量，，的坐标． 【答案】（1） 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，； （2） ，，． 【解析】 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【小问1详解】 由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直， 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，， 则，，，； 【小问2详解】 ， ， ． 16. 已知向量，，向量同时满足下列三个条件：①；②；③. （1）求的模； （2）求向量的坐标. 【答案】（1）1 （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算及模的公式计算即可； （2）设，根据条件列出方程组求解即可. 【小问1详解】 ，， ， . 【小问2详解】 设， 则①，②，③， 由①②③得或 或. 17. 已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【小问1详解】 在正四面体中，， ， 则. 【小问2详解】 . 18. 如图，在棱长为2的正方体中，是的中点. （1）求点到面的距离； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与面所成的角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法求结论； （2）根据点到直线的距离的向量求法可得点到直线的距离为，代入数据即可求得结论； （3）求直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 由正方体棱长为2，可得，，，， 故，，  设平面的法向量， 则 ，​ 令，得， 即为平面的一个法向量，且， 根据点到平面距离公式点到面的距离，又， 所以 ， 所以点到面的距离为； 【小问2详解】 根据点到直线的向量公式点到直线的距离， 又，，， 所以， 所以点到直线的距离为； 【小问3详解】 直线方向向量， 设直线与面所成的角为， 则 ， 所以直线与面所成的角的正弦值为 19. 如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，为上一点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）因为，，，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以底面. 故以为原点，、、分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则､､､､､， 所以，，， 则，， 即，，又，平面， 所以平面. （2），，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以. 所以，所以， 因为平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）由得，又平面平面得底面，以A为原点，、、分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，证明，，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）求出平面的一个法向量，利用可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $