12.1-13.4 分式和分式方程、全等三角形 预习质量检测2026-2027学年冀教版数学八年级上册

八上数学第一次预习质量检测 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）根据以下表格里的数据： 则（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）一个正数的两个不同的平方根是和，则m的值是（） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（本题3分）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏，游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件点，，分别是点，，的对应点，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件      甲           乙           甲      上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（    ） A．若第轮甲添加，则甲获胜 B．若第轮甲添加，则甲必胜 C．若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜 D．若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最多轮必分胜负． 6．（本题3分）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（   ） A．1.9 B． C． D．2 7．（本题3分）若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．或 8．（本题3分）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 9．（本题3分）将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．扩大为原来的倍 10．（本题3分）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 11．（本题3分）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．若的面积为7，且，则的值为（    ）． A． B．3 C． D． 12．（本题3分）如图，已知中，，，的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F（点E不与A、B重合），，过点F作于点H，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④当时，．上述结论中始终正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（共12分） 13．（本题3分）的平方根为______． 14．（本题3分）如图，是等腰直角三角形，，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线上运动．点P出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接，．设点P的运动时间为t秒．当时，则t的值为_________． 15．（本题3分）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则______． 16．（本题3分）等边中，，，，，，则_____________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知：如图，，，求证：平分．请完成下面的推理过程（填空）． 证明：在和中，    ______（______）， ， 平分． 18．（本题8分）计算： (1) (2) 19．（本题8分）如右图， 点B， C， E， F在同一条直线上，． (1)求证：． (2)若分别是和的角平分线，求证：． 20．（本题6分）如图，已知：，，E为上一点，求证：． 21．（本题10分）（1）【探究证明】在中，，直线经过点C，且于点D，于点E，当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； （2）【发现探究】当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）【解决问题】当直线绕点C旋转到图3的位置时，若，则的长为 ． 22．（本题10分）如图，在等边三角形中，，垂足分别是点E，F，D．若．求证：是等边三角形． 23．（本题10分）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且，当互余时，称互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”．如图，互为“底余等腰三角形”． (1)若连接，判断是否互为“底余等腰三角形”： ______（填“是”或“否”）； (2)当时，若的“余高”，则______； (3)当时，判断与之间的数量关系，并说明理由． 24．（本题12分）如图，直线分别与轴、轴交于两点，平分交于点，点为线段上一点，过点作交轴于点，已知，，且满足 (1)求两点的坐标； (2)若点为中点，延长交轴于点，在的延长线上取点，使，连接． ①与轴的位置关系怎样？说明理由； ②求的长； (3)如图，若点的坐标为，是轴的正半轴上一动点，是直线上一点，且点的坐标为，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《八上数学第一次预习质量检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C A D C D B D 题号 11 12 答案 D A 1．A 【来源】重庆市巴蜀中学校2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，被开方数的小数点向右每移动两位，开方的结果的小数点向右移动一位，被开方数的小数点向左每移动两位，开方的结果的小数点向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：A． 2．D 【来源】陕西省西安市灞桥区滨河学校2025-2026学年上学期八年级月考数学试题 【分析】本题考查了平方根的定义及性质，掌握平方根的定义及性质是解题关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ． 故选：D ． 3．A 【来源】河北省邢台市襄都区邢台英华教育集团2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解． 【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴． 解得． 故选：A． 4．C 【来源】陕西省西安市长安区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了分式的约分，由得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选C． 5．A 【来源】2025-2026学年人教版八年级数学上册期中模拟试卷（测试范围：第13章~第15章） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：根据全等三角形的判定定理逐项分析判断如下： A、若第轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，说法错误，符合题意； B、若第轮甲添加，满足边边角，不能判定与全等，则甲获胜，说法正确，不符合题意； C、若第轮乙添加条件修改为， 若第轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，说法正确，不符合题意； D、若第轮乙添加条件修改为，第轮甲只能添加或其中之一，此时已有边边角，无论第轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多轮必分胜负，说法正确，不符合题意； 故选：A． 6．D 【来源】河南省南阳市西峡县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【分析】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键． 如图，延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得． 【详解】解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知： ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 故选：D． 7．C 【来源】四川省达州市渠县第二中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试题 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，根据题意得到，再把整体代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：C． 8．D 【来源】2025年5月陕西省宝鸡市部分学校中考模拟考试九年级数学试卷 【分析】本题考查异分母分式的减法，关键是掌握异分母分式的减法的计算法则． 首先通分变成同分母，再根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减进行计算，即可解题． 【详解】解：， 故选：D． 9．B 【来源】江苏省无锡市锡山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题 【分析】将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，进行计算后，再与原分式进行比较得出答案． 【详解】解：将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，原分式可变为， 因此分式的值较原来扩大了倍， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提． 10．D 【来源】2025年浙江省重点高中提前招生数学针对性试卷2 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 11．D 【来源】2024年浙江省温州市文成县中考数学二模试题 【分析】本题主要考查了正切的定义、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 设，由正切的定义可得；再根据全等三角形的性质可得、,再证，依据相似三角形的性质列方程求解可得，再运用线段的和差及勾股定理可得、、、；再证明、，依据相似三角形的性质列方程求解可得，最后根据三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：如图：设， ∵， ∴， ∵， ∴，, ∴, ∴, ∴，即,解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，, ∴， ∴,即，解得：，解得：， ∵的面积为7， ∴,即，解得：（舍弃负值）， ∴． 故选：D． 12．A 【来源】黑龙江省哈尔滨市阿城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【分析】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质．寻找条件证明，根据全等三角形的性质对①②③的结论逐一判断；延长交的延长线于点，利用等腰三角形的性质和判定以及三角形内角和定理证明，，，，据此求解即可． 【详解】解：如图，   ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则， ∴，故③正确； ④延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，∴④正确； ∴正确结论为①②③④． 故选：A． 13． 【来源】山东省聊城市东昌府区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题 【分析】依据平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，求解即可． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，关键是能准确理解并运用开平方和平方的互逆运算关系． 14．2或6 【来源】内蒙古自治区呼和浩特市新城区实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【分析】此题考查三角形的综合题，关键是掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质．根据证明，推出，然后分两种情况，利用线段之间关系求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 当时，当时，， 解得：， 当时，当时，， 解得：， 综上所述，t的值为2或6， 故答案为：2或6． 15．4 【来源】2024年河南省新乡市辉县市胡桥乡中心学校、吴村镇第二中学中考模拟预测数学试题 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点Q作的延长线的垂线于点，根据等边三角形性质和对顶角的性质可得，再根据，，可证得，从而证得，得到，，从而求得等边三角形的边长，再根据等边三角形的性质即可解题． 【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：4． 16．1 【来源】河南省信阳市浉河中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质；在上取点，连接，使，证明，得到，，求出，则即可求出结果． 【详解】解：在上取点，连接，使， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 17．；公共边；； 【来源】浙江省杭州市西湖区保俶塔教育集团2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试卷 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明，得到，进而可得结论． 【详解】证明：在和中， ∵， ， ， 平分． 故答案为：；公共边；；． 18．(1) (2) 【来源】河南周口郸城县城郊乡第三中学等2025-2026学年度第二学期期中考试卷八年级数学 【分析】（1）直接利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）直接利用分式的除法运算法则计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】湖南省岳阳经济技术开发区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定： （1）先由平行线的性质得到，进而证明，即可证明； （2）先由全等三角形的性质得到，进而由角平分线的定义得到，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵分别是和的角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．证明见解析 【来源】山东省淄博市张店区第七中学　2024-2025学年七年级上学期第一次月考数学试题（10月） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用证明得到，再利用证明，即可证明． 【详解】证明：在和， ， ∴, ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21．（1）见解析（2）（1）中结论不成立，结论为：．理由见解析（3））6 【来源】广西壮族自治区玉林市博白县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得：，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）先同（2）的方法得出，代值即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）（1）中结论不成立，结论为：．理由如下：如图2， ∵， ∴． 又∵于点D， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； ∴， ∴，即． 故答案为：； （3）如图3，同（2）的方法得，， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：6． 22．见解析 【来源】第2章特殊三角形2.8直角三角形全等的判定 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，由全等三角形的性质得到是解决本题的关键． 由等边三角形的性质可得，再由角边角的判定证明和全等，由此可得，再结合有一个角为的等腰三角形为等边三角形证明即可． 【详解】证明：是等边三角形， ． 又， ，且， ． 在和中， ， ≌， ． ． 是等边三角形． 23．(1)是 (2)14 (3)；理由见解析 【来源】江苏省南京市鼓楼区求真中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷 【分析】（1）连接、，由，得，即可由，推导出，所以，则互为“底余等腰三角形”． （2）当时，则都是等腰直角三角形，先证明，再证明，则． （3）作于点F，由，得，再证明，得，则． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴互为“底余等腰三角形”， 故答案为：是． （2）解：如图2， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14； （3）解：；理由如下： 如图3，作于点F， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，新定义问题的求解等知识与方法． 24．(1)，； (2)①轴，理由见解析；②； (3)存在，． 【来源】湖南省长沙市芙蓉区长郡芙蓉中学2022-2023学年八年级上学期期末数学模拟试题 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）①先证，得出，，最后根据平行线的性质得出，，进而得到即可；②根据，列出方程求解即可； （）如图，过分别向轴作垂线垂足分别为，可得，，先证，可得，进而得出即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴,， ∴， ∴，； （2）解：①轴，理由如下： ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即轴； ②从①可知，，为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在点使为等腰直角三角形，理由如下： 如图，过分别向轴作垂线，垂足分别为，则， ∵，， ∴，， 要使为等腰直角三角形，必有，且， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、非负数的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行线的性质、余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $