15.1 垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线相关的作图问题讲义-2026-2027学年人教版八年级数学上册

垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线相关的作图问题讲义 垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线相关的作图问题讲义 考点目录 垂直平分线的性质 垂直平分线的判定 垂直平分线相关的作图问题 考点一 垂直平分线的性质 【知识点解析】 1. 基本定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 · 两个核心要素（缺一不可）：① 过线段的中点；② 与线段互相垂直。 · 本质：垂直平分线是直线，不是线段或射线。 2. 核心性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 · 几何语言： ∵ 直线垂直平分线段，点在直线上 ∴ · 作用：直接证明两条线段相等，无需证明三角形全等，是几何中证明线段相等的常用快捷方法。 3. 拓展：三角形的外心性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心。 · 核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（），是三角形外接圆的圆心。 · 位置规律： · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边的中点处； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 4. 常见应用场景 · 直接转化线段：利用，将线段转化到同一个三角形中，计算长度、三角形周长； · 简化证明：题目出现垂直平分线条件时，优先用性质定理，跳过三角形全等证明。 5.高频易错点 · 误认为只要垂直于线段就是垂直平分线，必须同时满足“过中点”和“垂直”两个条件； · 混淆性质与判定的逻辑：性质是「已知中垂线→距离相等」，是正向应用。 【例题分析】 例1．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，所以的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为． 例2．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接，边的长为，边的长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵线段的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∴的周长． 例3.（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长等于________． 【答案】8 【分析】根据线段垂直平分线的性质推出，将的周长转化成，即可求出答案． 【详解】解：垂直平分， ． ，，， ． 【变式训练】 变式1.（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，，若的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长． 【详解】解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，， ，， 的周长为， ， 的周长为：． 变式2.（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（     ） A．20 B．21 C．25 D．30 【答案】C 【分析】由尺规作图可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线性质得到、，再结合周长，等量代换求出周长． 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线， ∴，． ∴， ∵， ∴，即， ∴． 变式3（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，，垂直平分，交边于点D，交边于点E，在线段上有一动点P，连接，，则的周长最小值为_________． 【答案】14 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，然后等量代换求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长 ∴当点B，P，C三点共线时，的周长取得最小值，最小值为14． 考点二 垂直平分线的判定 【知识点解析】 1. 定义判定法 若一条直线既垂直于某条线段，又平分这条线段，则这条直线就是该线段的垂直平分线。 · 适用场景：已知垂直关系和中点关系时，直接判定。 2. 逆定理判定法 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 · 几何语言： ∵ ∴ 点在线段的垂直平分线上 · 拓展结论：若两个点都到线段两端距离相等，则过这两个点的直线就是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）。 · 作用：证明一个点在某条直线上，或证明某条直线是线段的垂直平分线。 3. 常见应用 · 证明直线是中垂线：证明直线上两个点到线段两端距离相等，结合两点确定一条直线判定； · 确定点的位置：到两点距离相等的点，一定在两点连线的垂直平分线上。 4.高频易错点 · 单个点不能确定垂直平分线，至少需要两个点才能确定一条直线； · 混淆判定与性质：判定是「距离相等→在中垂线上」，是逆向推导。 【例题分析】 例1．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足分别为E，F． (1)若的面积为7，，，则的长是多少？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明：中，平分，， ，，, ∴点D在线段的垂直平分线上， 在和中， ， ， , ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】（1）根据角平分线的性质定理得，根据即可求的长； （2）证明，得，结合，由线段垂直平分线的逆定理可证明结论． 【详解】（1）解：是的平分线，， ， ，的面积为7，，， ， ； （2）略 例2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接． (1)若，，求的周长； (2)如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F在边的垂直平分线上，理由如下： 连接，    点F在边的垂直平分线上， ， 点F在线段上，垂直平分， ， ， 点在的垂直平分线上． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可知，则的周长可转化为，即可解答； （2）连接，根据垂直平分线的性质和判定即可证明． 【详解】（1）解：直线垂直平分，交于点D， ， ， ， 即的周长为． （2）略． 例3．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，点、分别是边、上一点，连接、、．过点作于点，已知平分、，． (1)若，求的长度； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1) (2) 证明：连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）连接，由（1）知，，易得，根据，求出，再根据，，推出，进而得到，结合，证明，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 变式2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴垂直平分； (3)24 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分； （3）首先确定，结合易得，然后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积为24． 变式3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点． (1)求证：垂直平分． (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：是的角平分线， ， ，分别是和的高， ， ， ∴， ，， 、D都在线段的垂直平分线上， 垂直平分 (2) 证明：∵平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形，角平分线的定义，关键是判定，掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理． （1）判定，推出，，得到A、D都在线段的垂直平分线上，即可证明垂直平分 （2）由含度角的直角三角形的性质推出，，得到，即可证明 【详解】（1）略 （2）略 考点三 垂直平分线相关的作图问题 【知识点解析】 1. 基本作图：作已知线段的垂直平分线 已知线段，用尺规作它的垂直平分线，步骤： 1. 分别以点、为圆心，大于 的长度为半径画弧，两弧分别在线段的两侧各交于一点，记为、； 1. 过、两点作直线，直线就是线段的垂直平分线。 注意事项 · 半径必须大于 ，否则两弧无法相交，无法确定直线； · 最终画的是直线，不能只画线段部分，两端要适当延伸出头。 2. 常见应用作图 （1）找三角形的外心（到三个顶点距离相等的点） · 题目：求作一点，使它到三个顶点的距离相等。 · 作法：分别作三角形任意两边的垂直平分线，两条线的交点即为所求点。 （2）直线上找一点到两点距离相等 · 题目：在直线上找一点，使得 。 · 作法：作线段的垂直平分线，与直线的交点即为所求点。 （3）作轴对称图形的对称轴 · 题目：作两个成轴对称图形的对称轴。 · 作法：找到一组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为图形的对称轴。 3.作图高频易错点 · 作外心时只作一条边的垂直平分线，无法确定交点，必须作两条边的垂直平分线； · 半径过小导致两弧无交点，或交点在线段同侧，导致作图不准确。 【例题分析】 例1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）尺规作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图①是西附初中周围环境的高德地图，小金同学根据高德地图绘制了一幅简略的地图如图②：把西附初中南校区标记为A点，旁边的二实小标记为B点，方洲小学标记为C点． (1)小金现计划开一间饰品文创店，希望店铺选址到三所学校的距离相等，你能确定店铺P应该建在什么位置吗？请在所给的图②中画出你的设计方案． (2)写出你的作图依据（详细定理）： ． 【答案】(1)解：能，作图如下： (2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，已知线段． (1)用尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若点P在直线上，且，求的长，并说明依据． 【答案】(1) (2)解： 依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． ∵点P在的垂直平分线上， ∴． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，P点即为所求． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，先作的平分线，然后连接，再作的垂直平分线，与相交于点P，则点P即为建中转站的位置． 【详解】解：由作图可知点在的平分线上， ∴点到公路、的距离相等， 又∵由作图可知点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴P点就是货物中转站的位置． 图略． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点D在边上，请用尺规作图法在内部作一点P，使得点P到边的距离相等，且点P到点C和点D的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点P即为所求． 【分析】点P到边的距离相等，则点P在的角平分线上，点P到点C和点D的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作图即可 ． 【详解】略 ． 变式2．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】连接,作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即为加油站的位置． 【详解】以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线；连接，再分别以点C、D为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线，直线与射线交于点P，点P 即为所作， 作图见答案． 简单证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，即有点P到、的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，即有，问题得证． 变式3．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知，P为边上一点，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在边上求作一点Q，点Q到、的距离相等； (2)在边上求作一点E．使． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，点即为所求， 【分析】（1）作的角平分线交于点，由角平分线的性质定理可得点Q到、的距离相等； （2）连接，作线段的垂直平分线交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可得，故． 【详解】（1）略； （2）略． 2 学科网（北京）股份有限公司 $垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线相关的作图问题讲义 垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线相关的作图问题讲义 考点目录 垂直平分线的性质 垂直平分线的判定 垂直平分线相关的作图问题 考点一 垂直平分线的性质 【知识点解析】 1. 基本定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 · 两个核心要素（缺一不可）：① 过线段的中点；② 与线段互相垂直。 · 本质：垂直平分线是直线，不是线段或射线。 2. 核心性质定理 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 · 几何语言： ∵ 直线垂直平分线段，点在直线上 ∴ · 作用：直接证明两条线段相等，无需证明三角形全等，是几何中证明线段相等的常用快捷方法。 3. 拓展：三角形的外心性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心。 · 核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（），是三角形外接圆的圆心。 · 位置规律： · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边的中点处； · 钝角三角形：外心在三角形外部。 4. 常见应用场景 · 直接转化线段：利用，将线段转化到同一个三角形中，计算长度、三角形周长； · 简化证明：题目出现垂直平分线条件时，优先用性质定理，跳过三角形全等证明。 5.高频易错点 · 误认为只要垂直于线段就是垂直平分线，必须同时满足“过中点”和“垂直”两个条件； · 混淆性质与判定的逻辑：性质是「已知中垂线→距离相等」，是正向应用。 【例题分析】 例1．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 例2．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接，边的长为，边的长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 例3.（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长等于________． 【变式训练】 变式1.（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，，若的周长为，则的周长是（     ） A． B． C． D． 变式2.（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（     ） A．20 B．21 C．25 D．30 变式3（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，，垂直平分，交边于点D，交边于点E，在线段上有一动点P，连接，，则的周长最小值为_________． 考点二 垂直平分线的判定 【知识点解析】 1. 定义判定法 若一条直线既垂直于某条线段，又平分这条线段，则这条直线就是该线段的垂直平分线。 · 适用场景：已知垂直关系和中点关系时，直接判定。 2. 逆定理判定法 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 · 几何语言： ∵ ∴ 点在线段的垂直平分线上 · 拓展结论：若两个点都到线段两端距离相等，则过这两个点的直线就是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）。 · 作用：证明一个点在某条直线上，或证明某条直线是线段的垂直平分线。 3. 常见应用 · 证明直线是中垂线：证明直线上两个点到线段两端距离相等，结合两点确定一条直线判定； · 确定点的位置：到两点距离相等的点，一定在两点连线的垂直平分线上。 4.高频易错点 · 单个点不能确定垂直平分线，至少需要两个点才能确定一条直线； · 混淆判定与性质：判定是「距离相等→在中垂线上」，是逆向推导。 【例题分析】 例1．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足分别为E，F． (1)若的面积为7，，，则的长是多少？ (2)连接，求证：垂直平分． 例2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接． (1)若，，求的周长； (2)如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 例3．（25-26八年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，点、分别是边、上一点，连接、、．过点作于点，已知平分、，． (1)若，求的长度； (2)求证：点在的垂直平分线上． 变式2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 变式3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点． (1)求证：垂直平分． (2)若，求证：． 考点三 垂直平分线相关的作图问题 【知识点解析】 1. 基本作图：作已知线段的垂直平分线 已知线段，用尺规作它的垂直平分线，步骤： 1. 分别以点、为圆心，大于 的长度为半径画弧，两弧分别在线段的两侧各交于一点，记为、； 1. 过、两点作直线，直线就是线段的垂直平分线。 注意事项 · 半径必须大于 ，否则两弧无法相交，无法确定直线； · 最终画的是直线，不能只画线段部分，两端要适当延伸出头。 2. 常见应用作图 （1）找三角形的外心（到三个顶点距离相等的点） · 题目：求作一点，使它到三个顶点的距离相等。 · 作法：分别作三角形任意两边的垂直平分线，两条线的交点即为所求点。 （2）直线上找一点到两点距离相等 · 题目：在直线上找一点，使得 。 · 作法：作线段的垂直平分线，与直线的交点即为所求点。 （3）作轴对称图形的对称轴 · 题目：作两个成轴对称图形的对称轴。 · 作法：找到一组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为图形的对称轴。 3.作图高频易错点 · 作外心时只作一条边的垂直平分线，无法确定交点，必须作两条边的垂直平分线； · 半径过小导致两弧无交点，或交点在线段同侧，导致作图不准确。 【例题分析】 例1．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）尺规作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图①是西附初中周围环境的高德地图，小金同学根据高德地图绘制了一幅简略的地图如图②：把西附初中南校区标记为A点，旁边的二实小标记为B点，方洲小学标记为C点． (1)小金现计划开一间饰品文创店，希望店铺选址到三所学校的距离相等，你能确定店铺P应该建在什么位置吗？请在所给的图②中画出你的设计方案． (2)写出你的作图依据（详细定理）： ． 例2．（25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，已知线段． (1)用尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若点P在直线上，且，求的长，并说明依据． 例3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点D在边上，请用尺规作图法在内部作一点P，使得点P到边的距离相等，且点P到点C和点D的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 变式2．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 变式3．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知，P为边上一点，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在边上求作一点Q，点Q到、的距离相等； (2)在边上求作一点E．使． 2 学科网（北京）股份有限公司 $