18.1 分式及其基本性质（第3课时）课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第18章　分式 18.1 分式及其基本性质（第3课时） 约分与通分 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 示例 把化为最简分数，再把与化为同分母分数。 答：；与。 约分时分子、分母同除以公因数。 通分时选公分母，分子、分母同步扩大。 新知探究 分式也能约分和通分 共同依据 分式的分子、分母同乘或同除非零整式，值不变。约分是约去共同因式；通分是把不同分母改写成相同分母，二者都用基本性质。 先看结构 单项式可直接比较系数和字母，多项式往往需要先因式分解。相加的项不能直接约去，必须先化为因式相乘的形式。 新知讲授 约分与最简分式 约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分（reduction of a fraction）。 最简分式 像这样分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。 新知讲授 约分的终点 一次约尽 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式。 保留条件 约去的公因式必须非零。分母化简后消失的因式，也可能对应原式的禁取值；因此求值时仍应回到原分母检查。 例题讲解 示例 约分：。 答：，原式要求。 系数约去，字母约去。 剩余分子为，分母为。 新知讲授 多项式约分先分解 寻找乘积形式 ，。只有分解后，才能清楚看出分子与分母的共同因式。 正确约去因式 约去一个后得到，不能把和式中的或分别消去。整个约分过程都要求原分母非零，即。 例题讲解 例 4 约分： （1） （2） （3） （1） 答：。 分子、分母同除以。 原式要求均非零。 （2） 答：，。 分解为，约去。 例题讲解 例 4 约分： （1） （2） （3） （3） 答：，。 原式，约去。 新知讲授 通分的定义 定义 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分（reduction of fractions to a common denominator）。 结果形式 通分只改变表示形式，每个分式的值分别不变。它并不把几个分式相加；写结果时应保留各个分式，且分母统一。 新知讲授 怎样确定最简公分母 教材表述 分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母。 具体操作 整数系数取最小公倍数，各字母或多项式因式取最高次数。和确定公因式时的“共同字母、最低次数”方向不同。 例题讲解 示例 分母分别为与，它们的最简公分母是什么？ 答：。 系数最小公倍数为。 字母分别取最高次数。 新知讲授 分母有多项式先分解 先列出因式 对与，先分解为和。相同的因式只需按最高次数取一次。 分别补足 最简公分母为。第一个分式的分子、分母同乘；第二个同乘，使每个分母都补齐缺少的因式。 例题讲解 例 5 通分： （1） 与 （2） 与 （1） 答：与。 最简公分母为。 两式分别同乘、。 （2） 答：与。 分母先分解，最简公分母为。 分别同乘与，共同条件为。 方法归纳 约分与通分的双向联系 约分减少共同因式 ① 先因式分解，再约去分子、分母共同的非零因式。 ② 检查是否最简，保留原分式有意义的条件。 通分补齐缺少因式 ① 分母先分解，所有因式取最高次数。 ② 用公分母除以原分母确定补因式，分子同步相乘。 课堂练习 练习 约分： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 约去，原式要求。 （2） 答：。 约去，原式要求。 课堂练习 练习 约分： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 分子分解为，约去。 原式要求。 （4） 答：。 分子为，约去。 原式要求。 课堂练习 练习 通分： （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 （1） 答：与。 最简公分母为，分别补。 （2） 答：与。 最简公分母为，分别补。 课堂练习 练习 通分： （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 （3） 答：与。 共同因式取一次，分别补。 （4） 答：与。 分母分解后取，分别补。 课堂练习 练习 约分： （1） （2） （3） （4） （1） 答：，。 约去。 （2） 答：。 分子分解为，约去。 课堂练习 练习 约分： （1） （2） （3） （4） （3） 答：，。 分子为。 （4） 答：，。 分解后约去。 课堂练习 练习 通分： （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 （1） 答：与。 最简公分母为。 （2） 答：与。 最简公分母为。 课堂练习 练习 通分： （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 （3） 答：与。 分别补与。 （4） 答：与。 第二个分式补因式，共同条件。 例题讲解 示例 能否继续约去？ 答：不能，它已是最简分式。 分子不含因式，不能约去其中的一项。 例题讲解 示例 将与通分。 答：与。 ，把第二个分式的负号移出。 例题讲解 示例 分母为和，最简公分母是什么？ 答：。 相同因式取最高次数，不需要取次。 例题讲解 示例 约分：。 答：，。 写成，约去。 例题讲解 示例 化简后，能否取求原式的值？ 答：不能；化简结果仍附带原条件。 原分母为零的值不能通过约分恢复。 例题讲解 示例 把与先约分，再比较两者。 答：都等于，所以相等（）。 分别约去与，无需再构造复杂公分母。 例题讲解 示例 约分：。 答：，。 分子为，约去非零因式。 课堂总结 约分与通分 共同依据 分式的基本性质，变化因式非零。 约分 先分解，约去公因式，达到最简。 公分母 系数取最小公倍数，所有因式取最高次幂。 通分 分别补足缺少的因式，分子同步变化。 条件 始终保留原式分母非零的限制。 针对训练 训练 下列哪个分式已是最简分式？A.；B.；C.；D.。 答：B B的分子与分母没有共同因式，不能约去分子中的加数。 公因式必须乘在整个分子与整个分母上。 针对训练 训练 与的最简公分母是________。 答：。 系数最小公倍数为，字母取最高次数。 通分取最高次数，约分取共同的最低次数。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） ，但不能等于。 正确 分子中的1不能被约掉。 （2） 通分后各个分式的值分别不变。 正确 分子分母同步乘同一个非零因式。 （3） 对也成立。 错误 原式在时无意义。 （4） 公分母可以有多个，但通常选择最简公分母。 正确 可减少计算量。 针对训练 训练 约分：。 答：，原式。 约去共同因式。 系数、字母与符号分别检查。 针对训练 训练 约分：。 答：，。 分子为，分母为。 约去一个。 先分解两个多项式，不能直接约去平方项。 针对训练 训练 将与通分。 答：与，。 第二个分母已经包含，只需给第一个补。 不用将两个原分母直接相乘。 针对训练 训练 先化简，再求在时的值。 答：。 约分得，。 代入得。 先确认给定值满足原式条件。 针对训练 训练 约分：。 答：，。 分子为，分母为。 约去并保留负号。 相反式导致的负号不能漏掉。 针对训练 训练 有四块小场地：第一块是边长为米的正方形，第二块是边长为米的正方形，其余两块是长为米、宽为米的长方形。另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块田地面积的和，它的长为米，用最简单的式子表示出大长方形的宽。 答：米。 总面积为。 宽，。 先求面积总和，再除以新长；约去完整因式a+b。 针对训练 训练 小李要打一份字的文件，第一天她打字，平均打字速度为字每分钟，第二天她平均打字速度比第一天快字每分钟。两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间？ 答：分钟，即小时。 第一天打字字，第二天剩余字。 剩余字数除以第二天速度，再除以换算为小时。 第一天2小时必须先化为120分钟，情境要求0<w<100。 方法归纳 因式分解是分式变形的桥梁 约分的核查 ① 分子、分母先分解，公因式可以约，加法中的一项不能约。 ② 结果化至最简，保留约去因式对应的禁取值。 通分的核查 ① 把各分母的因式列齐，按最高次数构造最简公分母。 ② 逐个核对缺少的因式，分子、分母同步相乘。 $