18.2 分式的乘法与除法（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第18章　分式 18.2 分式的乘法与除法（第2课时） 分式的乘方与乘除混合运算 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 示例 比较与的值，说明没有括号时的运算顺序。 答：分别为与；同级运算从左到右。 第一式先得再乘。 第二式先算括号内，再用除以。 新知讲授 分式乘除混合运算 同级从左到右 只有乘法与除法时，按从左到右的顺序计算。可以先把每个除法改成乘倒数，但必须确认原来每一个除号对应的是哪一个除式。 统一为乘法 。只有中间的除式颠倒，最后一个原来相乘的分式不颠倒。 例题讲解 例 4 计算。 答：，。 改为。 约去、，保留剩余因式。 新知探究 探究 计算并寻找规律： （1） （2） （3） （1） 答：。 。 （2） 答：。 三个相同分式相乘，分子、分母分别相乘三次。 新知探究 探究 计算并寻找规律： （1） （2） （3） （3） 答：。 十个相同分式相乘。 新知讲授 分式的乘方 法则 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 符号与条件 ，本课为正整数，。分子或分母是乘积时，每一个因式都要乘方，不能只改变字母的指数。 新知讲授 系数也必须乘方 完整的分子 。系数与字母因式都属于分子，都参与乘方。 完整的分母 ，不能写成。因此。 新知讲授 负号与指数奇偶性 偶次幂 负的分式作偶次幂时，负号成对相乘，结果为正。例如。 奇次幂 负的分式作奇次幂时，最后保留一个负号。例如。先判断符号，再处理系数与字母，可减少错误。 新知讲授 有乘方的混合运算 顺序 分式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除。 实际步骤 先分别求出各个幂，再把除法化为乘法，将式子整理成因式相乘的形式，最后约分。不能把整个长式的指数机械地分配给后面所有因式。 例题讲解 例 5 计算： （1） （2） （1） 答：。 分子、分母分别平方，负号的平方为正。 （2） 答：。 先得。 乘以倒数，再约去共同因式。 方法归纳 统一运算之前先看顺序 先处理乘方 ① 分子、分母整体乘方，系数与每个因式都参与。 ② 通过奇偶性确定负号，再用幂的运算律计算字母。 再处理乘除 ① 按原顺序识别除式，只将除式颠倒。 ② 分解并约分，检查结果与原式非零限制。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （1） 答：。 最后一项改乘。 系数与字母分别约去共同因式。 （2） 答：。 分解，分母为。 除式颠倒后约分；原条件。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 负号立方后保留，系数与字母分别立方。 （2） 答：。 先乘方得，再约分。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 先得，再乘。 （4） 答：。 先乘方，得。 整理系数并约去字母公因式。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （1） 答：。 分子、分母分别立方。 （2） 答：。 负号平方为正，幂的乘方指数相乘。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 最后一项改乘，再合并约分。 （2） 答：。 分解，再乘倒数约分。 课堂练习 练习 计算： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 先得，再约分。 （4） 答：。 先得。 课堂练习 练习 先化简，再求值： （1） ，其中。 （2） ，其中。 （1） 答：；值为。 分解并改为乘法，约去及。 代入。 （2） 答：；值为。 两次除法分别改乘倒数，约去及字母因式。 代入得。 例题讲解 示例 计算。 答：。 分子为，分母为。 例题讲解 示例 改正：。 答：应为。 ，，系数同样要平方。 例题讲解 示例 比较与。 答：分别为与。 第一式负号参与平方，第二式负号在乘方之外。 例题讲解 示例 计算。 答：。 分别乘两个除式的倒数、。 例题讲解 示例 计算。 答：。 括号内先得。 再乘整个括号结果的倒数。 例题讲解 示例 有意义的条件是什么？ 答：。 正整数次乘方不另加分子非零条件，原分母仍需非零。 例题讲解 示例 计算。 答：，。 先约为，再平方更简便。 例题讲解 示例 计算。 答：，。 平方作用于整个分子与分母，不能写成。 例题讲解 示例 当为何值时，的值为零？ 答：。 平方为零要求原分式为零，分子且分母非零。 例题讲解 示例 两正方形的边长分别为，求面积之比，并说明它与边长比的联系。 答：面积比为。 正方形面积等于边长的平方，故面积比是边长比的平方。 例题讲解 示例 取，比较与。 答：前者为，后者为。 两式括号结构不同，不能随意改变除法后的乘法范围。 课堂总结 分式乘方与乘除混合 乘方 ，为正整数。 顺序 先乘方，再乘除；同级从左到右。 符号 负底数偶次幂正，奇次幂负。 简化 只倒置除式，先分解再约分。 条件 原分母非零，所有除式非零。 针对训练 训练 等于：A.；B.；C.；D.。 答：B 负号平方为正，系数与字母分别平方。 不要只对字母乘方。 针对训练 训练 。 答：。 系数立方，字母幂的指数乘。 幂的乘方指数相乘，不相加。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 。 错误 分子应是，不能漏掉中间项。 （2） 。 正确 外面的负号立方后保留。 （3） 连续两个除法改乘法时，两个除式都要倒置。 正确 每一个除号分别改为乘倒数。 （4） 乘除混合可以不看括号，任意改变顺序。 错误 必须保持原运算结构。 针对训练 训练 计算。 答：。 先得，再与后一分式相乘约分。 先完成平方，再处理约分。 针对训练 训练 计算。 答：。 先得，再乘。 平方消去显式负号，再乘除式倒数，保留一个负号。 针对训练 训练 计算。 答：，。 改为。 约去。 除式含平方，仍需其分子a非零。 针对训练 训练 计算。 答：，。 先约分得。 约去非零。 先约分能降低乘方的复杂程度。 针对训练 训练 先化简，再求时的值。 答：化简为，值为。 乘方后乘倒数，约去等因式。 给定值满足。 化简结果与取值条件一起保留。 针对训练 训练 如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，哪一个花坛的撒播密度大（撒播密度）？ 答：乙花坛的撒播密度大。 甲面积，乙面积。 乙、甲密度之比为（）。 花种数相同，面积越小密度越大；比较比值可消去相同因式。 针对训练 训练 在一块的稻田上插秧，如果个人插秧，要用天完成；如果一台插秧机工作，要比个人插秧提前天完成。一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？ 答：倍（）。 一个人的效率为，机器效率为。 相除得。 比较对象是一个人，需将十人的效率再除以10。 方法归纳 保持结构，再做简化 运算结构 ① 括号和乘方先处理，分子分母的每个因式都要乘方。 ② 同级运算从左到右，除式逐个倒置，其余因式不动。 化简检查 ① 先判断符号，再分解约分，结果成为最简式。 ② 计算和应用都保留原分母、除式非零的限制。 $