18.1 分式及其基本性质（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第18章　分式 18.1 分式及其基本性质（第2课时） 分式的基本性质 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 示例 填空：，并说明分子与分母怎样变化。 答：；。 分子、分母同时乘，得到。 分子、分母同时乘，得到。 新知探究 从分数类比分式 相同的结构 分数的分子与分母都乘或除以同一个不为零的数，分数的值不变。分式同样表示除法，可以猜想对整式也有相应的性质。 保留条件 同时乘的整式不能取，否则新分母会变成；同时除的整式也不能取，因为除数不能为。非零条件必须贯穿变形。 新知讲授 分式的基本性质 性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变。 符号表示 ；。这里是整式，原分母，同时变化的整式。 新知讲授 必须同时、同一个 同时变化 把的分子乘，分母也必须乘，才得到值相等的。只改变其中一部分，一般会改变分式的值。 变化对象 分子或分母是多项式时，应把整个多项式作为变化对象。例如同时乘得到，不是。 例题讲解 示例 与是否相等？这说明了什么？ 答：不相等；。 基本性质规定同时乘或除，不是同时加减。 只需一个反例即可否定“同时加同一数值不变”的说法。 例题讲解 示例 把的分子与分母同时乘，为什么不能得到相等的分式？ 答：得到，分母为零，没有意义。 原式有意义要求。 乘以零后分母变为零，破坏有意义条件。 例题讲解 例 2 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？ （1） （2） （1） 答：分子、分母同乘。 ，。 （2） 答：分子、分母同除以。 原式有意义已要求。 ，。 新知讲授 由分母变化反推分子 先看已知的部分 在中，分母由变成，是除以；分子必须进行完全相同的变化。 再求未知的部分 ，所以方框中填。要依据乘除的倍数关系，不能把分母消去的字母直接从分子中“删去几项”。 新知讲授 由分子变化反推分母 分子先分解 在中，分子，因此分子整体除以。 分母同步 分母也除以，得到。这里用到了因式分解找出共同因式，不能把和式中的某一项单独约掉。 例题讲解 例 3 填空： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 分子、分母同除以。 （2） 答：。 分子、分母同除以。 例题讲解 例 3 填空： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 分母乘，分子也乘。 （4） 答：。 分子、分母同乘，分子为。 新知讲授 变化前后的取值限制 只在允许范围内相等 的变形在时成立。右式单独看可以取，但不能把这个值代回原式。 原式条件保留 用基本性质改写后，原分母为零的值仍然不允许取。讨论相等分式时，要在两边都有意义的共同范围内比较。 例题讲解 示例 不改变的值，怎样使分子不带负号？ 答：可写成或。 分子、分母同乘，得。 一个负号也可以写在整个分式前。 方法归纳 根据一个变化确定另一个变化 看清乘除关系 ① 由已知分子或分母的前后变化，确定同乘或同除的整式。 ② 另一个部分同步变化，多项式整体加括号处理。 核对非零条件 ① 原分母非零，同乘或同除的整式也非零。 ② 改写后的形式不能恢复原式已排除的字母值。 课堂练习 练习 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？ （1） （2） （1） 答：分子、分母同乘。 由于，变形后分式仍有意义且值不变。 （2） 答：分子、分母同除以。 先把分母写为。 原式要求且。 课堂练习 练习 填空： （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 分子、分母同除以。 （2） 答：。 分子，两者同除以。 课堂练习 练习 填空： （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 分子、分母同乘。 （4） 答：。 分子、分母同乘。 课堂练习 练习 不改变分式的值，把下列各式中分子与分母的各项系数化为整数： （1） （2） （1） 答：。 分子、分母整体同乘。 （2） 答：。 分子、分母整体同乘。 课堂练习 练习 下列各组中的两个分式是否相等？为什么？ （1） 与 （2） 与 （1） 答：相等（两式有意义时）。 后式分子、分母同除以得前式。 （2） 答：相等（两式有意义时）。 前式分子、分母同除以得后式。 课堂练习 练习 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“−”号。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 分子、分母同乘。 （2） 答：。 把分子中的负号移至分式前。 课堂练习 练习 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“−”号。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 把分母中的负号移至分式前。 （4） 答：。 分式前与分子中的两个负号相消。 例题讲解 示例 说明的依据。 答：分子、分母同时乘，分式值不变。 ，符合基本性质的条件。 例题讲解 示例 改正：。 答：正确应为。 分母乘，分子整体也要乘。 例题讲解 示例 把的分子、分母各项系数化为整数。 答：。 分子、分母同乘，各项都要乘。 例题讲解 示例 把的分子、分母各项系数化为整数。 答：。 分子、分母整体同乘各分母的最小公倍数。 例题讲解 示例 小亮将中的“约去”，得。为什么错误？ 答：不是分子与分母的共同因式，不能约去。 当时，原式为，不等于。 例题讲解 示例 将改写成分母为的等值分式（）。 答：。 分母同乘，分子也同乘。 例题讲解 示例 在非零时，。请明确共同除式，并解释为何非零。 答：共同除式为。 原式分母非零，所以均非零，。 分子和分母分别除以得到与。 例题讲解 示例 能否用于计算时原分式的值？ 答：不能，原式在时无意义。 分解后同除以，前提为。 课堂总结 分式的基本性质 性质 分子、分母同乘或同除一个非零整式，值不变。 依据 由已知部分的变化确定共同乘除因式。 整体 多项式的每一项都要同步变化。 符号 两个负号可相消，一个负号可移到分式前。 限制 原式禁取值保留，同乘同除的式子非零。 针对训练 训练 下列变形正确的是：A.；B.；C.；D.。 答：C 分子、分母同乘非零常数。 基本性质不是同时加同一个数，也不是同时平方。 针对训练 训练 ，方框中应填什么？ 答：。 分母乘，分子整体也乘。 分子有两项，两项都必须乘5。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 分子、分母同时乘，值不变。 错误 新分母为零，没有意义。 （2） 分子、分母同时乘，值不变。 正确 共同乘数非零。 （3） 。 错误 不能约去加法中的一项。 （4） 。 正确 分子、分母同时乘。 针对训练 训练 ，方框中填什么？ 答：。 分子同除以，分母也同除以。 先把原分子写成3x乘一个整式。 针对训练 训练 不改变值，把的各项系数化为整数。 答：。 分子、分母整体同乘。 各项都要乘10，分子分母不能选不同倍数。 针对训练 训练 不改变值，把的各项系数化为整数。 答：。 分子、分母整体同乘。 共同倍数至少要使四个分数系数都变成整数。 针对训练 训练 化去分子与分母中的负号：。 答：。 分子、分母的两个负号相消。 分式前原来的负号保留。 显式负号有奇数个，化简后仍保留一个负号。 针对训练 训练 ，有人据此说原式在时等于。指出问题。 答：原式在时无意义。 同除以要求。 右式的可取值不能替代原式的限制。 等值变形是在共同有意义的范围内进行。 针对训练 训练 一杯饮料中果汁与水的体积分别为毫升、毫升。按相同比例制备三倍体积的饮料，果汁与水的体积比是否改变？用分式说明。 答：不改变，（）。 果汁与水的体积同时乘。 依据分式基本性质，体积比保持不变。 比值不变要求两种成分按相同倍数变化。 针对训练 训练 两段实际道路长度为米和米，在同一比例尺地图上分别画为厘米和厘米。比较两段图上长度的比与实际长度的比。 答：相等，（）。 分子、分母同除以非零数。 相同缩放倍数保持长度比。 同一比例尺提供相同的非零缩放倍数。 方法归纳 把分式变形说清楚 描述同步变化 ① 明确分子与分母同时乘或除以哪个整式。 ② 多项式作为整体处理，确认每项都已同步变化。 核验值与条件 ① 不能把加数当因式约掉，不能用同加代替同乘。 ② 原分母与共同乘除式均非零，改写后仍保留原式限制。 $