18.1 分式及其基本性质（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第18章　分式 18.1 分式及其基本性质（第1课时） 从分数到分式 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 示例 长方形的面积为，长为，则宽为多少？长方形的面积为，长为，则宽为多少？ 答：；。 宽等于面积除以长。 第二个式子的除数是字母，在实际情境中。 情境引入 示例 在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行用时，则他的平均速度为多少？若他在上坡滑行比在平地滑行同样的距离多用，则他的平均速度为多少？ 答：；。 平均速度等于路程除以时间。 上坡用时为，分母要包含完整的时间。 新知讲授 从分数到分式 共同形式 都是两个量相除的表示。分数的分子和分母是整数，后面几个式子的分子和分母是整式。 关键区别 的分母中含有字母。这使字母可以代表不同的数，也同时带来分母不能取某些值的限制。 新知讲授 分式的定义 定义 一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式（fraction）。在分式中，叫作分子，叫作分母。 观察对象 判断分式看分母，分子是否含字母不是决定因素。是分式；的分母为常数，是整式。 新知讲授 分式与整式的区别 分母含字母 、的分母含字母，都是分式。分子既可以是常数，也可以是单项式或多项式。 分母为常数 ，，都是整式。不能仅凭出现分数线就判断它是分式。 新知讲授 一个分式可以表示很多商 字母取不同的值 可以表示、、等。字母既可代表正数，也可代表负数，但不能违反除法的条件。 实际量还有限制 在速度式中，时间不仅不能为，在具体情境中还应为正数。代数式的有意义条件与实际问题的数量限制要分别辨清。 新知讲授 分式什么时候有意义 除数的限制 分式的分母表示除数，因为除数不能为，所以分式的分母不能为，即当时，分式才有意义。 操作方法 写出分母不等于零，再求字母应满足的条件。此时只检查分母，分子可以为，不能把“分子不为零”当作必要条件。 例题讲解 例 1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 要求。 （2） 答：。 要求。 例题讲解 例 1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 要求。 （4） 答：。 要求。 例题讲解 示例 当时，是否有意义？若有意义，值是多少？ 答：有意义，值为。 分母为。 分子为，所以分式的值为。 例题讲解 示例 当时，是否有意义？ 答：没有意义。 分母等于，违反除数不能为零的条件。 不能把解释为或。 方法归纳 识别分式和确定条件 识别式子类型 ① 先确认分子、分母都是整式，再看分母中是否含字母。 ② 分母为非零常数的式子，仍可能是整式。 判断是否有意义 ① 把完整分母写成不等于零的条件。 ② 分子可以为零；实际情境还要满足长度、时间等为正。 课堂练习 练习 列式表示下列各量： （1） 某村有个人，耕地，则人均耕地面积为多少？ （2） 的面积为，边的长为，则高为多少？ （1） 答：。 总面积除以人数；为正整数。 （2） 答：。 由得。 课堂练习 练习 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？ （1） （2） （3） （4） （1） 答：分式。 分母含字母。 （2） 答：整式。 分母是常数3。 课堂练习 练习 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？ （1） （2） （3） （4） （3） 答：分式。 分母含字母。 （4） 答：整式。 分母是常数3。 课堂练习 练习 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？ （1） （2） （3） （4） （1） 答：分式。 分母含字母。 （2） 答：分式。 分母含字母。 课堂练习 练习 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？ （1） （2） （3） （4） （3） 答：分式。 分母含字母，分子为多项式不影响判断。 （4） 答：分式。 分母含字母。 课堂练习 练习 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 分母不能为零。 （2） 答：。 要求。 课堂练习 练习 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 要求。 （4） 答：。 要求。 课堂练习 练习 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1） （2） （1） 答：。 要求。 （2） 答：。 等价于。 课堂练习 练习 4 分式可以表示现实生活中的某些数量关系。请你构造一个问题情境，使其中的数量关系可以用分式表示。 答：例如：汽车匀速行驶，速度为，所用时间为。 路程除以速度等于时间。 情境要求。 课堂练习 练习 填空并判断所填式子是不是分式。 （1） 一位作家先用天写完了一部小说的上集，又用天完成下集，这部小说（上、下集）共万字，这位作家平均每天的写作量为多少万字？ （2） 走一段长的路，步行用，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少，骑自行车的平均速度为多少？ （3） 甲完成一项工作需，乙完成同样工作比甲少用，乙的工作效率为多少？ （1） 答：万字，是分式。 总天数为。 课堂练习 练习 填空并判断所填式子是不是分式。 （1） 一位作家先用天写完了一部小说的上集，又用天完成下集，这部小说（上、下集）共万字，这位作家平均每天的写作量为多少万字？ （2） 走一段长的路，步行用，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少，骑自行车的平均速度为多少？ （3） 甲完成一项工作需，乙完成同样工作比甲少用，乙的工作效率为多少？ （2） 答：，是分式。 骑行时间为，实际要求。 课堂练习 练习 填空并判断所填式子是不是分式。 （1） 一位作家先用天写完了一部小说的上集，又用天完成下集，这部小说（上、下集）共万字，这位作家平均每天的写作量为多少万字？ （2） 走一段长的路，步行用，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少，骑自行车的平均速度为多少？ （3） 甲完成一项工作需，乙完成同样工作比甲少用，乙的工作效率为多少？ （3） 答：，是分式。 工作总量看作，实际要求。 课堂练习 练习 当满足什么条件时下列分式有意义？ （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 要求。 （2） 答：。 要求。 课堂练习 练习 当满足什么条件时下列分式有意义？ （1） （2） （3） （4） （3） 答：为任意实数。 。 （4） 答：且。 ，两个因式均不能为零。 例题讲解 示例 求有意义的条件。 答：且。 乘积不为零时，每个因式都不为零。 例题讲解 示例 当为何值时，的值为？ 答：。 分子为零给出。 代回分母得，符合条件。 例题讲解 示例 分别计算时与的值。 答：前者为，后者无意义。 前者分母为；后者分母为。 课堂总结 分式的概念 定义 分子、分母是整式，分母含字母。 名称 分数线上为分子，线下为完整分母。 有意义 分母的值不等于零。 值为零 分子为零，同时分母非零。 应用 用总量除以单位量列式，保留实际条件。 针对训练 训练 下列式子中，哪个是分式？A.；B.；C.；D.。 答：C C的分母含字母，其余分母都是非零常数。 判断依据是分母是否含字母。 针对训练 训练 分式有意义的条件是________。 答：。 由得。 分子是否为零不影响有意义条件。 针对训练 判断 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 是分式。 错误 分母为常数，是整式。 （2） 分式的分子不能为。 错误 要求分母非零，分子可以为零。 （3） 对任意实数都有意义。 正确 分母始终大于零。 （4） 在时值为。 错误 原分母为零，无意义。 针对训练 训练 当时，求的值。 答：。 分母。 分子为，商为。 代入前后都要确认分母没有变成零。 针对训练 训练 求有意义的条件。 答：且。 两个分母因式均不能为零。 两个禁取值需同时排除。 针对训练 训练 当取何值时，的值为？ 答：。 由分子得。 此时分母为。 分子为零后还必须核对分母。 针对训练 训练 是否存在实数，使的值为？ 答：不存在。 分子为零只能有。 但此时分母也为零，原式无意义。 无意义的值不能成为分式值为零的答案。 针对训练 训练 求有意义的条件。 答：为任意实数。 ，分母至少为。 利用平方的非负性判断分母是否可能为零。 针对训练 训练 班级把本读物平均分给名同学。用分式表示每名同学分到的本数，并说明的实际限制；当时，每人多少本？ 答：本；为正整数；每人本。 总本数除以人数。 若要求每人本数为整数，还应是的正因数。 实际人数限制比单纯分母非零更强。 针对训练 训练 一份文件有字，录入速度为每分钟字。用分式表示完成文件所需时间，并求时的时间。 答：分钟，；需要分钟。 总字数除以单位时间录入字数。 代入。 分母为速度，不能把总字数与速度的位置颠倒。 方法归纳 用定义与条件把关 两次观察分母 ① 分母是否含字母，决定是否为分式。 ② 分母的值是否为零，决定当前取值是否有意义。 列式与求值 ① 根据数量关系列出完整分子、分母，标明单位。 ② 求零值同时检查分子为零和分母非零，情境补上实际限制。 $