13.2 与三角形有关的线段（第1课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第13章　三角形 13.2 与三角形有关的线段（第1课时） 三角形的边与稳定性 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 从B到C怎样走更近 路线 从三角形顶点走到，可以沿直接走，也可以先经过，再到。比较两条路线的长度。 思考 连接相同的两个点，线段是最短的路线。因此比长，三角形的边长不能任意指定。 A B C 新知讲授 把生活判断写成数学关系 观察与思考 路线长，直接路线长；两点之间，线段最短。 理解与表达 由于不在上，折线路线严格长于线段路线，故。 A B C 新知讲授 任意两边都要考虑 观察与思考 以为端点，可得；以为端点，可得。 理解与表达 这里的“两边”可以是三边中的任意两条；不能只挑一个满足的不等式就认定三条线段能组成三角形。 新知讲授 三边关系：两边之和 结论 三角形两边的和大于第三边。 数学表达 ，，。这三个不等式描述同一三角形的三组关系；等号不允许出现。 A B C 新知讲授 为什么不能取等号 观察与思考 若，点只能落在直线的两点之间，三个顶点共线。 理解与表达 三角形定义要求三点不共线，所以组成三角形时必须用严格的大于号，而不是大于或等于。 新知讲授 三边关系：两边之差 结论 三角形两边的差小于第三边。 推导 由得；由得。结合可写成。 新知讲授 已知两边，第三边有范围 观察与思考 如果两边为，第三边为，则。左端来自两边的差，右端来自两边的和。 理解与表达 例如两边长，第三边满足；数值与都不能取。 例题讲解 示例 一个三角形的两边长分别为和，求第三边的取值范围。 答：。 两边之差为。 两边之和为，所以第三边严格在两者之间。 下界是较长边减较短边，上界是两边之和。 新知讲授 三条线段能否组成三角形 观察与思考 如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形。 理解与表达 如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形。 新知讲授 只检查最短两边是否足够 观察与思考 把三个正数从小到大排列为。只需检查。 理解与表达 因为且，所以；同理。另外两组不等式自动成立。 例题讲解 示例 判断以下长度能否组成三角形。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：能。 最短两边和。 （2） 答：不能。 最短两边和。 先找最长边，再用另外两边的和与它比较。 例题讲解 示例 一个三角形的两边长为和，第三边是整数，其长度有几种可能？ 答：7种：。 由三边关系得。 严格不等式的端点3和11不能取。 先列范围再枚举整数，不要直接猜可能长度。 例题讲解 例 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？ （1） 求腰长是底边长2倍时的各边。 （2） 讨论有一边长为4 cm的情形。 （1） 答：。 设底边为，则。 解得，且。 周长=底边+2×腰长，解出以后仍要检查三边关系。 例题讲解 例 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？ （1） 求腰长是底边长2倍时的各边。 （2） 讨论有一边长为4 cm的情形。 （2） 答：能，三边为。 若4为底边，腰为，能组成三角形。 若4为腰，底边为；，应舍去。 “一边”没有指定腰或底边时，应分别讨论再检验。 新知讲授 方程的解不一定是几何答案 观察与思考 上例中满足周长，却不满足三角形两边的和大于第三边。 理解与表达 代数方程只使用了周长条件；几何图形还要求能够组成三角形。因此最后的检验不能省略。 例题讲解 变式 等腰三角形周长为，一边长为，求其他两边。 答：其他两边为或。 若6为底边，两腰均为。 若6为腰，另一腰为6，底为8；两种都满足三边关系。 出现两组有效解时，两组都要保留。 例题讲解 变式 已知等腰三角形的一边长为，一边长为，求它的周长。 答：。 若4为腰，则三边，因舍去。 若9为腰，则三边，周长。 重复哪条已知边，就相当于选择哪条边作为腰。 探究活动 为什么屋架采用三角形 操作 用三根长度固定的木条首尾相接，在各端点处用钉子连接。轻轻扭动，观察形状能否改变。 发现 在边长保持不变时，三角形木架的形状不变。这种稳定性使三角形适合用于屋架、支架等结构。 新知讲授 三角形的稳定性 观察与思考 三角形是具有稳定性的图形。这里强调三条边的长度固定时，图形的形状也随之确定。 理解与表达 矩形木框的四条边即使长度不变，角仍可能改变。增加一条对角支撑后，形成两个三角形，框架更稳定。 例题讲解 示例 四边形木框的四个顶点用活动铰链连接。仅增加一根直杆，怎样加固？ A B C D 答：连接一组对角顶点，例如加直杆。 直杆把木框分成和。 两个三角形的边长固定，利用三角形的稳定性加固。 支撑杆应把原框架分成三角形，沿已有边加杆不起相同作用。 课堂练习 练习1 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1） 。 （2） 。 （3） 。 （1） 答：不能。 。 （2） 答：不能。 ，必须严格大于。 （3） 答：能。 。 三个正数判定时，只需要检查最短两边之和。 课堂练习 练习 一根长的木条和两根长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根长的木条和一根长的木条呢？ 答：前者不能；后者能。 ，第一组不能组成三角形。 ，第二组组成腰长4、底长1的等腰三角形。 “有两边相等”之外，还必须满足组成三角形的条件。 课堂练习 练习 三角形的三边长分别为，则的取值范围是______。 答：。 两边之差为，两边之和为。 第三边大于差且小于和。 边长范围必须同时写上界和下界。 课堂练习 练习 长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 答：2种：与。 四组依次为。 最短两边之和依次为，只有第一、四组大于最长边。 列出全部四种组合，再逐一检验，不能漏掉等于的失败情形。 课堂练习 习题 求下列等腰三角形的周长。 （1） 一边长为5，一边长为6。 （2） 一边长为4，一边长为9。 （1） 答：或。 和都满足三边关系。 （2） 答：。 不成立，只有成立。 分别将两条已知边作为腰长，周长可能有两个结果。 方法归纳 三边问题的三种入口 判断能否围成 ① 三个正数排序，最短两边之和要大于最长边。 ② 和等于最长边时，三点共线，不能围成。 边长计算 ① 已知两边用差与和夹住第三边。 ② 等腰问题分清腰、底，方程求解后检验。 新知讲授 检验一个错误解答 观察与思考 “三边为，因为，所以能组成三角形。”这个解答只检查了一个自动成立的关系。 理解与表达 正确检查应为，所以不能组成三角形。反例说明“任意两边”的含义不能替换成“某两边”。 例题讲解 示例 已知三角形两边为和，第三边是偶数，求。 答：。 先得。 在区间内选择偶数6、8、10。 先满足几何范围，再加入整数、奇偶等附加条件。 新知讲授 稳定性与边长条件的区别 观察与思考 边长条件解决“三根杆能不能围成三角形”；稳定性解决“已经围成且边长固定后，形状会不会改变”。 理解与表达 两者都涉及三条边，但所回答的问题不同。应用中先确保能形成三角形，再讨论结构的稳定性。 课堂总结 三角形的边 理论依据 两点之间，线段最短。 三边关系 。 判定方法 最短两边之和大于最长边。 等腰讨论 分腰、底两种情形，并检验。 实际应用 三角形具有稳定性。 针对训练 训练 以下能组成三角形的是：A.；B.；C.；D.。 答：C。 ；其余最短两边之和不大于最长边。 最长边不是每个选项中的第三个数时，应先排序。 针对训练 训练 三角形两边为，第三边满足______。 答：。 ，。 两个端点都不能取。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 三边3、3、6可以组成等腰三角形。 错误 ，三点共线。 （2） 三角形任意两边之差小于第三边。 正确 由三边关系移项可得。 （3） 三角形三边固定后形状不会改变。 正确 这是三角形的稳定性。 “两边相等”不能替代三边成立条件。 针对训练 训练 两边长为，第三边为整数，有多少种可能？ 答：9种。 ，可取整数4至12。 。 严格范围中的整数计数需要首尾各核对一次。 针对训练 训练 三角形两边为，求周长的范围。 答：。 第三边。 ，各端加13。 周长是在第三边范围两端加上已知两边之和。 针对训练 训练 等腰三角形两边为，求第三边。 答：。 第三边只能为5或11。 ，所以第三边5应舍去。 两条已知边不相等时，第三边必须重复其中一条。 针对训练 训练 等腰三角形周长为，腰长是底边长的2倍，求三边。 答：。 设底边为，则，。 ，三边有效。 两条腰都要按2x计入周长。 针对训练 训练 等腰三角形周长为，一边长为，求三边。 答：或。 若8为底边，则腰为9；若8为腰，则底为10。 两组都满足三边关系。 题目没有指定腰时，不可只列一个方程。 针对训练 训练 园艺师用围栏围等腰三角形花坛，希望一边为。求可行的三边长度。 答：或，单位均为米。 10为底：两腰为7，。 10为腰：底为4，。 实际长度仍须同时满足周长与三边关系。 针对训练 训练 现有长的直杆各一根，任选三根制成三角形支架，有几种选择？ 答：2种：和。 四组中与成立。 ，，另外两组失败。 先枚举四种组合，再用最短两边之和筛选。 方法归纳 本课解题方法 三边关系的使用 ① 从两点之间线段最短理解严格不等式。 ② 判断先比较最短两边；求范围用差小于第三边小于和。 等腰边长的计算 ① 把未指定的一边分别视为腰和底。 ② 计算出的每一组长度都代回三角形不等式检验。 $