15.1 图形的轴对称（第3课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章　轴对称 15.1 图形的轴对称（第3课时） 垂直平分线与对称轴的尺规作图 数学新教材人教版　八年级上册 新知讲授 只用直尺与圆规找中点 问题 一根线段没有刻度，怎样精确找到它的中点？目测只能估计，尺规作图需要用已知的几何关系确定位置。 思路 若能作出这条线段的垂直平分线，它与原线段的交点就是中点。关键转化为：找到两个到线段端点等距的点。 例题讲解 示例 作线段的垂直平分线，为什么通常要确定两个不同的等距点？ 答：两点确定一条直线。 一个等距点只能定位线上一点，经过它还有许多直线。 两个不同的等距点都在线段的垂直平分线上，它们的连线就是目标直线。 新知讲授 圆规把等长变成作图 圆心与半径 以一个端点为圆心作弧，弧上的点到该端点的距离都等于半径。再用同样半径以另一端点作弧，交点到两个端点等距。 操作要求 两次半径必须保持相同，且要使两弧有两个交点。保留作图痕迹，最后用直尺画出所求直线并标注名称。 A B C D O 例题讲解 作图 已知线段，用直尺和圆规作它的垂直平分线。 答：分别以 、 为圆心，以大于 一半的同样长度为半径作弧。 两组弧交于 、。 交点 、 都到 、 等距。 例题讲解 作图 已知线段，分别以为圆心，以大于的同样长度作弧，两弧交于。完成垂直平分线。 A B C D O 答：作直线 ，它就是 的垂直平分线。 ，，所以 、 都在 的垂直平分线上。 由两点确定直线， 就是所求直线。 例题讲解 示例 若作弧半径小于，两组弧能得到所需的两个交点吗？ 答：不能。 两组弧不能相交，无法得到两个等距点。 若半径恰好等于半长，只在中点接触，也不足以确定直线。 例题讲解 示例 以 、 为圆心作弧，半径分别取 和 ，所得交点到 、 是否等距？ 答：不等距。 交点到两圆心的距离分别为 与 。 半径不同不能直接用垂直平分线的判定。 例题讲解 示例 用尺规作出线段 的中点 ，并说明理由。 答：先作 的垂直平分线，与 交于 。 垂直平分线按定义经过线段中点。 因此 ， 是所求中点。 例题讲解 示例 作出线段 的垂直平分线 后，可以同时得到哪些结论？ 答：，交点满足。 作图所得的同一条直线兼具垂直和平分两种性质。 这两个结论可供后续尺规作图使用。 新知讲授 从线段垂直平分线到对称轴 选点 已知两个图形成轴对称，选一对不同的对应点并连接。轴必垂直平分这条连线，因此作其垂直平分线即可。 核查 要先确认所选点确实对应。任意选两个外形相近的点，可能得到错误直线；作完后可检查其余关键点是否同时对称。 例题讲解 示例 在正五角星上选定一对关于某轴对应的顶点，怎样作出这条轴？ 答：连接这对顶点，作所得线段的垂直平分线。 明确这一对点是折叠后互相重合的点。 按照同半径作弧、连接交点的方法作直线。 例题讲解 示例 给定一个圆及其圆心 ，如何画它的一条对称轴？ 答：过 任作一条直线。 圆上任意点沿过圆心的直线折叠，仍落在这个圆上。 过圆心的直线有无数条，因此可作出不同的对称轴。 新知讲授 先分析再作图 逆向思考 设所求垂线已经存在，它若经过直线外一点，就可以看成直线上某条线段的垂直平分线。需要先在原直线上找到两端点。 确定条件 两个端点必须到给定点等距。以给定点为圆心作弧，交原直线于两点，正好满足这个要求，再构造第二个等距点。 例题讲解 例 已知直线和外一点，用直尺和圆规作的垂线，使它经过点。 答：以点 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 于 、。 选半径使圆弧与直线有两个不同交点。 ，所以 在 的垂直平分线上。 例题讲解 例 已知直线和外一点，用直尺和圆规作的垂线，使它经过点。 答：分别以 、 为圆心，以大于 一半的同样长度为半径作弧，取交点 ，作直线 。 ，故 也在 的垂直平分线上。 是 的垂直平分线，而 、 在 上，故 垂直于 。 例题讲解 示例 过直线外一点 作垂线时，为什么构造的第二个等距点 必须与 不同？ 答：需要两个不同的点才能确定直线。 若只得到同一点，就没有确定直线方向。 可取直线另一侧的弧交点，使 与 明显不同。 例题讲解 示例 直线竖直或倾斜时，过直线外一点作垂线的方法是否改变？ 答：基本方法不变。 仍用给定点为圆心在已知直线上截出两个等距点。 连接两个等距点，构造对应线段的垂直平分线。 方法归纳 把作图步骤与证明配成一对 构造等距点 ① 分别以线段两端为圆心，用相同且大于半长的半径作弧。 ② 两交点到两端等距，连接后得到垂直平分线。 作过点的垂线 ① 先在已知直线上截出到给定点等距的两点。 ② 再构造第二个等距点，连接两等距点并说明理由。 课堂练习 练习 作出图中各图形的一条对称轴，并与同学比较是否相同。 答：五个图形均可作竖直中线；其中圆的选择不唯一。 上方长方形有两条，圆有无数条；蝴蝶结图案有水平、竖直两条。 下方风筝形取竖直轴，等边三角形有三条；作一条即可。 课堂练习 练习 与图形（）成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴。 答：图形（）。 （）（）关于两图之间的竖直直线对称。 （）与（）同向平移；（）虽形状相近，不能沿同一条直线与（）重合。 课堂练习 练习 尺规作图：经过已知直线上的一点 作这条直线的垂线。 A B P C D 答：在直线上取 ，再作 的垂直平分线。 以 为圆心作弧交直线于 、，得到 。 分别以 、 为圆心作等半径弧得 、，直线 经过 且垂直原直线。 课堂练习 练习 过直线上 点作垂线时，为什么作 的垂直平分线会自动经过 ？ 答： 是 中点。 已构造 ，且 、、 共线，故 为 中点。 垂直平分线按定义经过中点，因此它经过 。 课堂练习 练习 分别以线段为一直角边和斜边，作直角三角形（）。 A B C 答：作 ；过 作 的垂线；以 为圆心、 为半径画弧交垂线于 ，连接 。 是给定直角边，。 垂直 ，故三角形满足条件。 课堂练习 练习 一张作图只画最终直线，没有圆弧或交点，怎样改进才能让别人检查依据？ 答：保留关键圆弧、交点标记和必要文字步骤。 让两次相等半径及弧的交点可以识别。 写明连接哪两个点、所得直线为何满足目标条件。 例题讲解 示例 为作出的垂直平分线，交于。若，求。 答：。 。 。 例题讲解 示例 某同学先取 中点 ，再随意画过 的直线 ，称它为 的垂直平分线。错误在哪里？ 答：没有保证 与 垂直。 只满足“平分”，尚未满足“垂直”。 应按等半径弧交点连线作图，或另外证明其与 垂直。 例题讲解 示例 作出了两个图形一对对应点连线的垂直平分线，还应怎样检查结果？ 答：检查其他关键点是否关于这条直线对称。 连接其他对应点，看是否同样被该直线垂直平分。 若不满足，须重新检查所选点的对应关系或作图误差。 新知讲授 三种尺规任务的共同思想 共同依据 作垂直平分线、过线外点作垂线、过线上点作垂线，都可以转化为构造到某两点等距的点，再由两个点确定直线。 不同起点 作垂直平分线已有两个端点；过线外点需先截出两端；过线上点先把给定点构造成一条线段的中点。 例题讲解 示例 作 的垂直平分线时，把共同作弧半径从 改为 ，且均大于 的一半，所得直线是否改变？ 答：不改变。 不同半径得到的弧交点位置可能不同。 但这些点都到 、 等距，所以连线仍是同一条垂直平分线。 课堂总结 尺规作图 依据 等距点在垂直平分线上。 作线 同半径作弧→取两交点→作直线。 作轴 对应点连线→作垂直平分线。 作垂线 先构造直线上的两个等距点。 检查 同半径、大于半长、保留痕迹。 针对训练 训练 作垂直平分线时，共同半径应满足什么条件？ 答：大于。 保证弧有两个不同交点。 作图条件服务于交点的存在。 针对训练 训练 ，共同半径取，哪一个可按标准方法得到两个交点？ 答：。 小于半长， 等于半长， 大于半长。 不能把“大于”写成“大于或等于”。 针对训练 训练 以 、 为圆心、同半径作弧交于 。必有哪两条线段相等？ 答：。 两线段都是作弧的半径。 等长关系来自同一半径。 针对训练 训练 、 都到 、 等距，为什么 垂直 ？ 答： 是 的垂直平分线。 、 都在垂直平分线上；两点确定直线。 先证明是垂直平分线再得垂直。 针对训练 训练 过直线外点 作垂线，已以 为圆心交直线于 、，下一步怎样做？ 答：构造另一个到 、 等距的点 ，再作 。 用 、 为圆心作相同半径的弧得 。 给定点已是一个等距点。 针对训练 训练 有人用不同半径分别以 、 为圆心作弧，连接交点，声称是垂直平分线。结论有保证吗？ 答：没有。 交点到 、 距离分别等于不同的半径，不满足等距。 两次半径相同是必要的作图依据。 针对训练 训练 一个图形关于 对称。若选的“对应点”重合且就在 上，能作它们连线的垂直平分线来找 吗？ 答：不能。 两点重合没有非零线段，不能这样确定垂直平分线。 选择轴外的一对不同对应点。 针对训练 训练 已知直角边长，斜边长，描述尺规作图。 答：作 ，过 作垂线，以 为圆心、 为半径画弧交垂线于 。 连接 ，得到的三角形在 处为直角，、。 长度截取与垂直关系分别保证。 针对训练 训练 工人有一块对称招牌，已标出左右一对对应角点 、。不用测量怎样找中心线？ 答：作 的垂直平分线。 中心线垂直平分对应点连线；尺规作图可确定这条直线。 先保证所标角点确实对应。 针对训练 训练 平面图上主路为直线 ，仓库为线外点 。怎样用尺规画出从仓库垂直接入主路的支线？ 答：以 为圆心作弧交 于 、，再作 的垂直平分线，取 到 的部分。 到 、 等距，故所作垂直平分线经过 且垂直 。 最后区分完整垂线与实际支线路段。 方法归纳 把作图步骤与证明配成一对 构造等距点 ① 分别以线段两端为圆心，用相同且大于半长的半径作弧。 ② 两交点到两端等距，连接后得到垂直平分线。 作过点的垂线 ① 先在已知直线上截出到给定点等距的两点。 ② 再构造第二个等距点，连接两等距点并说明理由。 $