15.3 等腰三角形（第3课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章　轴对称 15.3 等腰三角形（第3课时） 等边三角形的性质与判定 数学新教材人教版　八年级上册 新知讲授 从两腰相等走向三边相等 问题 等腰三角形至少有两边相等。如果第三条边也与它们相等，图形的角会出现什么新特点？它的轴对称性会怎样改变？ 研究路线 等边三角形属于特殊的等腰三角形，先使用已学的等边对等角和内角和，再把结论反过来寻找判定条件。 A B C 新知讲授 等边三角形 教材定义 三边都相等的三角形是等边三角形。 理解要点 等边三角形是特殊的等腰三角形。因此此前关于等腰三角形的底角和三线合一性质，在选定任意一边为底边后都能使用。 探究 探究 ，说明之间的关系。 A B C 答：。 由 得角 =角 。 由 得角 =角 ，因此三个角相等。 新知讲授 等边三角形的角 教材定义 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于。 理解要点 三个内角和为 ，再由三个角相等，每个角均为 。这里两个条件缺一不可，不能只凭一个角为 就判定等边。 例题讲解 示例 若为等边三角形，设每个内角为，求。 答：。 三个角相等且和为，故。 解得。 新知讲授 判定一：三个角都相等 教材定义 三个角都相等的三角形是等边三角形。 理解要点 用等角对等边，两次得到相应边相等，便可串成三边都相等。此判定是等边三角形角相等性质的逆向使用。 例题讲解 示例 已知，证明。 答：。 由角 =角 得 。 由角 =角 得 ，故三边相等。 新知讲授 判定二：等腰且有六十度角 教材定义 有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 理解要点 “等腰”与“有一个 角”是同时具备的条件。这个 角可以是顶角，也可以是底角，两种情况都需说明。 例题讲解 示例 等腰三角形顶角为，证明它是等边三角形。 答：是等边三角形。 两个底角均为。 三个内角相等，故三边相等。 例题讲解 示例 等腰三角形一个底角为，证明它是等边三角形。 答：是等边三角形。 另一个底角同为 。 顶角为 −−=，三个角都相等。 例题讲解 示例 三角形一个角为，是否一定是等边三角形？ 答：不一定。 例如三个内角为。 缺少等腰或另外的等角条件，不能判定等边。 例题讲解 示例 三角形两个角均为，是否一定是等边三角形？ 答：是。 第三角由内角和也为 。 三个角都相等，满足等边判定。 新知讲授 性质与判定形成网络 性质 已知等边时，可使用三边相等、三角均为 及各边上的三线合一。解题应根据目标选择边或角的信息。 判定 可检验三边相等、三角相等，或“等腰加一个 角”。选择题设已经最接近的条件，避免绕远路。 例题讲解 例4 是等边三角形，，分别交于。求证是等边三角形。 A B C D E 答：，。 ∥，得到两组同位角相等。 大三角形等边，所以角 、、 都为 。 例题讲解 例4 是等边三角形，，分别交于。求证是等边三角形。 A B C D E 答：是等边三角形。 。 三个角都相等，所以小三角形是等边三角形。 例题讲解 变式 例的条件下，若，求的周长。 A B C D E 答：。 已经证明小三角形 等边，所以三边均为 。 周长为。 例题讲解 示例 在等边三角形中，从任一顶点作对边的高，这条高还是什么线？ 答：也是该边的中线和顶角平分线。 把该边选作等腰三角形的底边。 由三线合一，高同时平分底边和 顶角。 方法归纳 选取最直接的等边判定 先看已有条件 ① 已知三边相等，可直接按定义判定。 ② 已知三个角相等，或已知等腰且一个角为六十度，可选对应判定。 把复杂图分成小三角形 ① 用平行线、角平分线或已知角补齐小三角形的角度。 ② 判定小三角形等边后再传递等边关系，注意区分已画线段与未连接的两点。 课堂练习 练习 画出等边三角形的三条对称轴。你能发现什么？ A B C D E F 答：三条对称轴分别为各边中线所在直线，它们交于一点。 每条中线同时是高和角平分线，其所在直线使三角形折叠重合。 三角形三边的垂直平分线共点，三条轴也共点。 课堂练习 练习 在等边三角形中，是上的高，。图中有哪些与相等的线段？证明你的结论。 A B C D E F 答：，，且。 角 =角 ，所以三角形 等边。 同理三角形 等边； 是底边高，故 。 课堂练习 练习 在等边三角形中，是上的高，。图中有哪些与相等的线段？证明你的结论。 A B C D E F 答：与相等的已画线段有。 ，又，所以。 同理 ；其余等长线段由两个小等边三角形得到。 课堂练习 练习 ，，交于。求证是等边三角形。 答：三角形 是等边三角形。 由平行线得角 =角 。 角 =角 ，第三角也为 ，故等边。 例题讲解 巩固 等边三角形中，平分顶角，求。 A B C D E F 答：。 顶角 被平分，两部分均为 。 等边属于等腰，顶角平分线也是高。 例题讲解 示例 等边三角形三边分别为，求。 答：。 得。 代入三边均为 ，符合第三条边的条件。 例题讲解 示例 一个等边三角形周长为，一条中线把底边分成两段，每段多长？ 答：。 边长为。 中线平分底边，每段为 。 例题讲解 示例 “等腰三角形都是等边三角形；等边三角形都是等腰三角形。”分别判断。 答：前者错误，后者正确。 两边相等不一定三边都相等。 三边都相等当然包含有两边相等。 例题讲解 示例 等边三角形的顶角被对应对称轴分成几度的两个角？ 答：均为。 对称轴平分顶角，而顶角为 。 三条轴分别在各自顶点平分相应内角。 新知讲授 不要混淆图形整体与局部 读图 大三角形等边，不表示其中任意小三角形都等边。需要逐一检查小三角形的边或角条件，不能只看它处在等边图形内部。 迁移 平行线可以把大三角形的 角带到小三角形；高则会产生直角与 角。不同辅助线产生不同结构，要分别识别。 例题讲解 示例 在等边三角形中作高，是等边三角形吗？ 答：不是。 角 ，不可能有三个 角。 它是含有 和 锐角的直角三角形。 课堂总结 等边三角形 定义 三边都相等。 性质 三个角均为六十度，有三条对称轴。 判定一 三个角相等。 判定二 等腰且有一个六十度角。 应用 用平行线找角，判定后传递边长。 针对训练 训练 等边三角形的一个内角是多少度？ 答：。 三个内角相等，内角和为 。 性质需要以等边为已知。 针对训练 训练 一个三角形三个内角都相等，它一定是什么三角形？ 答：等边三角形。 等角对等边得到三边都相等。 由角的条件得到边的结论。 针对训练 训练 等腰三角形的一个底角为，求其余两角。 答：均为。 另一底角同为 ，顶角由内角和也为 。 底角和顶角两种角色均可形成等边。 针对训练 训练 只有，能否判定等边？ 答：不能。 还需要等腰或另外的等角、等边条件。 别遗漏判定中的“等腰”。 针对训练 训练 等边三角形周长为，边长多少？ 答：。 三边相等，边长为。 整体周长平均分为三份。 针对训练 训练 等边三角形的顶角平分线与相邻边夹角是多少？ 答：。 每个顶角为 ，平分后为 。 区分顶角与半个顶角。 针对训练 训练 等边三角形两边为与，求和边长。 答：，边长。 得。 代回检验边长为正。 针对训练 训练 等边三角形中，一条平行于底边的截线与两腰交于，若，求。 答：。 顶端小三角形三个角都为 ，所以等边。 先判定小三角形，再作等长替换。 针对训练 训练 一个等边三角形标牌每边，沿三边安装灯带，共需多少米？ 答：。 周长为。 把灯带总长对应到三边总长。 针对训练 训练 一个三角支架要求三根边杆等长。设计图上两内角均标为 ，是否足以保证要求？ 答：足以。 第三角由内角和也为 ，三个角相等，三边相等。 用角度条件验证长度要求。 方法归纳 选取最直接的等边判定 先看已有条件 ① 已知三边相等，可直接按定义判定。 ② 已知三个角相等，或已知等腰且一个角为六十度，可选对应判定。 把复杂图分成小三角形 ① 用平行线、角平分线或已知角补齐小三角形的角度。 ② 判定小三角形等边后再传递等边关系，注意区分已画线段与未连接的两点。 $