29.2.2 解直角三角形的应用（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

第二十九章 三角初步 29.2.2 解直角三角形的应用 课标要点 1. 理解仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方位角等实际问题中的概念； 2. 能把实际问题抽象成直角三角形模型，掌握解直角三角形的方法（勾股定理、锐角三角函数）； 3. 会添加辅助线构造直角三角形，解决双直角三角形组合问题。 4. 经历 “实际问题→几何图形→直角三角形” 建模过程，提升几何建模、数形结合能力；学会通过作垂线分割复合图形，转化为基础直角三角形求解。 学习重难点 重点： 1. 仰角、俯角、坡比、方位角的理解； 难点： 数学建模——添加辅助线，把文字信息转化为解直角三角形：过顶点作水平线、竖直线构造直角三角形。 知识点 解直角三角形的应用 1. 仰角、俯角 仰角指的是在水平线上方的视线与水平线所成的夹角；俯角指的是在水平线下方的视线与水平线所成的夹角； 2. 方位角 方位角指的是正南或正北方向与目标方向所形成的小于90°的夹角； 3. 坡度、坡角 坡度（也叫坡比）指的是斜坡上升（或下降）的垂直距离与水平距离的比（一般表示为i=1:m的形式）； 坡角α指的是斜坡坡面与地面（水平线）的夹角。 坡度与坡角的关系： 4. 解直角三角形应用的解题步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 题型 仰角、俯角问题 ▌例1如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，利用角的正切值分别表示出和的长，即可得解； （2）将所给数值代入（1）所得式子计算求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 气球的高度是； （2）解：，，，， 则气球的高度是 ▌对点练1. 如图，淮安市西游乐园景区的两个景点A、B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为100米，则两景点A、B间的距离为多少米？（结果保留根号）． 【答案】米 【分析】解直角三角形，求得即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 米， 米，米， （米）， 答：A、B之间的距离为米． ▌对点练2 如图，水平地面上两棵树和之间的距离为6米．当小邺站在地面上的点P处时，他隔着树只能看到树的顶端．若他沿射线方向后退至点Q处时，看树顶端的仰角为，且．求树比树高多少米．（参考数据：，，．） 【答案】树比树高米 【分析】过点作，分别为小邺的头部位置，设直线分别交于点，设，根据得出，证明，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，分别为小邺的头部位置，设直线分别交于点 设米，依题意， ∵ ∴米 依题意，，米 ∵ ∴米 ∵， ∴， ∴ ∴ 解得：米 答：树比树高米． ▌对点练3. 在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度（即）为，，，在处测得处的仰角为，在处测得处的仰角为． (1)的度数为______； (2)求建筑物的高度．（，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助仰角求出，再借助求出，两角相减求得； （2）过点作，作的延长线，过点作，先证明四边形为矩形，再根据坡度算出山坡竖直高度，再利用等腰直角三角形与含角的直角三角形边长特性求出，加上得到建筑物高度并近似取值． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， 根据题意可知，，， 则， ， ， ． （2）解：如图，过点作，作的延长线，过点作， ， 四边形为矩形， ，， 的坡度为， ， ， ， 设，则， ， ，， 解得， ，， ， ， ， ，， 据（1）知，， ， ， ∵， ， ． 题型 方位角问题 ▌例1 如图，燃气公司的主管道从A小区向北偏东方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装燃气的M小区在A小区北偏东方向，燃气测绘员沿主管道步行6000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西方向，请用尺规作图找出支管道连接点N（不写作法，保留作图痕迹），使到M小区铺设的管道最短，并求出的长．（参考数据：，，） 【答案】支管道连接点N如图所示， ，的长为2880米． 【分析】利用尺规作图作出即可，设，求得，，解直角三角形求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：支管道连接点N如图所示， 设， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 答：的长为2880米． ▌对点练1. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶20千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)求的度数； (2)求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号） 【答案】(1) (2)两地的距离是千米 【分析】（1）根据题意可得：，，，从而可得，然后利用平角定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）过点作于点，在中，可求出，，由可得，进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作于点， 在中， ， ，， ， ， （千米） 答：两地的距离是千米． ▌对点练2. 如图，一海轮位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程的值（结果保留根号）． 【答案】海里 【分析】首先作辅助线拆分：过点作于，将拆分为，得到两个含特殊角的直角三角形，再解三角形即可． 【详解】解：过点作于点． 在中，， ． 在中，． ． ． 答：航程的值为海里． ▌对点练3. 中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 【答案】(1) (2)B，C两地的直线距离约为千米 【分析】（1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离． 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：如图，过点B作，垂足为G． 在中，千米，， ∴（千米）． 在中，， ∴（千米）， ∴B，C两地的直线距离约为千米． 题型 坡度、坡比问题 ▌例1 如图，小明从点出发，沿着坡角为的坡道向上走了到达点（），再沿着坡度为的坡道向上走了到达点（）．求小明沿垂直方向升高的高度（即的长）．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】小明沿垂直方向升高的高度为 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， 在中，， ． 在中，， ． ∵， ∴，解得． ． 答：小明沿垂直方向升高的高度为． ▌对点练1. 在一次数学实践活动中，九（1）班数学小组想要测量山坡上一棵松树的高度（如图1）．经测量，数学小组绘制出图2的示意图，其中松树与水平地面垂直，在斜坡O处测得松树顶端B的仰角，并测得斜坡的坡度i（即）为，然后沿着斜坡行走至松树底端A处，测得． (1)求点A到水平地面的距离； (2)求松树的高（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)点A到水平地面的距离为； (2)松树的高为． 【分析】（1）延长交于点H，根据三角函数得到，设，，根据勾股定理求出，即可求出点A到水平地面的距离； （2）根据三角函数得到，求出的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图，延长交于点H， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 设，， 由，得， 解得：， ∴，， 答：点A到水平地面的距离为； （2）解：在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：松树的高为． ▌对点练2. 如图1是某超市从一楼到二楼的一自动扶梯，图2是其侧面示意图．已知自动扶梯的坡度为，的长是米，是二楼楼顶，，点是上处在自动扶梯顶端正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，求二楼的层高．（精确到米） （参考数据：，，） 【答案】米 【分析】先由，可得米，米，求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于点． ∵， ∴． ∴， 设米，则米． ∵，米， ∴． ∴， ∴米，米． ∵， ∴米， ∴米． 答：二楼的层高约为米． ▌对点练3. 如图，小明从点出发，沿着坡角为的坡道向上走了到达点，再沿着坡角为的坡道向上走了到达点．问小明沿垂直方向一共升高了多少m？ （精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】小明沿垂直方向一共升高了． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．分别在和中，根据正弦函数的定义列式计算求得和的长，由此即可得． 【详解】解：分别过点和作地面的垂线，垂足分别为点和，作于点， 则四边形是矩形， ∴，在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∴， 答：小明沿垂直方向一共升高了． 题型 其他有关角度的问题 ▌例1 我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． ▌对点练1. 图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图，此时运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，且，，三点共线．若滑雪杖长为，，，，求此时运动员头部到斜坡的距离的长度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】由，，推导出，在中求出；再在中求出；由求得最终长度． 【详解】解：， ∴， ∵， ． 在中，，，， ． 在中，，，， ． ， 答：运动员头部到斜坡的距离的长度为． ▌对点练2. 火灾是最经常、最普遍地威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角的度数范围为，点A距离地面的高度为． (1)当起重臂长度为，张角时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度． (2)一日，某居民家突发火灾，已知该居民家距离地面的高度为．请问该云梯消防车能否实施有效救援？（参考数据：） 【答案】(1) (2)该云梯消防车能实施有效救援， 理由：如图：当，时，消防车能实施救援的高度最大， 过点作，垂足为， 则，， ， 在中，， ， ， ， 该云梯消防车能实施有效救援． 【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，进而可得，然后进行计算即可解答； （2）当，时，消防车能实施救援的高度最大，过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， ， 云梯消防车最高点距离地面的高度为； （2）略 ▌对点练3. 图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动，．（参考数据：，，，，，，） (1)若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）； (2)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在直线上即可、求旋转的角度． 【答案】(1)点A到直线的距离约为 (2) 【分析】（1）过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，则四边形为矩形，在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，再根据点A到直线的距离为求解； （2）依题意画出图形，在中，解直角三角形可得旋转后的度数，则旋转的角度等于减去旋转后的度数． 【详解】（1）解：如图，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，则四边形为矩形； 由题意可知， ，，，， 在中，， ， 又∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， 在中，， ∴， ∴点A到直线的距离约为； （2）解：依题意画出图形，如图 在中，，，， ∴， ∴， ∴旋转的角度． 题型 梯形问题 ▌例1 如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度为i为，坝顶，坝高．求坝底的长．（结果精确到，参考数据：） 【答案】15.7 【分析】过点作于点，过点C作于点F，则四边形是矩形，则有米，米，根据，背水坡的坡度为，可得，米，结合图形可知，代入即可求解 【详解】解：如图，过点作于点，过点C作于点F， 四边形是矩形， 米，米， ，背水坡的坡度为， ，米， （米）． ▌对点练1. 如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为_________． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形的应用．过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足分别为、， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：8． ▌对点练2. 甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】由题意可知，四边形都是矩形可得．在中解直角三角形可得，在中解直角三角形可得，再根据列方程求得，进而求得的长即可． 【详解】解：由题意可知，四边形都是矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 答：甘州木塔的高度约为． ▌对点练3. 清风阁位于安徽省合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年、弘扬包公精神、宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图，某数学小组开展了测量清风阁高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．观测点和清风阁分别在包河的两侧，美美同学用高度为1米的测角仪，在点A处测得清风阁顶M的仰角为，然后她沿坡度的斜坡走了13米到达点C，又用同样的测角仪测得清风阁顶M的仰角为．求清风阁的高度（A，B，C，D，M，N在同一平面内，结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】米 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形列方程逐一推算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 根据题意， ∴点共线，点共线，点共线， 根据题意可得四边形，四边形，四边形，四边形为矩形， 米，， ∵， ∴设米，米， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负数舍去）， 米， 米， 米， 米， 米， 设米，则米， ， 米， 米， 米， ，即， 解得， 米， 答：清风阁的高度约为米． 1．如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为，米，则树高为（  ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是根据题意，则，根据，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（米）． 故选：D． 2．元旦期间，小明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动，在离电线杆21米的D点，用高米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角，则电线杆AB的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，可以通过点C作于点E，把求的问题转化为求的长，从而可以在中利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图．过作于， ∴，， 在中，，， ， ， 故选：B 3．周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图．钓鱼竿的长为m．露在水面上的鱼线的长为m，刘老师想看看鱼钩上的情况．把鱼竿逆时针转动15°到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（    ） A．m B．m C．m D． 【答案】C 【分析】先求出，在求出，最后利用特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形——特殊角的三角函数的应用，解题关键是能利用三角函数值求出角，以及利用特殊角的三角函数值求出线段的长． 4．如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（     ） A．10米 B．15米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为，然后运用正弦函数解答即可． 【详解】解：如图， 因为坡度比为，即， ∴ ， 由题意可知，运动员沿斜坡滑下米， 则其下降的高度米． 5．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数． 利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴， 故选：B． 6．如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】本题考查了方位角解直角三角形，矩形的性质，勾股定理的运用，掌握方位角解直角三角形的计算，图形结合分析思想是解题的关键．根据题意，可确定点在线段垂直平分线的交点处，如图所示，可得，作，与交于点，可得四边形是矩形，根据，运用特殊角的三角函数可得的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，点到三艘军舰的距离相等，即点在线段垂直平分线的交点处，作图如下，    ∴，，垂足分别为点，作，过点作于点，与交于点，连接， 由题意得海里，海里，四边形是矩形， ∴海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴海里，且， ∴在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， 故选：C ． 7．一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，设BC=x，则AB=7x，AC=，列出方程，进而即可求解． 【详解】解：设BC=x，则AB=7x， 由题意得： ，解得：x=， 故答案为：． 【点睛】u本题主要考查勾股定理和坡度，掌握坡度的定义，利用勾股定理列出方程，是解题的关键． 8．如图，水平地面上护林员与树根的距离，护林员的眼睛与地面距离，在此处观测到树梢点D的仰角为，则树高______m． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，则，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则，， 在中，， ∴， ∴ 故答案为： ． 9．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为___________ m．（参考数据：，，） 【答案】750 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 根据题意得到过点B作，则四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到，再根据正切值的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， 如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：750． 10．如图，是高为60米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据俯角、坡度的定义得出角的关系，利用特殊的三角函数值、构造直角三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 延长，过点作，垂足为点，作交于点，过点作，由坡面的坡度得到，，设，所以，，在中，由解得的值，从而求出的长． 【详解】解：如图，延长，过点作，垂足为点，作交于点，过点作， 坡面的坡度为， ， ，． 设， 由题意得，， ， ， ， 在中， ， ，解得， ，， 在中， ， ． 故答案为． 11．小明准备用无人机测量自己居住的楼房的高度，当无人机飞行到点正上方的点时，测得飞行高度为，楼顶点的俯角为，楼底点的俯角为，已知，，，均在一个平面内，请帮小明求出楼房的高度．结果精确到．参考数据，，    【答案】楼房的高度约为 【分析】延长交延长线于点，由题意可知，设，在中，，根据正切的定义建立方程，解方程即可求解． 【详解】解如图，延长交延长线于点，   ， ， 由题意可知，设， ，， 在中，， ，即， 解得． 答楼房的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 12．某市发生地震后，为了抢救伤员，一架救援直升机从该市地起飞，运送一批地震伤员沿正北方向到机场，如图．上午8时，直升机从地出发，以的速度向正北方向飞行，9时到达地，此时，机场的导航站传来信息：在处有一座高山，因受天气影响，高山周围内能见度低，飞行时会遇到危险．经测量得，．问：该直升机继续向机场飞行是否有危险，请说明理由． 【答案】 解：该直升机继续向机场飞行无危险． 理由：如答图， 过点作于点， ，， ，， ， ． 由题意可得， ，． ， 该直升机继续向机场飞行无危险． 【分析】过点作于点，求得最短距离，与危险半径比较大小，判判断解答即可． 本题考查了解直角三角形的应用----方向角，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】略 13．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 14．国庆假期小明随父母去某景区度假，景区中一高塔吸引了他的注意.小明想知道它的高度于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是，向前走了15米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮他求出这座高塔的高度（参考数据：，，） 【答案】这座高塔的高度为米． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题．证明四边形均为矩形．在和中，根据三角函数的定义列式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， 则四边形均为矩形． 所以米，米， 在中，，则．设米， 在中，， 则，即， 解得：， 所以米， 则（米）． 答：这座高塔的高度为米． 15．我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦察我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动． (1)求此时巡逻船航行的距离的长；（保留整数，参考数据：，，） (2)我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号） 【答案】(1)29 (2)巡逻船的航行速度海里/小时． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，方位角的问题，相似三角形的判定与性质． （1）分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为，根据题意得：，证明四边形是矩形，解直角三角形求出，即可解答； （2）过点作，垂足为，证明，求，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为， 根据题意得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，（海里）， （海里）， 在中，（海里）， （海里）， （海里）； （2）解：过点作，垂足为， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 则（海里/小时） 答：巡逻船的航行速度海里/小时． 16．小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【答案】居民楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此得出，过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，分别在 和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵斜坡的坡比， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由题意得：， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ∴居民楼的高度约为． 迁移创新 1．（2026·上海·中考真题）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． (1)当米时，至少需要小于多少米？ (2)若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1)至少需要小于米 (2) 【分析】（1）将代入中，解得，即可求解； （2）过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，，在中，，，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，当米时，，解得， ∴至少需要小于米； （2）解：如图所示，过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，， 在中，，， ∴，， ∴． 2．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差． （2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， ，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 三角初步 29.2.2 解直角三角形的应用 课标要点 1. 理解仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方位角等实际问题中的概念； 2. 能把实际问题抽象成直角三角形模型，掌握解直角三角形的方法（勾股定理、锐角三角函数）； 3. 会添加辅助线构造直角三角形，解决双直角三角形组合问题。 4. 经历 “实际问题→几何图形→直角三角形” 建模过程，提升几何建模、数形结合能力；学会通过作垂线分割复合图形，转化为基础直角三角形求解。 学习重难点 重点： 1. 仰角、俯角、坡比、方位角的理解； 难点： 数学建模——添加辅助线，把文字信息转化为解直角三角形：过顶点作水平线、竖直线构造直角三角形。 知识点 解直角三角形的应用 1. 仰角、俯角 仰角指的是在水平线上方的视线与水平线所成的夹角；俯角指的是在水平线下方的视线与水平线所成的夹角； 2. 方位角 方位角指的是正南或正北方向与目标方向所形成的小于90°的夹角； 3. 坡度、坡角 坡度（也叫坡比）指的是斜坡上升（或下降）的垂直距离与水平距离的比（一般表示为i=1:m的形式）； 坡角α指的是斜坡坡面与地面（水平线）的夹角。 坡度与坡角的关系： 4. 解直角三角形应用的解题步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 题型 仰角、俯角问题 ▌例1如图，小明在A处利用测角仪观测气球C的仰角为，然后他沿正对气球方向前进了到达B处，此时观测气球的仰角为． (1)如果测角仪高度为，那么气球的高度是多少？． (2)如果测得，，，，那么气球的高度是多少？（精确到）（下列数据供参考：，，） ▌对点练1. 如图，淮安市西游乐园景区的两个景点A、B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为100米，则两景点A、B间的距离为多少米？（结果保留根号）． ▌对点练2 如图，水平地面上两棵树和之间的距离为6米．当小邺站在地面上的点P处时，他隔着树只能看到树的顶端．若他沿射线方向后退至点Q处时，看树顶端的仰角为，且．求树比树高多少米．（参考数据：，，．） ▌对点练3. 在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度（即）为，，，在处测得处的仰角为，在处测得处的仰角为． (1)的度数为______； (2)求建筑物的高度．（，结果精确到） 题型 方位角问题 ▌例1 如图，燃气公司的主管道从A小区向北偏东方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装燃气的M小区在A小区北偏东方向，燃气测绘员沿主管道步行6000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西方向，请用尺规作图找出支管道连接点N（不写作法，保留作图痕迹），使到M小区铺设的管道最短，并求出的长．（参考数据：，，） ▌对点练1. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶20千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)求的度数； (2)求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号） ▌对点练2. 如图，一海轮位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程的值（结果保留根号）． ▌对点练3. 中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 题型 坡度、坡比问题 ▌例1 如图，小明从点出发，沿着坡角为的坡道向上走了到达点（），再沿着坡度为的坡道向上走了到达点（）．求小明沿垂直方向升高的高度（即的长）．（结果精确到．参考数据：，，，） ▌对点练1. 在一次数学实践活动中，九（1）班数学小组想要测量山坡上一棵松树的高度（如图1）．经测量，数学小组绘制出图2的示意图，其中松树与水平地面垂直，在斜坡O处测得松树顶端B的仰角，并测得斜坡的坡度i（即）为，然后沿着斜坡行走至松树底端A处，测得． (1)求点A到水平地面的距离； (2)求松树的高（精确到）．（参考数据：，，） ▌对点练2. 如图1是某超市从一楼到二楼的一自动扶梯，图2是其侧面示意图．已知自动扶梯的坡度为，的长是米，是二楼楼顶，，点是上处在自动扶梯顶端正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，求二楼的层高．（精确到米） （参考数据：，，） ▌对点练3. 如图，小明从点出发，沿着坡角为的坡道向上走了到达点，再沿着坡角为的坡道向上走了到达点．问小明沿垂直方向一共升高了多少m？ （精确到，参考数据：，，，，，） 题型 其他有关角度的问题 ▌例1 我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） ▌对点练1. 图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图，此时运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，且，，三点共线．若滑雪杖长为，，，，求此时运动员头部到斜坡的距离的长度．（精确到）（参考数据：，，） ▌对点练2. 火灾是最经常、最普遍地威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角的度数范围为，点A距离地面的高度为． (1)当起重臂长度为，张角时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度． (2)一日，某居民家突发火灾，已知该居民家距离地面的高度为．请问该云梯消防车能否实施有效救援？（参考数据：） ▌对点练3. 图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长，支撑板长，托板固定在支撑板顶点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动，．（参考数据：，，，，，，） (1)若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）； (2)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在直线上即可、求旋转的角度． 题型 梯形问题 ▌例1 如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度为i为，坝顶，坝高．求坝底的长．（结果精确到，参考数据：） （米）． ▌对点练1. 如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为_________． ▌对点练2. 甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． ▌对点练3. 清风阁位于安徽省合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年、弘扬包公精神、宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图，某数学小组开展了测量清风阁高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．观测点和清风阁分别在包河的两侧，美美同学用高度为1米的测角仪，在点A处测得清风阁顶M的仰角为，然后她沿坡度的斜坡走了13米到达点C，又用同样的测角仪测得清风阁顶M的仰角为．求清风阁的高度（A，B，C，D，M，N在同一平面内，结果精确到0.1，参考数据：，，） 1．如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为，米，则树高为（  ）． A．米 B．米 C．米 D．米 2．元旦期间，小明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动，在离电线杆21米的D点，用高米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角，则电线杆AB的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图．钓鱼竿的长为m．露在水面上的鱼线的长为m，刘老师想看看鱼钩上的情况．把鱼竿逆时针转动15°到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（    ） A．m B．m C．m D． 4．如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（     ） A．10米 B．15米 C．米 D．米 5．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（     ） A． B． C． D． 6．如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 7．一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米． 8．如图，水平地面上护林员与树根的距离，护林员的眼睛与地面距离，在此处观测到树梢点D的仰角为，则树高______m． 9．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为___________ m．（参考数据：，，） 10．如图，是高为60米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为__________． 11．小明准备用无人机测量自己居住的楼房的高度，当无人机飞行到点正上方的点时，测得飞行高度为，楼顶点的俯角为，楼底点的俯角为，已知，，，均在一个平面内，请帮小明求出楼房的高度．结果精确到．参考数据，，    12．某市发生地震后，为了抢救伤员，一架救援直升机从该市地起飞，运送一批地震伤员沿正北方向到机场，如图．上午8时，直升机从地出发，以的速度向正北方向飞行，9时到达地，此时，机场的导航站传来信息：在处有一座高山，因受天气影响，高山周围内能见度低，飞行时会遇到危险．经测量得，．问：该直升机继续向机场飞行是否有危险，请说明理由． 13．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 14．国庆假期小明随父母去某景区度假，景区中一高塔吸引了他的注意.小明想知道它的高度于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是，向前走了15米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮他求出这座高塔的高度（参考数据：，，） 15．我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦察我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动． (1)求此时巡逻船航行的距离的长；（保留整数，参考数据：，，） (2)我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号） 16．小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 迁移创新 1．（2026·上海·中考真题）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． (1)当米时，至少需要小于多少米？ (2)若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 2．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $