4.4三角形的内切圆（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.4三角形的内切圆 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 求直角三角形内切圆半径 1.A 2.C 3.A 4.2 5.3.5 颗型02 求一般三角形内切圆半径 6.A 7.2 题型03 根据内心的性质求图形的面积 8.C 9.C 10.B 1.30 题型04 根据内心的性质求角的度数或线段长 12.B 13.B 14.A 15.D 16.12 17.8 B组 能力进阶 1.C 2.c 3.B 4.1 5.V2-1 1/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.130° 3-√2 7. (1) 如图，点O即为△ABC的内切圆圆心， (2)65° (3)2 8. 【详解】(1) 证明：连接OE,交AC于点H, B D F 则OE=OB. .∠OEB=∠CBE, :BC是⊙O的直径，点D是△ABC的内心， ∴.∠BAC=90°，∠ABE=∠CBE .∠OEB=∠ABE ·.OE∥AB ∴.∠OHC=∠BAC=90°」 EG∥AC. ∴.∠OEG=∠OHC=90° :OE是⊙O的半径，且EG⊥OE, ∴.EG是⊙O的切线： (2)解：连接CE, 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R D E 则∠BEC=90° ∠ABE=∠CBE, ..AE=CE ..AE CE=6 .BC=6. 0E-Bc=-3】 :∠HAE=∠CBE,∠AHE=90° HE=sin∠HaE=sin∠cBB=-CE=6 A BC 6 HE=6 B=6x6-l, 6 6 .H0=0E-HE=3-1=2, :OE⊥AC于点H, :.AH=CH, .BO=CO. .AB=2H0=4. .AB的长为4. C组 思维拔高 1.B 2.B 3.①③ 4.(810,1) 5.2W10-2V2 6.125°或145 7. 【答案】(1) 如图，BD即为所求； 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (2) 点P是△ABC的内心即为所求； 拓展 链接中考 1.B 2.B 3.117 【详解】(1)证明：连接DO并延长交⊙O于点F,连接BF, BD=BD ∴.∠1=∠3 DF是直径， ∴.∠FBD=900 ∴.∠1+∠2=90° AD平分∠BAC 3=∠BMC 2 ∠BDE=∠BAC. 2 416 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠3=∠BDE ∴.∠I=∠BDE ∴.∠BDE+∠2=∠EDF=90° OD是半径， .DE是⊙O的切线： (2)解：连接BL,CL,OB,OC,OD,OD交BC于点M, 5 E ,AD平分∠BAC .∠BAD=∠CAD. .'BD=CD ∴.∠4=∠5， D0是半径， 1 1 OD⊥BC, BM=CM= BC= 2 2 ×24=12. .OB=OC ∴.∠BOC=2∠BOM .∠BOC=2∠BAC ∴.∠BOM=∠BAC .tanZBAC= ∴.tan∠BOM= BM_12_12 OMOM 5 ∴.OM=5 ∴.OB=√OM2+BM2=13 ∴.OD=13 .DM=OD-OM=8 BD=VBM2+DM2=V122+82=4V13, ,点I是△ABC的内心， ∴.∠ABI=∠CBL 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=BD .∠5=∠BAD ∴.∠4=∠BAD .'∠DBI=∠4+∠CBL,∠6=∠BAD+∠ABI ∴.∠DBI=∠6 ∴.DI=DB=4V13」 616 分层作业 4.4 三角形的内切圆 目 录 A组 巩固过关 题型01 求直角三角形内切圆半径 题型02求一般三角形内切圆半径 题型03根据内心的性质求图形的面积 题型04根据内心的性质求角的度数或线段长 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )求直角三角形内切圆半径 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选：A． 2．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理得：，， ，， 在中，， ， 解得：或（负值舍去）， 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】因为一个数的平方、算术平方根、绝对值是非负数，所以可求、、的值，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，用面积法可求内切圆半径． 【详解】解：， ，，． ， ， 是直角三角形． 设内切圆的半径为． 根据题意，得，即， 解得 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形的面积公式求内切圆半径是解答本题的关键． 4．（2026·四川内江·一模）设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径是______． 【答案】2 【分析】先解一元二次方程得到直角三角形两条直角边的长，再由勾股定理求出斜边长，最后根据直角三角形内切圆半径公式计算结果． 【详解】解：解方程． 因式分解得． 解得，． 即的两条直角边的长分别为和． 由勾股定理得，的斜边长为． 设内切圆的半径为，直角三角形内切圆半径公式为，其中a，b为直角边长，为斜边长． 代入得． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的两直角边分别是一元二次方程的两根，则此的外接圆半径与内切圆半径的和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直角三角形的外接圆和内切圆的问题．解出方程，可得两直角边是3或4，再由勾股定理可得的长，可求出的外接圆的半径；设的内切圆圆心为点O，与三边的切点分别为点D，E，F，连接，设内切圆的半径为r，结合切线长定理可求出内切圆的半径，即可求解． 【详解】解：解方程，得： ， 即两直角边是3或4， 根据勾股定理得：斜边长为：， 即的外接圆直径为5， ∴的外接圆的半径为． 如图，设的内切圆圆心为点O，与三边的切点分别为点D，E，F，连接，设内切圆的半径为r， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即内切圆的半径为1， 此的外接圆半径与内切圆半径的和是． 故答案为： ( 题型0 2 )求一般三角形内切圆半径 6．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设的半径为， 连接， ∵是的内切圆， ∴点到的距离都等于， ∴ ， ∵的周长为8，面积为4， ∴， 解得． 7．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【答案】2 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． ( 题型0 3 )根据内心的性质求图形的面积 8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 9．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 10．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于E， 作于F，连接，由四边形是菱形，是的内心，求得．．．可得．由，．则可得菱形的面积． 【详解】解：作于E， 作于F，连接， ． 四边形是菱形， ，，． 是的内心， ，． ． ． ． ． ． ，， ． ． ． ． ． 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的内切圆，切点是D，E，F．若，的长是方程的两根，则___________． 【答案】30 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的性质、切线长定理、勾股定理、直角三角形的面积公式等知识． 求的面积，关键是求出两条直角边的长；由已知的方程可求出、的长，结合切线长定理和勾股定理，可求得、的长，进而可求出、的长；根据直角三角形的面积公式即可求出其面积． 【详解】解：，，是的切线， ，，． ，是方程的两根， 可解得，． 设，则，，． 由勾股定理，得， 解得，（舍去）， ，， ． 故答案为：30． ( 题型0 4 )根据内心的性质求角的度数或线段长 12．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接、、．根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且．在中利用勾股定理求出，进而得到的长．在中求出的长．利用圆周角定理和三角形外角性质证明，最后根据求解． 【详解】解：连接、、． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，． 在中，，， ， ∴． 在中，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 14．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义，，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，点O为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 15．（2026九年级下·全国·专题练习）如图所示，已知是的内切圆，、、是切点，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握内心定义．先利用切线的性质得，则根据四边形的内角和得到，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：圆是的内切圆， ，， ， ， ， ， ， ． 16．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为_________． 【答案】12 【分析】设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 17．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值． 【详解】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接， 由题得，， ∴的周长为． 以为底、为高，的面积为， 又∵的面积可表示为 ， ∴联立等式， 得， ∴． 2．（2021九年级下·江西赣州·专题练习）在中，，，点D是边的中点，且．若内切圆的半径为2，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】这道题主要考查了三角形的内切圆性质、解直角三角形以及等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用． 先根据已知条件判断出的形状，求出，把，看作是一元二次方程的两个根，求出，，再结合三角函数的定义求出的值． 【详解】解：由是的中线，，，如图， ∴，， ∴与是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ， 设内切圆的半径为r，圆心为O， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵在直角中，， ∴， ∴直角三角形内切圆的半径， 依题意得，①，又②， ①式两边平方得，， ，是一元二次方程的两个根， 又因为， 所以，， 故． 故选：C． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．25 【答案】B 【分析】连接交于点G，作于点H，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用等积法得到，即可得到答案． 【详解】解：连接交于点G，作于点H， ∵点E为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴ 4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 5．（2026·江苏泰州·二模）如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 【答案】 【分析】连接，由得，进而由内心的定义得，即得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，得到，即得到，是等腰直角三角形，得，设，则，由得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵于点， ∴， ∴， ∵为的内心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为______． （2）若，则的半径为______． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 【答案】(1) 如图，点O即为的内切圆圆心， (2) (3)2 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，作图-复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点． （1）分别作和的平分线，它们相交于点O，则点O为内切圆圆心； （2）过点O作于F，然后以点O为圆心，为半径作圆；连接、，根据切线长定理得出，，从而可求出； （3）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得的内切圆的半径． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， 由切线长定理得，， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：设内切圆的半径为r， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 8．（25-26九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，已知是的直径，A在上，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，交于点H， 则， ， 是的直径，点D是的内心， ，． ． ． ． ， ． 是的半径，且， 是的切线； (2)的长为4 【分析】（1）连接，交于点H，则，由是的直径，点D是的内心，得，，则，所以，则，而，所以，即可证明是的切线； （2）连接，则，由，得，则，因为，所以，由，利用三角函数的定义求得，求得，则，由，，得． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 则， ， ． ． ， ． ，， ． ， ， 于点H， ， ， ， 的长为4． 1．（数学文化）《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径、切线的性质、勾股定理．首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长为，根据切线的性质可知，利用三角形的面积公式求出内切圆的半径，再根据直径与半径的关系求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、、、、， 则有、、， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， 答：该直角三角形内切圆的直径是. 2．（方程思想）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 3．（实践操作能力）如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是___________． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，内心的性质，切线长定理，正方形的判定与性质． 延长交于点H，连接，根据尺规作图的过程可知平分，再根据的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，可得，由等腰三角形三线合一可判断①③；由直角三角形的性质可得，结合可判断②． 【详解】解：延长交于点H，连接， 由作图过程可知平分，则， ∵的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分，即垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故②错误； 则正确的结论有①③． 故答案为：①③． 4．（找规律）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形内切圆半径和周长的关系，勾股定理，坐标类规律探索，熟练掌握以上知识点，得出每滚动3次为一个循环是解题的关键．设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，根据勾股定理求得，可求得内切圆的半径为1，因此的坐标为，然后根据三角形内切圆的性质，可知，，，四边形是正方形，得到，进而得到，，结合，可知每次滚动后圆心的纵坐标都为1，然后计算、、的横坐标，得出每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加12，进而可求得答案． 【详解】解：设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，如图， 点是内切圆的圆心， ，，，，， 四边形是正方形， ， ，， ，， 在中，， 内切圆的半径， 点坐标为， ， ，， ，即点到三边距离都相等， 每次滚动后圆心的纵坐标都为1， 第1次滚动后点的横坐标为：，即点的坐标为； 第2次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 第3次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加， ， 点的横坐标为：， 则点的坐标为，故答案为：． 5．（最值问题）如图，在正方形中，，E、F是边，上两点，且，与相交于点G，点O是的内心，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先证明，从而得出，进而证得；然后根据三角形内心的性质求出，确定点的轨迹是以为弦的一段圆弧；接着确定该圆弧所在圆的圆心位置和半径，最后利用点与圆的位置关系，求出的最小值． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴分别平分， ∴， ∴ ， ∴点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动， 设该圆弧所在圆的圆心为，半径为， 则， ∵， ∴在中，，即， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则， ∵， 且点在正方形内部（即右侧）， ∴圆心在的左侧，且到的距离等于的一半， ∴，连接，交圆于点，此时即为的最小值， ∴， ∴ ． 6．（分类讨论）已知分别是的外心和内心，，则的大小是___________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的内心和外心的性质，熟练掌握三角形内心和外心的性质是解题的关键，利用外心性质确定的两种可能值，再根据内心性质计算． 【详解】解：∵O是的外心，， ∴当点A在优弧上时， ， 当点A在劣弧上时， . ∵I是的内心， ∴. 当时，； 当时，. 故答案为：或. 7．（网格问题）如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的角平分线； (2)在图2中作出的内心点． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 点是的内心即为所求； 【分析】（1）取格点，作射线，交于点，则是的平分线； （2）取格点，连接，交于点，则点是的内心． 【详解】（1）解：理由：取格点，，连接，，则： ，，， ∴点在的平分线上，即是的平分线； （2）解：理由：取格点，连接，，与交于点，则， ∴， ∴， ， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设的边上的高为，且，则： ， ∴， ∴是的角平分线， ∴点是的内心． 1．（2026·四川德阳·中考真题）魏晋时期的数学家刘徽曾为《九章算术》作注，其中关于“勾股容圆术”的注解引起了数学兴趣小组的关注，同学们在综合实践活动中，对如下问题进行了深入探讨：在中，，，，是的内切圆，与边，分别切于点，．过点作的平行线分别交，于点，，连接，他们得到如下结论： ①； ②； ③的周长是6； ④的面积是3． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，可得，进一步可得①错误；证明，结合，可得②正确；利用内切圆的性质可得，进一步可得③正确；证明，可得，进一步求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆，与边，分别切于点，． ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴不平行，故①错误； ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵是的内切圆，记与切于点，如图， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵在中，，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长是，故③正确； ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误． 综上：正确的是②③． 2．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则， 由内心的定义可得 平分， 可得， 进一步可证明，利用勾股定理可得，设的内切圆半径为， 根据，可求出， 过点作于点，则，解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， 为 的直径， ， 点为的内心， 平分， ， 弧 弧， ， 在 中，由勾股定理得， 在 中，由勾股定理得； 设的内切圆半径为， 点 为的内心， 点到的三边的距离都等于， ， ， ， ； 如图所示， 过点作于点， 则， 在中，， 是等腰直角三角形 ， ． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大． 根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 4．（2026·新疆·中考真题）如图，内接于，平分交于点D，连接，，经过点D的直线与的延长线相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)如果点I是的内心，，，求的值． 【答案】(1)证明：连接并延长交于点，连接， ∵ ∴ ∵是直径， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵是半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由圆周角定理得到，，则，由角平分线得到，结合已知条件可得，继而等量代换证明即可； （2）连接，交于点，先由圆周角定理得到证明，根据垂径定理的推论可得，，再证明，解求出，，即可求解，，再由内心的性质导角证明． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵点I是的内心， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.4 三角形的内切圆 目 录 A组 巩固过关 题型01 求直角三角形内切圆半径 题型02求一般三角形内切圆半径 题型03根据内心的性质求图形的面积 题型04根据内心的性质求角的度数或线段长 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )求直角三角形内切圆半径 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·四川内江·一模）设方程的两根为的两条直角边的长，则内切圆的半径是______． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的两直角边分别是一元二次方程的两根，则此的外接圆半径与内切圆半径的和是______． ( 题型0 2 )求一般三角形内切圆半径 6．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 7．（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． ( 题型0 3 )根据内心的性质求图形的面积 8．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 9．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的内切圆，切点是D，E，F．若，的长是方程的两根，则___________． ( 题型0 4 )根据内心的性质求角的度数或线段长 12．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 13．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 15．（2026九年级下·全国·专题练习）如图所示，已知是的内切圆，、、是切点，，，则为（　　） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为_________． 17．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2021九年级下·江西赣州·专题练习）在中，，，点D是边的中点，且．若内切圆的半径为2，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．25 4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 5．（2026·江苏泰州·二模）如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为______． （2）若，则的半径为______． 7．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 8．（25-26九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，已知是的直径，A在上，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 1．（数学文化）《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 2．（方程思想）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（实践操作能力）如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是___________． 4．（找规律）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______． 5．（最值问题）如图，在正方形中，，E、F是边，上两点，且，与相交于点G，点O是的内心，则的最小值为______． 6．（分类讨论）已知分别是的外心和内心，，则的大小是___________． 7．（网格问题）如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的角平分线； (2)在图2中作出的内心点． 1．（2026·四川德阳·中考真题）魏晋时期的数学家刘徽曾为《九章算术》作注，其中关于“勾股容圆术”的注解引起了数学兴趣小组的关注，同学们在综合实践活动中，对如下问题进行了深入探讨：在中，，，，是的内切圆，与边，分别切于点，．过点作的平行线分别交，于点，，连接，他们得到如下结论： ①； ②； ③的周长是6； ④的面积是3． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·四川广元·中考真题）如图，为的直径，点在上，点为的内心，的延长线交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____． 4．（2026·新疆·中考真题）如图，内接于，平分交于点D，连接，，经过点D的直线与的延长线相交于点E，且． (1)求证：是的切线； (2)如果点I是的内心，，，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $