二 包装盒——长方体和正方体 第3周（拔尖学案）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年五年级上册数学（青岛版五四制·新教材）

第3周 综合拓展题 抓不变量解决问题 。典例精析 典例精析 例1一根铁丝正好可以围成一个棱长是 例2把一块棱长是0.8米的正方体钢坯锻 6厘米的正方体框架。如果用这根铁丝围 造成一块横截面的面积是0.16平方米的长 成一个高是4厘米、底面是正方形的长方体 方体方钢。锻造成的这块长方体方钢长多 框架，那么长方体框架的长、宽各是多少？ 少米？（不计损耗） (接头处忽略不计》 解析]把正方体钢坯锻造成长方体方钢， [解析]画图分析如下： 在这个变化过程中，体积是不变的。可以先 棱长总 根据正方体钢坯的棱长是0.8米，求出正方 和不变 米 体钢坯的体积是0.8×0.8X0.8=0.512(立 方米)，也就是锻造成的长方体方钢的体积。 6厘米 再根据“长方体的体积=横截面的面积× 因为底面是正方形，所以长方体框架的长和 长”，用长方体方钢的体积÷横截面的面积， 宽相等。因为铁丝的长度不变，所以先求出 即可求出长方体方钢的长。 正方体框架的棱长总和，再减去长方体框架 [答案]0.8×0.8×0.8=0.512（立方米） 的4条高，即可得到长方体框架的(4×2)条 0.512÷0.16=3.2(米) 棱的长度，最后求出1条棱的长度即可。 答：锻造成的这块长方体方钢长3.2米。 [答案](6×12一4×4)÷(4×2)=7（厘米） 点评：一种形状的物体变形为另一种形状的物体 答：长方体框架的长、宽各是7厘米。 (不计损耗)，体积是不变的。 点评：解决这类问题的关键是明确长方体框架和 正方体框架的棱的特征，抓住关键句“用这根铁 举一反三 丝围成一个高是4厘米、底面是正方形的长方体 2.爷爷有两个鱼缸（如图），现在想把A鱼缸 框架”，可知长方体框架和正方体框架的棱长总 中的一部分水倒入空的B鱼缸，使两个鱼 和相等，在变中抓不变，从而解决问题。 缸中的水深一样。请你算一算，倒完后两 2举一反三 个鱼缸中的水深是多少厘米？ 1.一根铁丝正好围成一个长9厘米、宽7厘 米、高5厘米的长方体。如果用这根铁丝 围成一个正方体，那么这个正方体的棱长 50 cm 20 cm 40cm 是多少厘米？（接头处忽略不计） B 5 思维创新题 挖去部分图形后的表面积 。典例精析 典例精析 例1如图（单位：cm),从一个正方体上挖 例2一个棱长为1分米的正方体，从上面 去一个长方体后，剩下图形的表面积是 的中间挖去一个长方体，这个长方体长5厘 多少？ 米，宽4厘米，高3厘米，剩下图形的表面积 是多少？ 2.5 解析]观察题图可知，从一个棱长为8cm [解析]从一个正方体上面的中间挖去一个 的正方体上挖去一个长2.5cm、宽2.5cm、 长方体，表面积比原来增加了，即剩下图形的 高4cm的长方体后，表面积在减少了3个 表面积是原来正方体的表面积加上挖去的长 面的同时，又增加了3个同样大小的面，所 方体的前、后、左、右4个面的面积之和。 以剩下图形的表面积正好等于原来正方体 [答案]1分米=10厘米 的表面积，据此求解即可。 10×10×6=600(平方厘米) [答案]8×8X6=384(cm2) 5×3×2+3×4×2=54(平方厘米) 答：剩下图形的表面积是384cm。 600+54=654(平方厘米) 点评：从一个正方体（长方体）上挖去一个比它小 答：剩下图形的表面积是654平方厘米。 的正方体（长方体）时，若从顶角处挖去，则表面 积不变。 点评：从一个正方体（长方体）上挖去一个比它小 的正方体（长方体）时，若从其1个面的中间挖去 举一反三 (没有挖穿)，则表面积增加。 1.如图（单位：cm),从一个正方体上挖去 举一反三 个长方体后，剩下图形的表面积是多少？ 2.如图，从三个棱长均是10厘米的正方体上 12 13 分别挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘 15 米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？ 15 1 ② 6附：答案与解析 关注环境—分数加减法 y日8 答：y的值是品 第1周 二 包装盒一长方体和正方体 综合拓展题 分数幻方 第2周 2 20 教材思考题拼接中表面积的变化 1.54 2.60÷4×14+60=270(平方厘米) 10 答：拼成的长方体的表面积是270平方厘米。 解析拼成的长方体的表面积比原来长方体的表面积 20 10 20 增加了60平方厘米，且增加了正方体的4个面，由此 10 可求出正方体1个面的面积是60÷4=15（平方厘 30 米)。观察题图可知，原来长方体的宽和高与正方体 13 的棱长相等。又因为原来长方体的长是宽的3倍，所 120 8 以原来长方体的表面积相当于正方体14个面的面积 之和。由此求出原来长方体的表面积，进而可求出拼 13 6 20 20 成的长方体的表面积。 3. 填法不唯一，如 3 思维创新题露出水面的长度问题 3 6 1.25×8×14=2800(立方厘米) 4 12 12 60×50-25×8=2800(平方厘米) 2800÷2800+14=15(厘米) 3 12 答：露出水面的铁棒上被水浸湿的部分长15厘米。 思维创新题 定义新运算 2.20×20×10÷(60×40-20×20)=2(厘米) 7329 1.3⊙7= 7-3-3+7-4-10-20 30-2=28(厘米)答：此时容器里的水深28厘米。 解析铁棒部分浸在水中，当轻轻提起铁棒时，水的体 答：807的信是器 积不变，提起的那部分铁棒的体积=容器里下降的那 2.(2020☆2021)☆(2022☆2023) 部分水的体积，下降的那部分水的底面积=容器从里 2020+2021 2022+2023 面量的底面积一铁棒的底面积。用“提起的那部分铁 3 3 棒的体积÷（容器从里面量的底面积一铁棒的底面 =1347☆1349 积)”求出水面下降的高度，最后根据“此时容器里的 1347+1349 水深=原来的水深一水面下降的高度”求解。 3 =899 第3周 答：(2020☆2021)☆(2022☆2023)的值是899。 综合拓展题抓不变量解决问题 3.x@号=x-(任+) 1.(9+7+5)×4÷12-7(厘米) 答：这个正方体的棱长是7厘米。 x-(任+)名x-8 答x的直是铝 2.20×50×24=24000(cm3) 4△号---△--y 24000÷(20×50+40×50)=8(cm) 5 12 答：倒完后两个鱼缸中的水深是8cm。 33 解析先求出A鱼缸中水的体积，再用A鱼缸中水的 思维创新题利用公倍数解决隐藏 体积除以两个鱼缸的底面积之和即可。 整体“1”的分数乘法问题 思维创新题挖去部分图形后的表面积 1.书的总页数是13和5的公倍数，又因为这本书有 1.15×15×6=1350(cm) 匹百多页，所以这本书有5页第-天：55×总 答：剩下图形的表面积是1350cm。 2.图①：10×10×6-2×2×2=592（平方厘米） 70(页) 第二天：455×1 =91（页） 图②：10×10×6+10×2×2-2×2×2=632（平方厘 答：第一天看了70页，第二天看了91页。 米)图③：10×10×6+10×2×4-2×2×2= 2.五(1)班的学生总人数一定是8和20的公倍数， 672(平方厘米)答：图①剩下部分的表面积是592平 因为要求至少有多少人，所以学生总人数是8和20 方厘米，图②剩下部分的表面积是632平方厘米，图 ③剩下部分的表面积是672平方厘米。 的授小公倍数，即4040×号=6（人） 解析图①剩下部分的表面积比原来正方体的表面积 答：至少有6人想当医生。 减少了2个边长是2厘米的正方形的面积；图②剩下 3.五(2)班参加防溺水知识竞赛的学生少于40人， 部分的表面积比原来正方体的表面积增加了2个长 且是9,6和12的公倍数，所以五(2)班参加防溺水知 10厘米、宽2厘米的长方形的面积，同时减少了2个 5 边长是2厘米的正方形的面积；图③剩下部分的表面 识竞赛的有36人36×215（人） 积比原来正方体的表面积增加了4个长10厘米、宽 答：获得三等奖的有15人。 2厘米的长方形的面积，同时减少了2个边长是2厘 第5周 米的正方形的面积。 综合拓展题用转化法进行简便计算 三小手艺展示— 分数乘法 (1) 岩×14+16 914 23=23 ×16+16× 23 第4周 综合拓展题抓单位“1”解决分数乘法问题 (尝+)×16=16 × 7 7 1.121×音=3（页）1是-合 (2) 63 63 4617\ 12Ix× =55(页)33十55=88（页） 63 答：他两天看了88页。 ®后×盟+员×碧煮×费+贺×品-盟× 30,7、30 2.600×号=120（公顷）1-亏-5 1 1.4 (片+) 600X号×号-150（公顷）】 20<180 思维创新题 运用比较法解决购物优惠问题 180-120=60(公顷)答：第二个月通过栽树绿化的 1. 面积比第一个月多，多60公顷。 甲商扬：720x号14（元） 720-144=576(元) 3.140×(1-号)×(1-6)×1-3)×(1-1) 乙商场：720-100=620（元）576<620 答：去甲商场购买比较合算」 60(米)答：这捆电线还剩下60米。 17 2. 甲商场：2800× =2380(元)乙商场：2800- 解析把每一次用之前的长度看作单位“1”，经过四次 20 后，还剩下全长的(1-)×(1-)×(1-)× 1000=1800(元)1800×1 =450(元)2800- 450=2350(元)2380>2350答：去乙商场购买比 (1-4)。 较合算。 34