高中物理单元测试——第二章机械振动（较易版02）

高中物理单元测试 —— 第二章 机械振动（较易版02）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题4分）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球每次通过同一位置时，其速度相同，位移相同 B．小球通过平衡位置时，速度最大，加速度为零 C．小球每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．若位移为负值，则加速度一定为负值 2．（本题4分）如图甲所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，O为平衡位置。以水平向右为正方向，从t=0时刻起，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．该振子的振动周期为1s B．A、B之间的距离为4cm C．0~0.5s内，该振子从O向B运动，且其加速度不断减小 D．该振子在1.5cm处和在-1.5cm处的速度一定相同 3．（本题4分）把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是54 r/min，下列说法正确的是（　　） A．此时共振筛的振动频率为0.8 Hz B．减小筛子质量，筛子的振幅一定增大 C．转速调至48 r/min时，筛子出现共振状态 D．增大电压，筛子振幅会先增大后减小 4．（本题4分）关于单摆，下列说法中正确的是（　　） A．摆球运动的回复力是它受到的合力 B．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 C．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的 D．摆球经过平衡位置时，加速度为零 5．（本题4分）阻尼振动过程中（　　） A．振幅减小，周期减小，机械能减小 B．振幅减小，周期不变，机械能减小 C．振幅不变，周期减小，机械能减小 D．振幅不变，周期不变，机械能减小 6．（本题4分）下列关于弹簧振子做简谐振动时的加速度和动能的说法正确的是（　　） A．加速度减小时，动能增大 B．加速度增大时，动能增大 C．加速度最大时，动能最大 D．加速度为零时，动能也为零 7．（本题4分）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．时，摆球所受回复力最大，方向向左 B．时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．从到过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．，摆球在O点回复力为零 二、多选题 8．（本题6分）下列各种运动中，属于简谐运动的是（　　） A．拍皮球时球的往复运动 B．将轻弹簧上端固定，下端挂一钩码，钩码在竖直方向上来回运动 C．水平光滑平面上，一端固定的轻弹簧和小球组成弹簧振子的往复运动 D．从高处掉落在水泥地上的乒乓球的往复运动 9．（本题6分）图为某一单摆的简化模型，其摆角α小于5°，单摆的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．把摆球质量减小一半，其他条件不变，则单摆的周期变大 B．把摆角α变大（仍小于5°），其他条件不变，则单摆的周期不变 C．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T D．将此单摆从两极移到地球赤道上，其他条件不变，则单摆的周期将变大 10．（本题6分）如图甲所示为以点为平衡位置，在、两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在与两个时刻，弹簧振子在同一位置 C．从到时间内，弹簧振子做加速度增加的减速运动 D．在时，弹簧振子有最小的弹性势能 三、实验题 11．（本题6分）孙同学利用课余时间探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图甲所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像。 （1）用托盘天平测出钩码和小磁铁的总质量。 （2）在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，将钩码和小磁铁缓慢向下移动少许，释放后钩码和小磁铁在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，手机采集到的磁感应强度的大小随时间变化的图像如图乙所示，则弹簧振子振动的周期______（用表示）。 （3）改变钩码质量，重复实验。记录的实验数据如表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期与质量的关系是______（填“线性”或“非线性”）的。 次数 1 2 3 4 5 小球质量 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 振动周期 0.50 0.70 0.86 1.01 1.11 （4）设弹簧的劲度系数为，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是______。 A．    B．    C．    D． 12．（本题9分） 在“用单摆测重力加速度”的实验中 (1)某组同学的常规操作步骤为： a、取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上； b、用米尺量得细线长度l； c、在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球； d、用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期； e、用公式计算重力加速度。 按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比___________（选填“偏大”、 “相同”或“偏小”）。 (2)另外一组同学用创新形式做该实验。 ①如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为____________________________s（结果保留3位有效数字）。另外利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T=___________； ②发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度__________，小钢球重心到摆线下端的高度差__________；（结果均用k、b表示） ③用3D打印技术制作了一个圆心角小于10°、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.65m/s2。若周期测量数据无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是____________________________。 四、解答题 13．（本题10分）如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端连接一物块，物块沿竖直方向做简谐运动的部分图像如图乙所示，以竖直向上为正方向。t=0时刻，一小球从某处由静止释放；t=0.5s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度大小g=10m/s2。求： (1)t=0.5s时小球的速度大小和物块的加速度方向； (2)小球释放位置到物块平衡位置的竖直距离d。 14．（本题13分）U形池轮滑场地如图，图中圆弧半径R=15.6m，质量m=60kg的运动员（视为质点）在弧内的一竖直面内最低点附近运动（视为简谐运动），运动员滑来回一次的时间t=8s，不计一切阻力，取π2=10。 (1)求当地的重力加速度g； (2)若运动员从距最低点的高度h=0.8m处由静止下滑，求运动员在最低点受到支持力的大小F。 15．（本题16分）某研发团队发现弹簧振子的模型可以用于研究弹性体的振动特性。通过分析弹簧振子的运动，可以了解弹性体在受到外力作用下的振动行为，这对于设计和优化弹性体结构具有重要意义，如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距40cm。时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，（向右为正方向）求： (1)振子在6s内通过的路程和位移的大小； (2)振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值； (3)写出弹簧振子做简谐运动的方程，在图乙中画出一个周期内的振动图像（有相应的标度）；并求出振子从释放运动到P的最短时间。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中物理单元测试 —— 第二章 机械振动（较易版02）（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题4分）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球每次通过同一位置时，其速度相同，位移相同 B．小球通过平衡位置时，速度最大，加速度为零 C．小球每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．若位移为负值，则加速度一定为负值 【答案】B 【详解】A．小球每次通过同一位置时，位移相同，速度大小相等，但速度方向可能相同，也可能不同，故A错误； B．当小球通过平衡位置时，位移为零，加速度为零，速度最大，故B正确； C．小球每次通过平衡位置时，速度大小相等，方向不一定相同，但位移相同均为零，故C错误； D．小球所受的回复力始终指向平衡位置，小球的位移为负值时，受到的力为正值，小球的加速度为正值，故D错误。 故选B。 2．（本题4分）如图甲所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，O为平衡位置。以水平向右为正方向，从t=0时刻起，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．该振子的振动周期为1s B．A、B之间的距离为4cm C．0~0.5s内，该振子从O向B运动，且其加速度不断减小 D．该振子在1.5cm处和在-1.5cm处的速度一定相同 【答案】B 【详解】A．由图乙振动图像可知，从到经历了半个周期，则该振子的周期为2s，故A错误； B．由图乙可知该振子的振幅，图甲中、两点分别对应简谐运动的正、负最大位移处，因此、之间的距离为，故B正确； C．由图乙可知，在内，该振子从点向点运动，加速度不断增大，故C错误； D．根据简谐运动的对称性，振子在处和在处的速度大小相同，但方向可能相同也可能相反，因此速度不一定相同，故D错误。 故选B。 3．（本题4分）把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是54 r/min，下列说法正确的是（　　） A．此时共振筛的振动频率为0.8 Hz B．减小筛子质量，筛子的振幅一定增大 C．转速调至48 r/min时，筛子出现共振状态 D．增大电压，筛子振幅会先增大后减小 【答案】C 【详解】A．偏心轮每转一周给筛子一次驱动力，因此筛子的振动频率等于偏心轮的转动频率。此时，故A错误； B．减小筛子质量时，筛子的固有周期减小，固有频率增大。振幅取决于驱动力频率与固有频率的接近程度，减小质量可能使二者先接近后远离，因此振幅不一定增大，故B错误； C．转速调至时，驱动力频率 该频率等于筛子的固有频率，筛子发生共振，故C正确； D．当前驱动力频率已经大于固有频率，增大电压会使驱动力频率继续增大，筛子振幅减小，故D错误。 故选C。 4．（本题4分）关于单摆，下列说法中正确的是（　　） A．摆球运动的回复力是它受到的合力 B．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 C．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的 D．摆球经过平衡位置时，加速度为零 【答案】C 【详解】A．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力。故A错误； B．摆球在运动过程中，回复力产生的加速度的方向始终指向平衡位置，而向心加速度指向悬点，合成后，方向在变化，故B错误； C．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，受力情况相同，加速度是不变的，故C正确； D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零，是向心加速度，故D错误。 故选C。 5．（本题4分）阻尼振动过程中（　　） A．振幅减小，周期减小，机械能减小 B．振幅减小，周期不变，机械能减小 C．振幅不变，周期减小，机械能减小 D．振幅不变，周期不变，机械能减小 【答案】B 【详解】由于存在空气阻力，振动系统在振动过程中机械能逐渐减小，转化为内能，振幅逐渐减小，而振动系统的振动周期与本身结构有关，为固有周期，故周期不变。 故选B。 6．（本题4分）下列关于弹簧振子做简谐振动时的加速度和动能的说法正确的是（　　） A．加速度减小时，动能增大 B．加速度增大时，动能增大 C．加速度最大时，动能最大 D．加速度为零时，动能也为零 【答案】A 【详解】A．加速度减小时，振子向平衡位置运动，速度增大，动能增大，故A正确； B．加速度增大时，振子远离平衡位置运动，速度减小，动能减小，故B错误； C．加速度最大时，位移最大，速度为零，动能为零，故C错误； D．加速度为零时，位移为零，速度最大，动能最大，故D错误。 故选A。 7．（本题4分）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，得到摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像，如图乙所示，不计空气阻力。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．时，摆球所受回复力最大，方向向左 B．时，摆球偏离平衡位置位移最大，方向向右 C．从到过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．，摆球在O点回复力为零 【答案】D 【详解】A．图乙可知t=0.5s时，摆球的位移最大且为，可知摆球此时位于最左端，根据可知，此时回复力最大且方向向右，故A错误； BD．图乙可知t=1s时，摆球位于平衡位置O点，即位移为0，回复力为0，故B错误，D正确； C．从t=0.5s到t=1.0s过程中，摆球向平衡位置移动，重力做正功，摆球的重力势能逐渐减小，故C错误。 故选D。 二、多选题 8．（本题6分）下列各种运动中，属于简谐运动的是（　　） A．拍皮球时球的往复运动 B．将轻弹簧上端固定，下端挂一钩码，钩码在竖直方向上来回运动 C．水平光滑平面上，一端固定的轻弹簧和小球组成弹簧振子的往复运动 D．从高处掉落在水泥地上的乒乓球的往复运动 【答案】BC 【详解】简谐运动的定义是：物体在回复力作用下，回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，即满足（其中为常数，为位移）。以下逐项分析： A．拍皮球时球的往复运动：球的运动受重力和地面弹力影响，但回复力（主要来自地面弹力）仅在接触地面时作用，且不连续；位移与回复力不成严格正比关系（例如，空中运动阶段仅受重力，回复力不满足），故不是简谐运动，A错误； B．将轻弹簧上端固定，下端挂一钩码，钩码在竖直方向上来回运动：此系统为竖直弹簧振子。设平衡位置为原点，位移为时，回复力（弹簧弹力与重力合力满足该关系），故是简谐运动，B正确； C．水平光滑平面上，一端固定的轻弹簧和小球组成弹簧振子的往复运动：此系统为水平弹簧振子。在光滑平面上，无摩擦，回复力仅来自弹簧弹力，满足，故是简谐运动，C正确； D．从高处掉落在水泥地上的乒乓球的往复运动：球的运动包括下落、碰撞和反弹阶段。回复力（主要来自地面弹力）仅在接触时作用，不连续；位移与回复力不成正比（例如，空中运动为自由落体或抛体），故不是简谐运动，D错误。 故选BC。 9．（本题6分）图为某一单摆的简化模型，其摆角α小于5°，单摆的周期为T，下列说法正确的是（　　） A．把摆球质量减小一半，其他条件不变，则单摆的周期变大 B．把摆角α变大（仍小于5°），其他条件不变，则单摆的周期不变 C．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T D．将此单摆从两极移到地球赤道上，其他条件不变，则单摆的周期将变大 【答案】BD 【详解】AB．根据单摆周期公式 可知，单摆周期与摆球质量无关，与摆角无关，故A错误，B正确； C．据单摆周期公式 其他条件不变，将摆长增加为原来的2倍，则单摆的周期将变为，故C错误； D．据单摆周期公式 将此单摆从两极移到地球赤道上，其他条件不变，因为在赤道上的比在两极的小，则单摆的周期将变大，故D正确。 故选BD。 10．（本题6分）如图甲所示为以点为平衡位置，在、两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在与两个时刻，弹簧振子在同一位置 C．从到时间内，弹簧振子做加速度增加的减速运动 D．在时，弹簧振子有最小的弹性势能 【答案】BC 【详解】A．在时，弹簧振子的位移为正向最大，由知加速度为负向最大，故A错误； B．在与两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，故B正确； C．从到时间内，弹簧振子的位移增大，加速度增加，速度减小，所以弹簧振子做加速度增加的减速运动。故C正确； D．在时，弹簧振子的位移为负向最大，速度最小，由机械能守恒知，弹簧振子有最大的弹性势能，故D错误； 故选BC。 三、实验题 11．（本题6分）孙同学利用课余时间探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图甲所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像。 （1）用托盘天平测出钩码和小磁铁的总质量。 （2）在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，将钩码和小磁铁缓慢向下移动少许，释放后钩码和小磁铁在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，手机采集到的磁感应强度的大小随时间变化的图像如图乙所示，则弹簧振子振动的周期______（用表示）。 （3）改变钩码质量，重复实验。记录的实验数据如表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期与质量的关系是______（填“线性”或“非线性”）的。 次数 1 2 3 4 5 小球质量 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 振动周期 0.50 0.70 0.86 1.01 1.11 （4）设弹簧的劲度系数为，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是______。 A．    B．    C．    D． 【答案】 非线性 B 【详解】（2）[1]当小磁铁运动到最低点时，磁感应强度最大，可知，图乙中相邻峰值之间的时间间隔为一个周期，则有 解得 （3）[2]根据表格中实验数据分析可知，弹簧振子振动周期与质量的关系是非线性的。 （4）[3]根据表格中实验数据分析可知，弹簧振子振动周期的平方与质量成正比关系，设弹簧的劲度系数为，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是 故选B。 12．（本题9分） 在“用单摆测重力加速度”的实验中 (1)某组同学的常规操作步骤为： a、取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上； b、用米尺量得细线长度l； c、在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球； d、用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期； e、用公式计算重力加速度。 按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比___________（选填“偏大”、 “相同”或“偏小”）。 (2)另外一组同学用创新形式做该实验。 ①如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为____________________________s（结果保留3位有效数字）。另外利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T=___________； ②发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度__________，小钢球重心到摆线下端的高度差__________；（结果均用k、b表示） ③用3D打印技术制作了一个圆心角小于10°、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.65m/s2。若周期测量数据无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是____________________________。 【答案】(1)偏小 (2) 1.31 存在阻力，且小球不是纯平动而有滚动，导致实际测出的周期大于理想情况下的周期，导致g的测量值小于真实值 【详解】（1）用公式计算重力加速度时，摆长L用细线长度l计算时，摆长带入数值偏小，则得出的重力加速度值与实际值相比偏小。 （2）①[1]根据图2可知单摆的周期为 [2]单摆的周期为 ②[3][4]根据，可得 可知，可得 当l=0时，则有T2=b，解得h=kb。 ③[5]获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是小球运动过程中存在阻力，且小球不是纯平动而有滚动，导致实际测出的周期大于理想情况下的周期，导致g的测量值小于真实值。 四、解答题 13．（本题10分）如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端连接一物块，物块沿竖直方向做简谐运动的部分图像如图乙所示，以竖直向上为正方向。t=0时刻，一小球从某处由静止释放；t=0.5s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度大小g=10m/s2。求： (1)t=0.5s时小球的速度大小和物块的加速度方向； (2)小球释放位置到物块平衡位置的竖直距离d。 【答案】(1)5m/s，物块的加速度方向竖直向下 (2)1.35m 【详解】（1）小球做自由落体运动，有 代入数据解得v=5m /s 根据图像可知t=0.5s时物块的位移为10cm，物块的加速度方向竖直向下。 （2）在0~0.5s内小球下落的高度 解得 根据图像可知振幅为 小球释放位置到物块平衡位置的距离 解得d=1.35m 14．（本题13分）U形池轮滑场地如图，图中圆弧半径R=15.6m，质量m=60kg的运动员（视为质点）在弧内的一竖直面内最低点附近运动（视为简谐运动），运动员滑来回一次的时间t=8s，不计一切阻力，取π2=10。 (1)求当地的重力加速度g； (2)若运动员从距最低点的高度h=0.8m处由静止下滑，求运动员在最低点受到支持力的大小F。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）运动员在U形池轮滑场地中的运动可看成是单摆的运动，根据单摆的周期公式 其中 ， 可知，重力加速度为 （2）运动员由静止开始下滑到最低点的过程中，根据机械能守恒定律有 根据牛顿第二定律有 解得 15．（本题16分）某研发团队发现弹簧振子的模型可以用于研究弹性体的振动特性。通过分析弹簧振子的运动，可以了解弹性体在受到外力作用下的振动行为，这对于设计和优化弹性体结构具有重要意义，如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距40cm。时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，（向右为正方向）求： (1)振子在6s内通过的路程和位移的大小； (2)振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值； (3)写出弹簧振子做简谐运动的方程，在图乙中画出一个周期内的振动图像（有相应的标度）；并求出振子从释放运动到P的最短时间。 【答案】(1)，0 (2) (3)，， 【详解】（1）弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，可知振幅为 时，振子处于O点向左运动，经过1.5s，振子首次到达C点，可知 可知，振子在6s内通过的路程为 6s后回到原来位置，可知位移的大小为零。 （2）振子在B点的位移大小是在距O点10cm处P点的2倍，根据可知振子在B点的加速度大小与在距O点10cm处P点的加速度大小的比值为 （3）周期为，可知角速度为，时，振子处于O点向左运动，可知弹簧振子做简谐运动的方程为 振子从释放运动第一次到P点时有 可得 可得 可知振子从释放运动到P的最短时间为 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $