第1—2章期中知识清单-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·期中复习专辑系列 第1—2章期中知识清单 高二数学上学期 人教A版（2019）选择性必修第一册 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 学生版 使用说明 本清单覆盖人教A版选择性必修第一册第一、二章，按章组织知识与方法，并附9道自检题。 范围说明：只含第一章空间向量与立体几何、第二章直线和圆的方程，不含圆锥曲线、数列、概率统计。 正文按“定义与结论 — 使用步骤 — 常见误判 — 易漏条件”四层展开，每层都是可核对的结论。 自检题按节覆盖两章。学生版只给题干与作答区；教师版另附每题的原【答案】【分析】【详解】。 题目均标注来源。 第一章 空间向量与立体几何 本章目标 理解空间向量的线性运算、共线与共面条件，掌握用基底表示向量与坐标运算，会用方向向量与法向量求空间角与距离。 1.1 空间向量及其运算 · 空间向量是空间中既有大小又有方向的量。相等向量指方向相同、长度（模）相等；向量可以平移，与起点无关。 · 线性运算：加法用三角形法则/平行四边形法则，首尾相接才可直接合并（）；减法要共起点，指向被减向量（）；数乘 改变长度、 时反向。 · 共线向量定理：对 ， 存在唯一实数 ，使 。 · 共面向量定理： 与不共线的 共面 存在唯一实数对 ，使 。 · 数量积：；。求模用 。 使用步骤 · 化简向量式：先把各向量统一到同一基点，再首尾相接合并；方向相反要写成负号。 · 求长度（模）：把目标向量用已知向量表示后平方，用 展开成数量积。 常见误判 · 把数量积当向量： 是数，不能写成向量； 不等于 。 · 由 （）推 是错的，数量积不能约分。 易漏条件　判定三点 共线只需找同一基点 ：看 与 是否成比例；系数为负表示方向相反，仍共线。 1.2 空间向量基本定理 · 空间向量基本定理：若三个向量 不共面，则对空间任一向量 ，存在唯一有序实数组 ，使 。这时 叫做空间的一个基底。 · 四点共面： 四点共面（ 为平面 外一点） 且 。 使用步骤 · 用基底表示向量：选一组不共面的基底，把目标向量沿三角形路径拆成基向量的和差，再合并同类项。 · 比较系数：由 （ 不共面）得 、、。 常见误判 · 判断能否作基底，要看三个向量是否不共面（线性无关），不能只比较其中两个。 · 系数和为 1 的前提是 在平面外；把“四点共面”错记成 。 易漏条件　两个向量一定共面，所以两个向量不能构成空间基底；判断基底至少要三个向量且不共面。 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 · 设 ，：；；。 · 模与夹角：；。 · 平行：（）；垂直：。 · 两点距离与中点：； 中点为 。 使用步骤 · 求角或证垂直：先写坐标，再算数量积与模；求角后注意范围。 · 投影向量： 在 方向上的投影向量为 ，结果是向量。 常见误判 · 用坐标成比例判平行时忽略分母为零：先单独看是否有零分量。 · 投影向量漏掉分母 ，或把投影向量与投影（数量）混淆。 易漏条件　含参坐标题求出参数后要代回检验：既要满足平行/垂直，也要保证向量非零（题设若要求）。 1.4 空间向量的应用 · 方向向量与法向量：直线的方向向量与直线平行；平面的法向量与平面内任意向量垂直。求法向量即解一个与两个不共线方向向量都垂直的方程组。 · 异面直线所成角 ：，。 · 直线与平面所成角 ：，。 · 二面角：先算 ，再结合图形判断锐角还是钝角。 · 点到平面的距离：（ 为平面法向量， 为平面内任一点）。 使用步骤 · 建系：找两两垂直的三条棱作坐标轴；写出关键点坐标，再求方向向量/法向量。 · 求角前先求方向向量与法向量；结果取绝对值，最后按角的范围确定答案。 常见误判 · 线面角误用 （应用 ）；异面直线角忘记取绝对值。 · 二面角不看图直接写 ，把钝角写成锐角。 易漏条件　点到平面距离公式分子必须取绝对值；用同一个平面内不同点 代入，结果相同（法向量一致）。 第二章 直线和圆的方程 本章目标 掌握倾斜角与斜率的互化、直线方程的多种形式与适用条件，会用距离公式和位置关系判定，熟练处理圆的方程与直线、圆与圆的位置关系。 2.1 直线的倾斜角与斜率 · 倾斜角 ；当 时斜率 k=tan α。竖直直线倾斜角为 ，斜率不存在。 · 过两点 、 的斜率 （）。 · 两直线平行 且不重合（两斜率都存在）；垂直 （两斜率都存在）。 使用步骤 · 由 k 反求倾斜角：注意 k=tan α 在 上不单调—— 时 ， 时 。 · 求斜率范围：先画图看直线与线段/圆的位置关系，找边界（含竖直情形），再写区间。 常见误判 · 忽略倾斜角范围 ；遇到竖直直线（斜率不存在）不单独讨论。 · 把“斜率相等”直接当“平行”，漏掉重合。 易漏条件　含参两直线平行，除斜率相等外还要排除重合；若某直线斜率不存在，须单独讨论该情形。 2.2 直线的方程 · 点斜式 （斜率存在）；斜截式 ；两点式 ；截距式 （）；一般式 （ 不同时为 0，覆盖所有直线）。 · 线段 的垂直平分线：过 中点、且与 垂直的直线。 使用步骤 · 写直线方程先判断斜率是否存在；已知两点可用两点式，已知斜率与一点用点斜式。 · “两坐标轴截距相等”要分两类：截距都为零（过原点）与截距非零且相等（斜率 −1）。 常见误判 · 用点斜式时漏掉斜率不存在的情形（此时直线为 ）。 · 把截距当距离：截距是坐标，可正可负可为零。 易漏条件　截距式要求两个截距都不为零；过原点或平行坐标轴的直线不能用截距式，须另设。 2.3 直线的交点坐标与距离公式 · 两条直线的交点：联立两方程求解；方程组的解即为交点坐标。 · 两点间距离：。 · 点到直线的距离：。 · 两条平行线 与 间的距离：。 使用步骤 · 用平行线距离公式前，先把两条直线的 、 系数化为一致。 · 对称问题：点关于点对称为中点问题；点关于直线对称，用“连线与已知直线垂直”且“中点在已知直线上”列方程。 常见误判 · 点到直线距离忘记先把直线化为一般式；分子漏绝对值。 · 两平行线系数不一致就直接代 。 易漏条件　点到直线的距离公式对任意形式的直线都要先化成一般式再代入；含参时注意 。 2.4 圆的方程 · 圆的标准方程 ，圆心 、半径 。 · 圆的一般方程 表示圆 ，此时圆心 、半径 。 · 点与圆的位置关系：比较点到圆心的距离 与半径 —— 在圆外， 在圆上， 在圆内。 使用步骤 · 求圆的方程：已知圆心和半径用标准式；已知三点或一般形式用待定系数法设一般式。 · 由条件求圆心：圆心在弦的垂直平分线上；圆心到圆上各点距离相等。 常见误判 · 一般方程表示圆漏掉条件 。 · 记错圆心符号：一般方程圆心横坐标是 ，不是 。 易漏条件　题中“方程表示圆”先算判别式；若含参数，参数范围由 确定。 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 · 直线与圆：圆心到直线距离 与半径 比较—— 相交（弦长 ）、 相切、 相离。 · 切线：过圆上一点的切线只有一条；过圆外一点的切线有两条。求切线先判断点在圆上还是圆外，斜率不存在时单独讨论。 · 圆与圆：圆心距 与 、 比较——外离 、外切 、相交 、内切 、内含 。 · 两圆公共弦所在直线：把两圆方程相减即得。 使用步骤 · 求弦长：用弦心距公式 ，或用“联立 + 韦达 + 弦长公式”。 · 切点弦（极线）：由圆方程与切点关系写出；也可用“切点所在圆”与已知圆方程相减。 常见误判 · 求切线漏掉斜率不存在的情形；把圆外一点的切线条数当成 1 条。 · “两圆有公共点”的范围漏掉端点（相切时也只有一个公共点）。 易漏条件　含参圆问题先保证两个方程都表示圆（判别式大于 0）；范围端点能否取到，要代回验证是否恰为相切。 第1—2章期中自检题（9题） 答题说明 本组自检题按节覆盖第一、二章，用于核对本章知识是否落实。 选择与填空题直接作答；解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算过程。 第一章 1．（单选题） （26-27高二上·四川绵阳·阶段检测） 在三棱锥中，（ ） A． B． C． D． 2．（单选题） （26-27高二上·四川南充·阶段检测） 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知点，点，则（   ） A． B． C． D． 4．（单选题） （26-27高二上·广东梅州·阶段检测） 已知，若，则（    ） A． B． C． D． 第二章 5．（单选题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（解答题） （25-26高二上·广东江门·阶段检测） 已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 7．（单选题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（单选题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 9．（单选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 第1—2章期中知识清单 高二数学上学期 人教A版（2019）选择性必修第一册 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 教师版 使用说明 本清单覆盖人教A版选择性必修第一册第一、二章，按章组织知识与方法，并附9道自检题。 范围说明：只含第一章空间向量与立体几何、第二章直线和圆的方程，不含圆锥曲线、数列、概率统计。 正文按“定义与结论 — 使用步骤 — 常见误判 — 易漏条件”四层展开，每层都是可核对的结论。 自检题按节覆盖两章。学生版只给题干与作答区；教师版另附每题的原【答案】【分析】【详解】。 题目均标注来源。 第一章 空间向量与立体几何 本章目标 理解空间向量的线性运算、共线与共面条件，掌握用基底表示向量与坐标运算，会用方向向量与法向量求空间角与距离。 1.1 空间向量及其运算 · 空间向量是空间中既有大小又有方向的量。相等向量指方向相同、长度（模）相等；向量可以平移，与起点无关。 · 线性运算：加法用三角形法则/平行四边形法则，首尾相接才可直接合并（）；减法要共起点，指向被减向量（）；数乘 改变长度、 时反向。 · 共线向量定理：对 ， 存在唯一实数 ，使 。 · 共面向量定理： 与不共线的 共面 存在唯一实数对 ，使 。 · 数量积：；。求模用 。 使用步骤 · 化简向量式：先把各向量统一到同一基点，再首尾相接合并；方向相反要写成负号。 · 求长度（模）：把目标向量用已知向量表示后平方，用 展开成数量积。 常见误判 · 把数量积当向量： 是数，不能写成向量； 不等于 。 · 由 （）推 是错的，数量积不能约分。 易漏条件　判定三点 共线只需找同一基点 ：看 与 是否成比例；系数为负表示方向相反，仍共线。 1.2 空间向量基本定理 · 空间向量基本定理：若三个向量 不共面，则对空间任一向量 ，存在唯一有序实数组 ，使 。这时 叫做空间的一个基底。 · 四点共面： 四点共面（ 为平面 外一点） 且 。 使用步骤 · 用基底表示向量：选一组不共面的基底，把目标向量沿三角形路径拆成基向量的和差，再合并同类项。 · 比较系数：由 （ 不共面）得 、、。 常见误判 · 判断能否作基底，要看三个向量是否不共面（线性无关），不能只比较其中两个。 · 系数和为 1 的前提是 在平面外；把“四点共面”错记成 。 易漏条件　两个向量一定共面，所以两个向量不能构成空间基底；判断基底至少要三个向量且不共面。 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 · 设 ，：；；。 · 模与夹角：；。 · 平行：（）；垂直：。 · 两点距离与中点：； 中点为 。 使用步骤 · 求角或证垂直：先写坐标，再算数量积与模；求角后注意范围。 · 投影向量： 在 方向上的投影向量为 ，结果是向量。 常见误判 · 用坐标成比例判平行时忽略分母为零：先单独看是否有零分量。 · 投影向量漏掉分母 ，或把投影向量与投影（数量）混淆。 易漏条件　含参坐标题求出参数后要代回检验：既要满足平行/垂直，也要保证向量非零（题设若要求）。 1.4 空间向量的应用 · 方向向量与法向量：直线的方向向量与直线平行；平面的法向量与平面内任意向量垂直。求法向量即解一个与两个不共线方向向量都垂直的方程组。 · 异面直线所成角 ：，。 · 直线与平面所成角 ：，。 · 二面角：先算 ，再结合图形判断锐角还是钝角。 · 点到平面的距离：（ 为平面法向量， 为平面内任一点）。 使用步骤 · 建系：找两两垂直的三条棱作坐标轴；写出关键点坐标，再求方向向量/法向量。 · 求角前先求方向向量与法向量；结果取绝对值，最后按角的范围确定答案。 常见误判 · 线面角误用 （应用 ）；异面直线角忘记取绝对值。 · 二面角不看图直接写 ，把钝角写成锐角。 易漏条件　点到平面距离公式分子必须取绝对值；用同一个平面内不同点 代入，结果相同（法向量一致）。 第二章 直线和圆的方程 本章目标 掌握倾斜角与斜率的互化、直线方程的多种形式与适用条件，会用距离公式和位置关系判定，熟练处理圆的方程与直线、圆与圆的位置关系。 2.1 直线的倾斜角与斜率 · 倾斜角 ；当 时斜率 k=tan α。竖直直线倾斜角为 ，斜率不存在。 · 过两点 、 的斜率 （）。 · 两直线平行 且不重合（两斜率都存在）；垂直 （两斜率都存在）。 使用步骤 · 由 k 反求倾斜角：注意 k=tan α 在 上不单调—— 时 ， 时 。 · 求斜率范围：先画图看直线与线段/圆的位置关系，找边界（含竖直情形），再写区间。 常见误判 · 忽略倾斜角范围 ；遇到竖直直线（斜率不存在）不单独讨论。 · 把“斜率相等”直接当“平行”，漏掉重合。 易漏条件　含参两直线平行，除斜率相等外还要排除重合；若某直线斜率不存在，须单独讨论该情形。 2.2 直线的方程 · 点斜式 （斜率存在）；斜截式 ；两点式 ；截距式 （）；一般式 （ 不同时为 0，覆盖所有直线）。 · 线段 的垂直平分线：过 中点、且与 垂直的直线。 使用步骤 · 写直线方程先判断斜率是否存在；已知两点可用两点式，已知斜率与一点用点斜式。 · “两坐标轴截距相等”要分两类：截距都为零（过原点）与截距非零且相等（斜率 −1）。 常见误判 · 用点斜式时漏掉斜率不存在的情形（此时直线为 ）。 · 把截距当距离：截距是坐标，可正可负可为零。 易漏条件　截距式要求两个截距都不为零；过原点或平行坐标轴的直线不能用截距式，须另设。 2.3 直线的交点坐标与距离公式 · 两条直线的交点：联立两方程求解；方程组的解即为交点坐标。 · 两点间距离：。 · 点到直线的距离：。 · 两条平行线 与 间的距离：。 使用步骤 · 用平行线距离公式前，先把两条直线的 、 系数化为一致。 · 对称问题：点关于点对称为中点问题；点关于直线对称，用“连线与已知直线垂直”且“中点在已知直线上”列方程。 常见误判 · 点到直线距离忘记先把直线化为一般式；分子漏绝对值。 · 两平行线系数不一致就直接代 。 易漏条件　点到直线的距离公式对任意形式的直线都要先化成一般式再代入；含参时注意 。 2.4 圆的方程 · 圆的标准方程 ，圆心 、半径 。 · 圆的一般方程 表示圆 ，此时圆心 、半径 。 · 点与圆的位置关系：比较点到圆心的距离 与半径 —— 在圆外， 在圆上， 在圆内。 使用步骤 · 求圆的方程：已知圆心和半径用标准式；已知三点或一般形式用待定系数法设一般式。 · 由条件求圆心：圆心在弦的垂直平分线上；圆心到圆上各点距离相等。 常见误判 · 一般方程表示圆漏掉条件 。 · 记错圆心符号：一般方程圆心横坐标是 ，不是 。 易漏条件　题中“方程表示圆”先算判别式；若含参数，参数范围由 确定。 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 · 直线与圆：圆心到直线距离 与半径 比较—— 相交（弦长 ）、 相切、 相离。 · 切线：过圆上一点的切线只有一条；过圆外一点的切线有两条。求切线先判断点在圆上还是圆外，斜率不存在时单独讨论。 · 圆与圆：圆心距 与 、 比较——外离 、外切 、相交 、内切 、内含 。 · 两圆公共弦所在直线：把两圆方程相减即得。 使用步骤 · 求弦长：用弦心距公式 ，或用“联立 + 韦达 + 弦长公式”。 · 切点弦（极线）：由圆方程与切点关系写出；也可用“切点所在圆”与已知圆方程相减。 常见误判 · 求切线漏掉斜率不存在的情形；把圆外一点的切线条数当成 1 条。 · “两圆有公共点”的范围漏掉端点（相切时也只有一个公共点）。 易漏条件　含参圆问题先保证两个方程都表示圆（判别式大于 0）；范围端点能否取到，要代回验证是否恰为相切。 第1—2章期中自检题（9题） 答题说明 本组自检题按节覆盖第一、二章，用于核对本章知识是否落实。 选择与填空题直接作答；解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算过程。 本清单教师版附每题的原答案、分析与详解，可据此讲评。 第一章 1．（单选题） （26-27高二上·四川绵阳·阶段检测） 在三棱锥中，（ ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【详解】 . 2．（单选题） （26-27高二上·四川南充·阶段检测） 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【详解】 ，，， 则. 3．（单选题） （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知点，点，则（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【详解】 空间向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故． 4．（单选题） （26-27高二上·广东梅州·阶段检测） 已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【详解】 由，得，解得． 所以． 第二章 5．（单选题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 D 【详解】 ，因此该直线方程为. 因此该直线的倾斜角为. 6．（解答题） （25-26高二上·广东江门·阶段检测） 已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 【原解析】 【答案】 (1) (2) 【分析】 （1）由直线垂直求解过点直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. （2）由直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，可得直线斜率存在，设直线，令，分别求解、两点，再根据求解直线斜率，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】 （1）已知直线的斜率，垂直直线斜率为，所以，所以， 所以过点的直线方程为，即. （2）由题意可得，直线斜率存在，所以设直线：，所以当时，，所以， 当时，，，因为直线分别交轴、轴的正半轴于、两点， 所以，，又因为， 所以，且，即，所以，即， 解得，所以，， 所以，所以的面积为. 7．（单选题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【原解析】 【答案】 B 【分析】 根据直线关于的对称性求出直线的对称方程，对比求解即可. 【详解】 直线关于直线对称的直线方程为. 由题意得，，解得，. 8．（单选题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（  ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【详解】 由得，所以， 故以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 9．（单选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 若圆上存在点满足，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【分析】 设点，由得到，从而两圆有公共点，利用圆心距和两圆半径的关系可得不等式，求出答案 【详解】 设点，由得， 因为圆上存在点满足， 故圆与圆有公共点， 其中的圆心为，半径为2， 所以， 两边平方得，，故恒成立， 两边平方得，解得， 所以a的取值范围是. 自检题讲评参考 本清单附 9 道自检题，第一、二章各按节覆盖，优先对应本章最易漏的条件： 第一章——空间向量的线性运算与共线（01）、基底表示（阳马，02）、坐标运算与平行垂直（03）、由垂直求坐标与向量模（04）； 第二章——倾斜角与斜率范围（05）、直线方程与截距分类（06）、对称问题（直线关于直线对称，07）、圆的方程与直线与圆（08）、圆与圆公共弦与相切（09）。 讲评提示 讲评时优先追问“这一步为什么成立”，而不是核对答案是否一致。 错在空间向量的题，追问是否把目标向量统一到同一基点、是否正确使用法向量；错在直线与圆的题，追问是否讨论斜率不存在与含参退化。 个别题没有【分析】栏，讲评时可让学生先自己说分析思路，再对照【详解】。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $