上海市松江区高三数学上学期一轮复习平面向量作业设计

高三一轮复习：平面向量专题复习课后作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 高三一轮复习：平面向量专题复习课后作业 学段学科 高中数学 适用年级 高三年级 教材版本 沪教版 对应内容 沪教版必修二第8章平面向量 作业类型 轮复习课后作业 总时长60分钟，其中基础训练为必做题40分 完成时长 钟完成，能力提升为选做题20分钟完成 设计者 唐慧 二、设计背景与意图 1.课标与教材分析 ●课标要求：通过本专题作业的训练，要求学生能够从多种角度理解向量概念和运算法则，掌 握向量基本定理，能够运用向量运算解决一些简单的代数与几何问题，并能借助向量这一工 具解决一些综合性问题，重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象素养。需达成 高考的学业质量标准。 ●教材地位：向量兼具深厚的数学内涵与丰富的物理背景，它既是代数研究对象，又是几何研 究工具，是沟通代数与几何的桥梁。利用向量能够以代数方法研究几何问题，既是后续数学 学习的重要基础，也可应用于解决实际问题。作为高中数学“几何与代数”主线的重要内容， 向量突出数形结合，实现几何直观与代数运算的融合，引导学生感悟知识的内在联系，理解 数学的整体性。 ● 教学重难点： 1.通过基础训练题，梳理本专题相关的基础知识和基本方法，掌握向量的有关概念及运算，理解 向量基本定理及其意义 2.通过能力提升题，会用向量方法解决有关问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用，提 升数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象素养 2.学情分析 维度 具体描述 经过高一阶段的学习，学生已基本掌握平面向量的基本概念与基 已有基础 础运算，能够开展向量的一些简单应用 学生易混淆向量线性运算与数量积的运算律；难以实现几何直观 现有困惑 与代数运算的有机融合，不善于建立知识间的内在联系，处理向 量综合问题、实际情境问题的能力不足。 本班为普通高中教学班，学生整体基础偏弱。约三分之一学生基 础较好，作业需在巩固基础的同时拓展提升；后三分之一学生基 差异分析 础薄弱，亟需掌握基本概念，做到知识的简单运用，满足学业考 核基本要求。 3.设计意图 本次作业立足本班学情，面向全体学生，旨在帮助学生熟练掌握平面向量的基本概念与运算，会 运用向量解决基础数学及实际应用问题；同时兼顾分层发展，引导学有余力的学生加深对向量应 用价值的认知，感悟向量作为沟通代数与几何桥梁的意义，落实逻辑推理、直观想象等核心素养 的培育。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 能够复述辨析平面向量相 概念辨析题正确率， 关概念，区分向量线性运 数学抽象、数学运 知识理解 A 对向量概念、运算规 算与数量积的运算律，理 算 则的书面表达 解向量基本定理 能够运用向量线性运算、 解题过程完整书写， 数学运算、直观想 能力运用 数量积、基底分解等方 向量模型选择与情境 法，解决简单的几何问题，象 转化的合理性 能够对比实数与向量运算 的差异，依托向量推理几 逻辑推理、直观想 几何条件与向量语言 思维发展 C 互相转化的推理论证 何关系，体会向量沟通代 象 过程 数与几何的数形结合思想 体验向量作为数学工具的 综合题主动选用向量 情感态度 D 应用价值，初步形成运用 数学抽象 方法作答的表现，简 数形结合分析问题的意识 短反思的文字倾向 四、作业内容与目标对应表 题 对应作业 题型 题目概要 设计意图 参考答案/评价要点 目标编号 答案：D 评价要点： 学生容易忽略向量的方 向属性，混淆单位向 优秀：能准确区分单位向量、平 概念辨 已知两个单位向量， 量、平行向量、相等向 行向量、相等向量； 判断关于向量相等、 析选择 量等概念；本题辨析向 向量平行等相关命题 良好：混淆相等向量与平行向量 题 的正误 量“大小、方向”双要的关系 素，排查基础概念误 区， 巩固向量核心定义 待改进：不清楚单位向量仅模长 为1. 核心素养：数学抽象 答案：2 评价要点： 已知正方形ABCD边 向量线长为1，化简向量加 优秀：能利用向量加法法则化简 性运算减混合表达式并求向 A 复习向量的模、向量加 向量，模长计算正确 法的平行四边形法则、 填空题量的模。 向量减法的三角形法则， 良好：向量化简步骤出错 待改进：不会用向量加减法的几 何意义化简。 核心素养：直观想象、数学运算 立足平面向量基本定 平面向已知A、M、B三点 B 理，依三点共线基础 答案 量基本共线，试用基底 3 定理应 模型；将目标向量用指 OA=a, 定基底进行唯一表示； 用填空 评价要点： 打通几何图形到向量代 题 OB=b表示OM= 数表达式的转化. 优秀：能正确运用向量加减法推 导，基底表示无误； C. 良好：共线向量的比例关系出 错 待改进：不会将OM转化为 OA、OB的表达式 核心素养：直观想象、数学运算 答案： a+ 评价要点： 巩固向量坐标线性运 优秀：可正确将向量条件转化为 算，理解定比分点的向 定比，用向量坐标列式或定比分 向量坐 量本质；学生可选用向 点公式求解，过程完整， 坐标运 标运 量坐标直接列方程运算 算、定已知点P满足 算无错； B 或定比分点公式直接代 4比分点AB=3AP,求点P 入这两种思路解题，厘 良好：解题思路正确，仅出现少 公式应坐标 清分点中入的含义，区 量计算粗心失误， 用填空 分向量表达式与定比的 题 转化关系，体会几何位 待改进：分不清定比分点的比 置关系与坐标代数运算 值，混淆向量方向，坐标相减顺 的转化. 序颠倒。 核心素养：数学运算、直观想 象、逻辑推理 答案：-V2,(（-1,) 评价要点： 辨析数量投影（实数） 向量数已知两个平面向量， 与投影（向量）；掌握 优秀：概念区分清晰，公式选 量投影求一个向量在另一个 5 数量积坐标运算、投影 用、计算全对： 与投影向量上的数量投影与 相关公式，突破概念混 填空题投影 良好：概念基本掌握，少量计算 淆的高频易错点。 错误； 待改进：混淆两个投影公式，概 念不清， 核心素养：数学运算、直观想象 答案： (1)k=2;(2)k=1 评价要点： 向量坐 巩固向量线性坐标运 优秀：平行、垂直公式选用准 已知两个平面向量坐 标运算 B 算；区分向量垂直、平 确，列式计算全对； 标，求两个向量垂直 6 及平行 行的坐标判定条件，落 与平行时参数k的 良好：公式掌握，少量计算失 垂直解 实方程思想，训练基础 值 误 答题 运算 待改进：混淆平行与垂直判定条 件，列式错误 核心素养：数学运算、逻辑推理 答案：√2+2 评价要点： 优秀：能建系求出F点坐标，数 向量数 掌握几何背景下向量数 量积计算无误； B 量积的在矩形背景下，求两 量积求解的常见方法， 7 良好：建系正确，存在少量计算 应用填个向量的数量积 融合几何直观与代数运 失误； 空题 算 待改进：不会建立坐标系，找不 到F点坐标 核心素养：直观想象、数学运算 答案：(7，-)u(, 平面向 掌握向量钝角的双重判 向量的夹角为钝角等 8 ) 量数量 定条件，训练数量积运 价转化为数量积为负 积与夹 算，规避忽略反向共线 评价要点： 且排除两个向量反向 角的坐 的易错点。 优秀：同时满足两个条件； 标表示 良好：只求出不等式范围； 解答题 待改进：数量积展开出错. 核心素养：数学运算、逻辑推理 答案：证明略 优秀：证明逻辑完整，面积计算 掌握向量的模长不等式 平面向 ◇ 无误； 用向量方法证明不等 (柯西不等式向量形 9 量应用 良好：证明步骤略有疏漏； 式 式)，学会构造向量来 证明题 证明代数不等式。 待改进：不会推导或套用公式 核心素养：逻辑推理、数学运算 答案：（1)- (2)证明略； (3)1 评价要点： 通过该实例，揭示了向 证明三角形面积的向 量作为解决各种问题的 优秀：能正确构造向量并完成证 平面向 量与坐标公式，用以 工具，解决平面几何、 明； 10量应用 上的结论求三点构成 三角等领域的问题，让 解答题 良好：向量构造正确但等号分析 的三角形面积. 学生充分体会方程思想 疏漏； 和数形结合思想 待改进：不会构造向量 核心素养：逻辑推理、数学运算 答案：(4,2) 向量与 已知向量0A、OB 掌握共线向量设参方 评价要点： 二次函、OP坐标，K为直 法，把向量数量积问题 优秀：共线设参正确，数量积与 11数最值线OP上动点，求 转化为二次函数求最 二次函数计算无误； 综合解KA.KB取最小值 值，体会向量与函数的 答题 综合. 良好：设参正确但计算出错： 时OK的坐标. 待改进：不会利用共线条件设点， 核心素养：数学运算、逻辑推理 答案：「-8V2,16+8V2 评价要点： 向量数 量积几边长为4的正八边形 优秀：能借助投影找到最值点， 何意义ABCDEFGH,P为 运用向量数量积的投影 计算准确； C 定义，结合正八边形几 12与平面内部（含边界）动 何特征，求解动点向量 良好：理解投影但最值点判断失 几何综点，求AP·AB的取 数量积的范围 误 合解答值范围 题 待改进：不会使用数量积的投影 定义 核心素养：直观想象、数学运算 答案：最大值24；最小值-18 向量数 评价要点： 量积与△ABC三边已知，圆 优秀：向量拆分合理，最值计算 圆的动A半径为3，PQ为圆 C 掌握向量拆分变形的技 13 巧，结合圆的性质求解 准确； 点最值A直径，求BP·CQ 动点向量数量积的最值 综合解的最大值和最小值。 良好：会拆分但计算失误； 答题 待改进：不会拆分向量， 核心素养：数学运算、逻辑推理 平面向已知△ABC边长、 量基本coSA,O为△ABC 答案： 49V6 理解平面向量基本定理 24 定理与外心， 几何含义，结合外心性 14外心 评价要点： 质求解向量线性区域面 平面区Q={P1OP=xOB+ 积 域面积，求集合Ω对应图形 优秀：识别平行四边形，运算准 综合填面积 确 空题 良好：图形判断正确，计算失 误 待改进：无法理解向量表达式对 应的平面图形 核心素养：直观想象、数学运算 答案：(1儿AB= V(x1-x2)+(y1-y2)+2( 2P(,*2) 定义斜 评价要点： 给出斜坐标系定义， 通过新定义情境，类此 坐标系 与平面 (1)求两点距离；(2) 直角坐标系，运用向量 优秀：读懂新定义，向量建模与 15 向量探求定比分点坐标 线性运算、模长公式完 推导准确； 成探究，提升知识迁移 究解答 良好：理解定义，但向量运算存 能力。 题 在失误； 待改进：无法将斜坐标转化为向 量模型 核心素养：数学抽象、逻辑推理 落实目标评价证据，采 写出本次作业中你发 D 集学生对向量学习应用 16反思 现的1-2个平面向量 的感悟 无标准答案 易错点 五、作业评价 维度 A(优秀) B(良好) C(待改进) 权重 得分 向量概念辨析准 确，基础题型正确 少量计算失误， 向量概念混淆，基 知识理解 35% 率高，无原则概念 无概念混淆 础运算错误较多 错误 合理选用向量方 方法正确，少量 法，步骤完整规 向量模型构建偏 步骤疏漏、计算 35% 能力运用 范，几何与向量模 差，关键步骤缺失 错误 型转化合理 几何条件与向量语 基础转化推理通 几何、向量互相转 思维发展 言互化严谨，充分 顺，思考深度一 化存在障碍，推导 25% 体现数形结合 般 逻辑混乱 书写规范，完成反 态度端正，完成 作业完成度不足 情感态度 思，能主动觉察知 5% 作业与反思 反思空白 识漏洞 批改汇总 超过半数题目达到优秀，整体作业等级A; 多数题目良好，少量待改进，整体等级B; 多道必做基础题为待改进，整体等级C 作业讲评建议： 高频错题重点讲评：第5题投影概念、第8题钝角忽略反向共线、第13题向量拆分 选做题11-15不全部细讲，选取1-2道作为拓展示范： 收集学生反思栏的易错点，课堂共同整理向量错题清单 六、试题详情 高三一轮复习：平面向量专题复习课后作业 【基础训练】 (必做题，完成时间：40分钟) 1.已知a、b为两个单位向量，下列结论中正确的是（) A.a=b; B.如果a∥b,那么a=b; C.a∥b; D.如果a∥b,那么a=b或a=-b 2.已知正方形ABCD的边长为1，那么AB-BC+AC= 3.如图，点A、M、B在同一条直线上，点O不在该直线上，且AM=AB.设 OA=a,OB=b,OM=c,则c= (试用向量a、b表示). B 4.已知点A(2,3),B(6,-3),若点P满足AB=3AP,则点P的坐标为 5.若向量a=(1,-1),b=(3,5),则b在a方向上的数量投影为 投影的坐标 为 6.已知向量a=(-3,1),b=(L,-2),m=a+kb,keR. (1)若向量m与a垂直，求k的值； (2)当k为何值时，向量与a+b平行 7.在矩形ABCD中，AB=V2,BC=2,点E为边BC的中点，点F在边CD上，若 ABAF=V2,则AE·AF= 8.已知两个向量e、e满足e=2,1e,=1,(%,e〉=60°，且向量2入e,+7e与向量 e,+Ae,的夹角为钝角.求实数入的取值范围. 9.已知a、b均为正数，且a+b=1.求证：(a+2)2+(b+3)≥18. 10.在△ABC中，设CA=a,CB=b,记△ABC的面积为S. )求证：&a即即a列， ②)设a=(G》,石=(e),求证：S-x: (3)已知坐标平面上三个点A(1,0)、B(2,3)与C(3,4),利用(2)的结论求△ABC的 面积 【能力提升】（选做题，完成时间：20分钟） 11.已知向量OA=1,),OB=(5,1),OP=(2,1),K为直线OP上的一个动点，当 KA·KB取最小值时，求向量OK的坐标. 12.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一 个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形 ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH内的动点（含边界），求AP.AB的 取值范围， B 13.如图，在△ABC中，|AB=8,BC=7,AC=3,圆A的半径为3，PQ是圆A 的一条直径，求BP.CQ的最大值和最小值， 14在△4BC中，AB=5,4C上6，cas4=写0是△4BC的外心，集合 Q-{PIOp=xOB+OC,0≤x≤1,0≤ys1, 则Ω中所有的点构成图形的面积为 15.平面直角坐标系是由有公共原点且互相垂直的两条数轴组成.当把这两条数轴变化为 不垂直且不重合时，称这时所形成的坐标系为“斜坐标系”在斜坐标系中，称这两条 数轴的公共点为斜坐标系的坐标原点，其坐标记为(0,0)，在x轴上的点的纵坐标为0， 在y轴上的点到横坐标为0在斜坐标系中，如果x轴与y轴的夹角为0(0<日<号)， 给定平面内任意一点P,由P分别作x轴、y轴的平行线，分别交x轴、y轴于点 M、N,将点M、N在x轴、y轴上的坐标a、b称为点P在该斜坐标系中的坐标，记 为P(a,b) 设A(X1,y1)、B(x2,y2)是斜坐标系中的任意两点，请探究下列问题： (1)A、B两点间的距离AB: (2)设点P分有向线段AB所成的定比为2，求分点P的坐标， 【作业反思】（必做题）〉 找找向量的那些“陷阱”，写出本次作业中你发现的1-2个平面向量易错点： 七、答案与解析 1.已知a、b为两个单位向量，下列结论中正确的是（) A.a=b; B.如果a∥b,那么a=b; C.a∥b; D.如果a∥b,那么a=b或a=-b」 【答案】D 【解析】 因为ā、b为两个单位向量，即a=|=1,但ā、b的方向不确定，故A不正确： 我们将、b的起点置于单位圆的圆心O,则它们的终点可以在单位圆上的任意位 置，所以a与b不一定相等，也不一定平行，故B、C均不正确； 若单位向量a与b平行，则它们的方向相同或相反，所以a=b或a=-b,故D正确： 答案：D 2.已知正方形ABCD的边长为1，那么AB-BC+AC= 【答案】2. 【解析】 根据向量加法和减法的三角形法则， 可得AB-BC+AC=AB+CB+AC=AB+(AC+CB)=2AB, 故AB-BC+AC=2 3如图，点A、M、B在同一条直线上，点O不在该直线上，且AM=二AB.设 OA=a,OB=b,OM=c,则c=_ (试用向量a、b表示). B 【解析】 a与b是两个不平行的向量，根据平面向量基本定理c可以用a,b的线性组合来表示， 由o=oA+,及4=号，行0M-01+西=a1+oi-a,所以 am-号oi+o5-a+6 3 4.已知点A(2,3),B(6,-3),若点P满足AB=3AP,则点P的坐标为 【答案】 3 【解析】 法一：设点P的坐标为(x,),则AP的坐标为(x-2,y-3),AB的坐标为(4，-6)，代入 1 AB=3AP, 得 4=3(X-2),即可求出点P的坐标为 6=3(y-3) 31 法二：设点P的坐标为(，y), 由AB=3AP得BP=2PA, X= 6+2x2= 由定比分点坐标公式知 1+2 ， y=-3+2x3=1 所以点P的坐标 31 1+2 5.若向量a=(1,-1),b=(3,5),则b在a方向上的数量投影为 投影 的坐标为 【答案】-√2；(-1,1) 【解析】 五在a方向上的数量投影为osa.-a白=13-5=-V2, V12+(-1)2 b在a方向上的投影为 cos(a,b)- -1 a-ba=13+-5.a=-a=(←1,1)， a 12+(-1)2 6.已知向量a=(-3,1),b=1,-2),m=a+k币，k∈R. (1)若向量m与a垂直，求k的值； (2)当k为何值时，向量与a+b平行. 【答案】(1)k=2;(2)k=1 【解析】 (1)由已知可得m=(-3+k,1-2k),因为m1a,所以m~a=0,即 -3×(-3+)+1×(1-2k)=0,解得k=2. (2)a+b=(-2,-1),因为m与a+b平行，所以-2×1-2)=-1x(-3+),解得 k=1 7.在矩形ABCD中，AB=V2,BC=2,点E为边BC的中点，点F在边CD上，若 AB.AF=√2，则AEAF= 【答案】√2+2 【解析】 法1：（坐标法）如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建 立平面直角坐标系，则BV2,0),V2,1,设点F坐标为(x,2),则AB=√2,0， AF=(x,2)所以ABAF=V2x=V2,解得x=1,所以AE.AF=√2x+2=√2+2. 法2：（基底法转化）如图，设DF=ADC,0≤入≤1，则 AF=AD+DF=AD+ADC=AD+AB,从而有 AB-A=ABAD+九MB)=AB=21=5,解得A=5 际以M-(8+0a0+99,-+2 8.已知两个向量e、e满足e=2,1e=1,%,e)=60°，且向量2e+7e,与向量 e,+Ae,的夹角为钝角.求实数的取值范围. 【答案】(-7，-)(-，-引) 【解析】 由题意，(2Ag+7e)(E+Ae)<0,且2入e+7e与e+e不共线 (2g+7e)(e+Ae)<0,即2入1eP+(2入2+7)e+7AeP<0,其中ge=1,代入 化筒，得2AP+15入+7<0，解得-7<入<-5 当向量2A8+7g与向最6+A8反向时，设2Ag+7g,=g+AQt<0,得A=-网 因此，A的取值范围是(-7，-)(-受，-引 9.已知a、b均为正数，且a+b=1.求证：(a+2)2+(b+3)≥18. 【答案】证明略 【解析】 构造向量u=(a+2,b+3),v=1,1), 则iU≤☑0及a+b=1, 可知1(a+2)+1.(b+3≤2a,即6≤V2回， 所以☑≥18.从而有(a+2y2+6+3)2≥18， 10.在△ABC中，设CA=a,CB=b,记△ABC的面积为S. )求证。sa6a, ②设a=6,0.石=6，.求证Sy-5 (3)已知坐标平面上三个点A(L,0)、B(2,3)与C(3,4),利用(2)的结论求△ABC的 面积， 【答案】(1)(2)证明略；(3)1 【解析】 (1)证明如图，设∠C=a,=0.由面积公式知，S=a6sm8, -laFIDF sin-(aFIDP-laFIOPcos -aPlBP-@-D]. 所以S-a-a-可 (2)证明因为aP1P-(a-b2=(x+)x+y)-(xx+yy)月 =x-2xxyy+xy=(xy)2. 所以，S=头-x (3)由CA=(-2,-4,CB=(-1,-1), 得S=2引x1y2-x2y1=2(-2)×(-1)-(-4)×(-1)1=1. 【能力提升】 11.已知向量OA=1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),K为直线0P上的一个动点，当 KA·KB取最小值时，求向量OK的坐标 【答案】(4,2) 【解析】 由K为直线OP上的一个动点，得OR与OP平行，设OK=AOP(入eR),故 O=(2入，0 于是K4=OA-OK=1-2入，7-)，B=-OB-0K-(5-2λ，1-)， K4-B=1-20(5-20+(7-01-0=52-20入+12=5(1-2)2-8. 当入=2时，KA·KB取得最小值-8，此时，向量O灭的坐标为(4,2) 12.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一 个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形 ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH内的动点（含边界），求AP.AB的 取值范围 E G 【答案】[-8√2,16+8 【解析】 如图，以A为坐标原点，AB、AF所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标 系，则A(0,0),B(4,0),设P(x,y),则AB=(4,0),AP=(xy),从而有 AP.AB=4x,因为P是正八边形ABCDEFGH内的动点（含边界），所以x的范围为 [-2W反，4+2W],故4AP.AB的取值范围是[-8V2,16+82] 13.如图，在△ABC中，|AB=8,BC=7,AC=3,圆A的半径为3，PQ是圆A 的一条直径，求BP.CQ的最大值和最小值 Q 【答案】BP.CO取到最大值24；BP.CO取到最小值-18. 【解析】 BP.CO=BA+Ci+)=BA+P)CA-AP) BA.CA+AP.CA-BA-AP'=BA.CA+AP.CB-AP'. 在△BC中，由余弦定理，得c∠B4C-分，于是 AB·AC=BACcos,∠B4C=12. 设向量AP与CB的夹角为日，0≤日≤π，于是AP.CB=21cos日. BP.CO=12+21cos0-9=3+21cose. 故当8=0时，BP.CQ取到最大值24；当日=π时，BP.CQ取到最小值-18. 14在△BC中，14B=5,14C6,cos4-行0是△4BC的外心，集合 Q={POP=xOB+yOC,0≤x≤1,0≤y≤1}，则Q中所有的点构成图形的面积为 【答案】496 24 【解析】 如图，由Op=xOB+yOC,x、ye[0,1,可知集合Q中 所有点构成图形为以OB、OC为邻边的菱形OBEC及其内 部 在△HBC中，由余孩定理，得8C上7，又mA=26 故该三角形的外接围半径OB日oC-35V6 24 又<80C=n21:,于是美形05C货暂农 S=0BIxIOCIxsin /BOC=4 24， 即集合0中所有点构成图形的面积为49√6 24 15.平面直角坐标系是由有公共原点且互相垂直的两条数轴组成.当把这两条数轴变化为 不垂直且不重合时，称这时所形成的坐标系为“斜坐标系”在斜坐标系中，称这两条 数轴的公共点为斜坐标系的坐标原点，其坐标记为(0,0)，在x轴上的点的纵坐标为0， 在y轴上的点到横坐标为0在斜坐标系中，如果x轴与y轴的夹角为9(0<日<)， 给定平面内任意一点P,由P分别作x轴、y轴的平行线，分别交x轴、y轴于点 M、N,将点M、N在x轴、y轴上的坐标a、b称为点P在该斜坐标系中的坐标，记 为P(a,b): 设A(X1,y1)、B(x2,y2)是斜坐标系中的任意两点，请探究下列问题： (1)A、B两点间的距离AB引； (2)设点P分有向线段AB所成的定比为2，求分点P的坐标. 【答案】(1ABl=V(x1-x2)+(y1-y2)+2(x1-x2)(y1-y2)cos6 (2)P (x1+Ax2y1+2y2 1+2 ’1+2 【解析】 (1)设x轴方向的单位向量为i,y轴方向的单位向量为j, OA=x1i+yj,OB=x2i+y2j, 所以AB=(x1-x2)i+(y1-y2)j, 根据向量的数量积，得 AB2=AB.AB,i.j=cos0 所以AB|=V(x1-x2)+(y1-y2)+2(x1-x2)(y1-y2)c0s9 X =X1+AX2 (2)由题意， 1+2 y1+2y2 1+2 所以分点P的坐标为(1+x2,y1+y2) 、1+2’1+2 【作业反思】 找找向量的那些“陷阱”，写出本次作业中你发现的1-2个平面向量易错点： 【解析】无固定答案，落实目标评价证据，采集学生对向量学习应用的感悟. 高三一轮复习：平面向量专题复习课后作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 高三一轮复习：平面向量专题复习课后作业 学段学科 高中数学 适用年级 高三年级 教材版本 沪教版 对应内容 沪教版必修二 第8章平面向量 作业类型 一轮复习课后作业 完成时长 总时长60分钟，其中基础训练为必做题40分钟完成，能力提升为选做题20分钟完成. 设计者 唐慧 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：通过本专题作业的训练，要求学生能够从多种角度理解向量概念和运算法则，掌握向量基本定理，能够运用向量运算解决一些简单的代数与几何问题，并能借助向量这一工具解决一些综合性问题，重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象素养。需达成高考的学业质量标准。 · 教材地位：向量兼具深厚的数学内涵与丰富的物理背景，它既是代数研究对象，又是几何研究工具，是沟通代数与几何的桥梁。利用向量能够以代数方法研究几何问题，既是后续数学学习的重要基础，也可应用于解决实际问题。作为高中数学 “几何与代数” 主线的重要内容，向量突出数形结合，实现几何直观与代数运算的融合，引导学生感悟知识的内在联系，理解数学的整体性。 · 教学重难点： 1．通过基础训练题，梳理本专题相关的基础知识和基本方法，掌握向量的有关概念及运算，理解向量基本定理及其意义． 2．通过能力提升题，会用向量方法解决有关问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象素养． 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 经过高一阶段的学习，学生已基本掌握平面向量的基本概念与基础运算，能够开展向量的一些简单应用。 现有困惑 学生易混淆向量线性运算与数量积的运算律；难以实现几何直观与代数运算的有机融合，不善于建立知识间的内在联系，处理向量综合问题、实际情境问题的能力不足。 差异分析 本班为普通高中教学班，学生整体基础偏弱。约三分之一学生基础较好，作业需在巩固基础的同时拓展提升；后三分之一学生基础薄弱，亟需掌握基本概念，做到知识的简单运用，满足学业考核基本要求。 3. 设计意图 本次作业立足本班学情，面向全体学生，旨在帮助学生熟练掌握平面向量的基本概念与运算，会运用向量解决基础数学及实际应用问题；同时兼顾分层发展，引导学有余力的学生加深对向量应用价值的认知，感悟向量作为沟通代数与几何桥梁的意义，落实逻辑推理、直观想象等核心素养的培育。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能够复述辨析平面向量相关概念，区分向量线性运算与数量积的运算律，理解向量基本定理. 数学抽象、数学运算 概念辨析题正确率，对向量概念、运算规则的书面表达。 能力运用 B 能够运用向量线性运算、数量积、基底分解等方法，解决简单的几何问题. 数学运算、直观想象 解题过程完整书写，向量模型选择与情境转化的合理性 思维发展 C 能够对比实数与向量运算的差异，依托向量推理几何关系，体会向量沟通代数与几何的数形结合思想 逻辑推理、直观想象 几何条件与向量语言互相转化的推理论证过程 情感态度 D 体验向量作为数学工具的应用价值，初步形成运用数形结合分析问题的意识 数学抽象 综合题主动选用向量方法作答的表现，简短反思的文字倾向. 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 概念辨析选择题 已知两个单位向量，判断关于向量相等、向量平行等相关命题的正误. A 学生容易忽略向量的方向属性，混淆单位向量、平行向量、相等向量等概念；本题辨析向量 “大小 、方向” 双要素，排查基础概念误区，巩固向量核心定义. 答案：D 评价要点： 优秀：能准确区分单位向量、平行向量、相等向量； 良好：混淆相等向量与平行向量的关系； 待改进：不清楚单位向量仅模长为 1. 核心素养：数学抽象 2 向量线性运算填空题 已知正方形 ABCD 边长为 1，化简向量加减混合表达式并求向量的模. A 复习向量的模、向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法则. 答案：2 评价要点： 优秀：能利用向量加法法则化简向量，模长计算正确； 良好：向量化简步骤出错； 待改进：不会用向量加减法的几何意义化简. 核心素养：直观想象、数学运算 3 平面向量基本定理应用填空题 已知A、M、B 三点共线，试用基底, 表示. B 立足平面向量基本定理，依托三点共线基础模型；将目标向量用指定基底进行唯一表示；打通几何图形到向量代数表达式的转化. 答案： 评价要点： 优秀：能正确运用向量加减法推导，基底表示无误； 良好：共线向量的比例关系出错； 待改进：不会将转化为、的表达式. 核心素养：直观想象、数学运算 4 向量坐标运算、定比分点公式应用填空题 已知点P满足，求点P坐标. B 巩固向量坐标线性运算，理解定比分点的向量本质；学生可选用向量坐标直接列方程运算或定比分点公式直接代入这两种思路解题，厘清分点中λ的含义，区分向量表达式与定比的转化关系，体会几何位置关系与坐标代数运算的转化. 答案： 评价要点： 优秀：可正确将向量条件转化为定比， 用向量坐标列式或定比分点公式求解，过程完整，坐标运算无错； 良好：解题思路正确，仅出现少量计算粗心失误； 待改进：分不清定比分点的比值，混淆向量方向，坐标相减顺序颠倒. 核心素养：数学运算、直观想象、逻辑推理 5 向量数量投影与投影填空题 已知两个平面向量，求一个向量在另一个向量上的数量投影与投影. B 辨析数量投影（实数）与投影（向量）；掌握数量积坐标运算、投影相关公式，突破概念混淆的高频易错点. 答案： 评价要点： 优秀：概念区分清晰，公式选用、计算全对； 良好：概念基本掌握，少量计算错误； 待改进：混淆两个投影公式，概念不清. 核心素养：数学运算、直观想象 6 向量坐标运算及平行垂直解答题 已知两个平面向量坐标，求两个向量垂直与平行时参数k的值. B 巩固向量线性坐标运算；区分向量垂直、平行的坐标判定条件，落实方程思想，训练基础运算. 答案： (1)； (2) 评价要点： 优秀：平行、垂直公式选用准确，列式计算全对； 良好：公式掌握，少量计算失误； 待改进：混淆平行与垂直判定条件，列式错误. 核心素养：数学运算、逻辑推理 7 向量数量积的应用填空题 在矩形背景下，求两个向量的数量积. B 掌握几何背景下向量数量积求解的常见方法，融合几何直观与代数运算. 答案： 评价要点： 优秀：能建系求出F点坐标，数量积计算无误； 良好：建系正确，存在少量计算失误； 待改进：不会建立坐标系，找不到F点坐标. 核心素养：直观想象、数学运算 8 平面向量数量积与夹角的坐标表示解答题 向量的夹角为钝角等价转化为数量积为负且排除两个向量反向. B 掌握向量钝角的双重判定条件，训练数量积运算，规避忽略反向共线的易错点. 答案： 评价要点： 优秀：同时满足两个条件； 良好：只求出不等式范围； 待改进：数量积展开出错. 核心素养：数学运算、逻辑推理 9 平面向量应用证明题 用向量方法证明不等式. B 掌握向量的模长不等式（柯西不等式向量形式），学会构造向量来证明代数不等式. 答案：证明略 优秀：证明逻辑完整，面积计算无误； 良好：证明步骤略有疏漏； 待改进：不会推导或套用公式. 核心素养：逻辑推理、数学运算 10 平面向量应用解答题 证明三角形面积的向量与坐标公式，用以上的结论求三点构成的三角形面积. C 通过该实例，揭示了向量作为解决各种问题的工具，解决平面几何、三角等领域的问题，让学生充分体会方程思想和数形结合思想. 答案：（1）-（2）证明略；（3）1 评价要点： 优秀：能正确构造向量并完成证明； 良好：向量构造正确但等号分析疏漏； 待改进：不会构造向量. 核心素养：逻辑推理、数学运算 11 向量与二次函数最值综合解答题 已知向量坐标， 为直线 上动点，求取最小值时的坐标. C 掌握共线向量设参方法，把向量数量积问题转化为二次函数求最值，体会向量与函数的综合. 答案： 评价要点： 优秀：共线设参正确，数量积与二次函数计算无误； 良好：设参正确但计算出错； 待改进：不会利用共线条件设点. 核心素养：数学运算、逻辑推理 12 向量数量积几何意义与平面几何综合解答题 边长为 4 的正八边形 ，为内部（含边界）动点，求的取值范围. C 运用向量数量积的投影定义，结合正八边形几何特征，求解动点向量数量积的范围. 答案： 评价要点： 优秀：能借助投影找到最值点，计算准确； 良好：理解投影但最值点判断失误； 待改进：不会使用数量积的投影定义 核心素养：直观想象、数学运算 13 向量数量积与圆的动点最值综合解答题 △ABC 三边已知，圆 A 半径为 3，PQ 为圆 A 直径，求的最大值和最小值. C 掌握向量拆分变形的技巧，结合圆的性质求解动点向量数量积的最值. 答案：最大值；最小值 评价要点： 优秀：向量拆分合理，最值计算准确； 良好：会拆分但计算失误； 待改进：不会拆分向量. 核心素养：数学运算、逻辑推理 14 平面向量基本定理与外心、平面区域面积综合填空题 已知边长、，为外心, ，求集合Ω对应图形面积. C 理解平面向量基本定理几何含义，结合外心性质求解向量线性区域面积. 答案：​​ 评价要点： 优秀：识别平行四边形，运算准确； 良好：图形判断正确，计算失误； 待改进：无法理解向量表达式对应的平面图形. 核心素养：直观想象、数学运算 15 定义斜坐标系与平面向量探究解答题 给出斜坐标系定义，(1) 求两点距离；(2) 求定比分点坐标 C 通过新定义情境，类比直角坐标系，运用向量线性运算、模长公式完成探究，提升知识迁移能力。 答案：(1) (2) 评价要点： 优秀：读懂新定义，向量建模与推导准确； 良好：理解定义，但向量运算存在失误； 待改进：无法将斜坐标转化为向量模型. 核心素养：数学抽象、逻辑推理 16 反思 写出本次作业中你发现的 12 个平面向量易错点. D 落实目标评价证据，采集学生对向量学习应用的感悟. 无标准答案 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 向量概念辨析准确，基础题型正确率高，无原则概念错误 少量计算失误，无概念混淆 向量概念混淆，基础运算错误较多 35% 能力运用 合理选用向量方法，步骤完整规范，几何与向量模型转化合理 方法正确，少量步骤疏漏、计算错误 向量模型构建偏差，关键步骤缺失 35% 思维发展 几何条件与向量语言互化严谨，充分体现数形结合 基础转化推理通顺，思考深度一般 几何、向量互相转化存在障碍，推导逻辑混乱 25% 情感态度 书写规范，完成反思，能主动觉察知识漏洞 态度端正，完成作业与反思 作业完成度不足，反思空白 5% 批改汇总： 超过半数题目达到优秀，整体作业等级 A； 多数题目良好，少量待改进，整体等级 B； 多道必做基础题为待改进，整体等级 C. 作业讲评建议: 高频错题重点讲评：第 5 题投影概念、第 8 题钝角忽略反向共线、第 13 题向量拆分； 选做题 1115 不全部细讲，选取 12 道作为拓展示范； 收集学生反思栏的易错点，课堂共同整理向量错题清单. 6、 试题详情 高三一轮复习：平面向量专题复习课后作业 【基础训练】（必做题，完成时间：40分钟） 1．已知、为两个单位向量，下列结论中正确的是（ ） A．； B．如果，那么； C．； D．如果，那么或． 2.已知正方形的边长为1，那么 ． 3.如图，点、、在同一条直线上，点不在该直线上，且. 设，，，则= （试用向量、表示）. 答案： 4.已知点，，若点满足，则点的坐标为 ． 5.若向量，，则在方向上的数量投影为________，投影的坐标为________． 6.已知向量，，，． （1）若向量与垂直，求的值； （2）当为何值时，向量与平行． 7.在矩形中，，，点为边的中点，点在边上，若，则________． 8.已知两个向量满足，，，且向量与向量的夹角为钝角. 求实数的取值范围. 9. 已知、均为正数，且. 求证：. 10.在△中，设，，记△的面积为. （1）求证：； （2）设，，求证：； （3）已知坐标平面上三个点与，利用（2）的结论求△的面积. 【能力提升】（选做题，完成时间：20分钟） 11.已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，求向量的坐标. 12.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为，是正八边形内的动点（含边界），求的取值范围．    13.如图，在△中，，，，圆的半径为3，是圆的一条直径，求的最大值和最小值． 14.在△中，，，，是△的外心，集合，则中所有的点构成图形的面积为________． 15.平面直角坐标系是由有公共原点且互相垂直的两条数轴组成.当把这两条数轴变化为不垂直且不重合时，称这时所形成的坐标系为“斜坐标系”.在斜坐标系中，称这两条数轴的公共点为斜坐标系的坐标原点，其坐标记为，在轴上的点的纵坐标为，在轴上的点到横坐标为.在斜坐标系中，如果轴与轴的夹角为，给定平面内任意一点，由分别作轴、轴的平行线，分别交轴、轴于点，将点在轴、轴上的坐标称为点在该斜坐标系中的坐标，记为. 设是斜坐标系中的任意两点，请探究下列问题： （1） 两点间的距离； （2） 设点分有向线段所成的定比为，求分点的坐标. 【作业反思】（必做题） 找找向量的那些 “陷阱”，写出本次作业中你发现的 12 个平面向量易错点：_______ 7、 答案与解析 1．已知、为两个单位向量，下列结论中正确的是（ ） A．； B．如果，那么； C．； D．如果，那么或． 【答案】 D 【解析】 因为、为两个单位向量，即，但、的方向不确定，故A不正确； 我们将、的起点置于单位圆的圆心，则它们的终点可以在单位圆上的任意位置，所以与不一定相等，也不一定平行，故B、C均不正确； 若单位向量与平行，则它们的方向相同或相反，所以或，故D正确． 答案： D 2.已知正方形的边长为1，那么 ． 【答案】 2． 【解析】 根据向量加法和减法的三角形法则， 可得， 故． 3.如图，点、、在同一条直线上，点不在该直线上，且. 设，，，则= （试用向量、表示）. 【答案】 ． 【解析】 与是两个不平行的向量，根据平面向量基本定理可以用的线性组合来表示. 由，及，得，所以. 4.已知点，，若点满足，则点的坐标为________． 【答案】 ． 【解析】 法一：设点的坐标为，则的坐标为，的坐标为，代入，得,即可求出点的坐标为． 法二：设点的坐标为， 由得， 由定比分点坐标公式知，，所以点的坐标为． 5.若向量，，则在方向上的数量投影为 ，投影的坐标为 ． 【答案】 ； 【解析】 在方向上的数量投影为， 在方向上的投影为． 6.已知向量，，，． （1）若向量与垂直，求的值； （2）当为何值时，向量与平行． 【答案】 (1)； (2) 【解析】 （1）由已知可得，因为，所以，即 ，解得． （2），因为与平行，所以，解得． 7.在矩形中，，，点为边的中点，点在边上，若，则________． 【答案】 【解析】 法1：(坐标法)如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，设点坐标为，则，所以，解得，所以． 法2：（基底法转化）如图，设，，则，从而有，解得． 所以． 8.已知两个向量满足，，，且向量与向量的夹角为钝角. 求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 由题意，，且与不共线. ，即，其中，代入化简，得，解得. 当向量与向量反向时，设，得. 因此，的取值范围是. 9. 已知、均为正数，且. 求证：. 【答案】证明略 【解析】 构造向量，， 则由及， 可知，即6， 所以，从而有. 10.在△中，设，，记△的面积为. （1）求证：； （2）设，，求证：； （3）已知坐标平面上三个点与，利用（2）的结论求△的面积. 【答案】（1）（2）证明略；（3）1 【解析】 （1）证明 如图，设.由面积公式知， ，. 所以. （2）证明 因为 . 所以，. （3）由，， 得 【能力提升】 11.已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，求向量的坐标. 【答案】 【解析】 由为直线上的一个动点，得与平行，设()，故. 于是，，. 当时，取得最小值，此时，向量的坐标为. 12.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为，是正八边形内的动点（含边界），求的取值范围．    【答案】 【解析】 如图，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，，设，则，，从而有，因为是正八边形内的动点（含边界），所以的范围为，故的取值范围是． 13.如图，在△中，，，，圆的半径为3，是圆的一条直径，求的最大值和最小值． 【答案】取到最大值；取到最小值． 【解析】 ． 在△中，由余弦定理，得，于是． 设向量与的夹角为，，于是． ． 故当时，取到最大值；当时，取到最小值． 14.在△中，，，，是△的外心，集合，则中所有的点构成图形的面积为________． 【答案】 【解析】 如图，由，、，可知集合中所有点构成图形为以、为邻边的菱形及其内部． 在△中，由余弦定理，得，又，故该三角形的外接圆半径． 又，于是菱形的面积，即集合中所有点构成图形的面积为． 15.平面直角坐标系是由有公共原点且互相垂直的两条数轴组成.当把这两条数轴变化为不垂直且不重合时，称这时所形成的坐标系为“斜坐标系”.在斜坐标系中，称这两条数轴的公共点为斜坐标系的坐标原点，其坐标记为，在轴上的点的纵坐标为，在轴上的点到横坐标为.在斜坐标系中，如果轴与轴的夹角为，给定平面内任意一点，由分别作轴、轴的平行线，分别交轴、轴于点，将点在轴、轴上的坐标称为点在该斜坐标系中的坐标，记为. 设是斜坐标系中的任意两点，请探究下列问题： （1）两点间的距离； （2）设点分有向线段所成的定比为，求分点的坐标. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)设轴方向的单位向量为，轴方向的单位向量为， 则，， 所以， 根据向量的数量积，得 所以. (2)由题意，得 所以分点的坐标为. 【作业反思】 找找向量的那些 “陷阱”，写出本次作业中你发现的 12 个平面向量易错点：_______ 【解析】无固定答案，落实目标评价证据，采集学生对向量学习应用的感悟. 学科网（北京）股份有限公司 $