上海市第四中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

高二数学2026.10.15 (满分120分 考试时间90分钟) 一、填空题（每题4分，满分48分） 1.复数1+i的虚部为 2.角日的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上有一点(3,4)，则si血（π+）= 3.已知三角形ABC的角AB,C对应边长分别为a=4,b=5,c=6,则A=一 4.已知向量问=2，同=4，a,5的夹角为经，则a-- 5,在长方体ABCD-AB1C1D1中，AB=3,BC=2,AA1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值 为 6.已知某圆锥的高为8，体积为96π，则该圆锥的侧面积为 B 7.用斜二测画法画出水平放置的平面图形△OAB的直观图如图所示， 已知0'D=D'A=D'B'=A'B'=2,则△OAB的面积为 D 8.已知二面角a-l-P,若直线a⊥a,直线b⊥P,且直线a,b所成角的大小为60°，则二面角a-1-B 的大小为 9.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是 ①直线AF与直线DE相交， ②直线CN与直线DE平行 ③直线BM与直线DE是异面直线： ④直线CN与直线BM成60°角。 10.已知圆锥的底面半径为√万，母线长为2，过该圆锥的项点作圆锥的截面，则截面面积的最大值 为 11.在边长为2的正方体ABCD-ABGD中，M为AA的中点，过B、M、C作正方体的截面a,则 截面面积为 12.学生到工厂参加劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCD-AB,CD挖去 四棱锥O-EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点， AB=BC=6cm,A4=4cm.3D打印所用原料的密度为0.9g/cm',不考虑打印损耗，制作该模型所需 原料的质量为 g 二、选择题（每题4分，满分16分） 13.“k<3“是"向量a=(k,1)与向量6=(2.6)的夹角为钝角"的（ A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 14.设矩形边长分别为a、b(a>b),分别以a、b两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为V,和V, 则V,与V,的大小关系是() A.Va>iB.Va=C.Va<D.Va、i的大小不确定 15,M,N分别为菱形ABCD的边BC,CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC 内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行：②异面直线AC与MN 恒垂直.以下判断正确的是（) A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题 C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题 D N M、 16.如图，三棱锥P-ABC的高P0=8,AC=BC=3,∠ACB=30°，M、N分别在BC、 P0上，且CM=x,PN=2x,0<x≤3，则三棱锥N-AMC的体积V与x之间的函数关系是（) 三、解答题（本大题共有5题，满分56分） 17.(本题满分8分，其中第1小题4分，第2小题4分.) 如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠PMB=号 (1)求侧棱PA与底面ABCD所成角的大小： (2)求二面角P-AB-C的大小. D A 18.(本题满分10分.其中第1小题5分，第2小题5分.) 平面向量元=(2sinx,cos2x),元=(cosx,-2V③)，函数y=f(x)=而·+V3. 国若xe0,引 求y=∫(x)的值域： (2)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f(C)=2,a=2,c=2V3,求△ABC的面积. 19.(本题满分10分.其中第1小题5分，第2小题5分.) 如图，四边形ABCD为长方形，PA⊥平面ABCD,AB=AP=2,AD=3. (1)若E,F分别是PB,CD的中点，求证：EFII平面PAD: (2)边BC上是否存在点G,使得直线PG与平面PAD所成的角的大小 为30°？若存在，求BG长：若不存在，说明理由， 20.(本题满分14分.其中第1小题7分，第2小题7分.) 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1），假设我们把亭子看成油一个圆维 P-0,与一个圆柱00，构成的几何体0（如图2）.一般地，设圆锥P-0,中母线与底面所成角的大小为4，当20°<1<35时，方能满足建筑要 求已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米 E 图1 图2 (①a=30°，求几何体0的体积： (2如图2，若圆锥底面半径为2,5米，设E为圆柱底面半圆弧CD的一个点，求圆柱母线EF和圆锥母线P8所在异面直线所成角的正切值，并判 断该亭子是否满足建筑要求， 21.(本题满分14分.其中第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分.) 已知四面体ABCD的6条棱中，有n条棱长为a,有6-n条棱长为1. (1)若n=0,证明：AB1CD: (2)若n=1,AB=a(0<a<3,求二面角A-CD-B的大小（用含a的式子表示）： (3)若n=2,求a的取值范围.