河南省新乡市高三数学上学期分层作业设计（函数的倒负性-双曲函数）

函数的倒负性——双曲余弦函数与双曲正弦函数 1、 作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 《函数的倒负性——双曲余弦函数与双曲正弦函数》课后分层作业设计 学段学科 高中数学 适用年级 高三 教材版本 人教A版（2026年版） 对应内容 必修第一册第四章 指数函数与对数函数 P160综合运用第6题拓展 作业类型 课后作业（分层巩固+高考链接+探究拓展） 完成时长 A层约20分钟+B层约25分钟+C层约25分钟，总时长70分钟 设计者 【牛继东】 2、 设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应的学科核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象，需达成"能理解双曲正弦函数和双曲余弦函数的定义，掌握其奇偶性、单调性等基本性质，能类比三角函数公式推导双曲函数和角公式与倍角公式，并能运用倒负函数的思想解决综合性问题"的学业质量标准。 教材地位：双曲正弦函数和双曲余弦函数是人教A版必修第一册P160综合运用第6题引入的重要函数模型。虽然它们在高中课本中仅作为拓展内容出现，但在数学的更深入领域（如微分方程、悬链线问题、相对论等）中有着广泛应用。这两个函数与指数函数紧密相关，是连接指数函数与三角函数的桥梁，其核心恒等式cos-in=与三角恒等式co+i=形式类似，也是高考命题中函数性质考查的重要素材。此外，必修第一册P100复习参考题3中所考查的函数性质，正是"倒负函数"概念的教材原型。 教学重难点：重点为掌握双曲正弦函数sin()和双曲余弦函数cos()的定义、奇偶性、单调性及基本恒等式cos-in=；难点为灵活运用倒负函数的性质解决综合性问题，以及类比三角函数公式推导双曲函数的和角公式等深层性质，并在含参问题中进行合理的分类讨论。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已系统学习指数函数和对数函数的概念与运算性质，掌握函数奇偶性和单调性的定义与判断方法；在必修第一册的学习中已熟悉指数函数y=eˣ的图象与性质，具备基本的代数运算和推理能力。 现有困惑 对双曲函数的定义和性质缺乏系统认识；不熟悉"倒负函数"这一新定义概念；对类比推理方法（类比三角函数推导双曲函数公式）不够熟练；对含参函数的综合分析能力和分类讨论能力有待提高。 差异分析 班级学生分层明显：基础层能完成简单的函数奇偶性判断和指数运算，但综合应用能力薄弱；中等层能处理常规的函数性质问题，但面对新定义函数和高考综合题时容易出错；提升层具备较强的运算和推理能力，但在创新探究和严格证明方面仍需加强。 设计意图 本作业以人教A版必修第一册P160第6题为拓展起点，围绕双曲正弦函数和双曲余弦函数的基本性质以及"倒负函数"概念（即满足f(1/x)=-f(x)的函数），设置"基础达标—能力提升—创新探究"三级分层习题。A层以课本基础习题为主（必修第一册P160第6题、P100复习参考题3等），夯实指数函数与双曲函数的基本功；B层精选2024—2026年新课标一卷高考真题及模拟题改编，对接高考命题趋势，提升综合解题能力；C层设置探究性问题（含原创题），引导学生深入理解倒负函数的深层性质和双曲函数的公式推导，培养数学思维品质。三层递进，兼顾不同层次学生的学习需求，全面落实数学核心素养。 3、 作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 掌握双曲正弦函数sinh(x)和双曲余弦函数cosh(x)的定义，能用定义判断其奇偶性，理解倒负函数的概念。 数学抽象、逻辑推理 正确率、概念复述与证明规范性 能力运用 B 能运用双曲函数的单调性、恒等式及倒负函数性质解决综合性问题，准确进行含参分类讨论。 逻辑推理、数学运算 高考真题和综合题的解题完整性、方法合理性 思维发展 C 能类比三角函数公式推导双曲函数的和角公式与倍角公式，具备独立分析和论证的能力。 数学抽象、直观想象 论证思路、证明过程的严谨性 情感态度 D 体会双曲函数丰富的数学内涵与指数函数的内在联系，养成解题后反思总结的良好习惯，增强数学探究兴趣。 数学建模 拓展题完成度、反思记录 4、 作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 解答题 双曲函数基本性质证明（奇偶性与恒等式） A 巩固双曲函数基本性质的证明能力 证明见解析 2 解答题 倒负函数概念验证（课本改编） A 训练倒负函数概念的识别与证明方法 证明见解析 3 解答题 指数型函数的奇偶性与单调性 A 训练利用定义判断函数奇偶性与单调性的基本方法 证明见解析 4 选择题 函数周期性+奇偶性综合（高考真题改编） B 对接高考，综合考查函数周期性与奇偶性 答案：C 5 选择题 指对互化比较大小（高考真题改编） B 训练指对互化与比较大小的高频考点 答案：D 6 解答题 倒负函数综合应用（原创） B 综合运用倒负函数性质与基本不等式 答案见解析 7 解答题 倒负函数定义探究与零点问题（原创） C 深入探究倒负函数的深层性质，培养论证能力 答案见解析 5、 作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 A层全对，能准确说出双曲函数和倒负函数的核心性质，熟练运用定义进行证明。 少量计算错误，基本掌握双曲函数的主要性质和倒负函数分析方法。 较多基础错误，对双曲函数和倒负函数性质理解模糊，指数运算不熟练。 20% 能力运用 B层解题方法恰当，过程完整规范，分类讨论严谨，计算准确。 方法基本正确，能完成大部分综合题，偶尔遗漏讨论或计算失误。 不会分类讨论，综合分析能力不足，运算错误较多。 30% 思维发展 C层论证思路清晰，证明过程严谨，能灵活运用倒负函数和双曲函数深层结论。 能完成部分探究内容，论证基本合理，但严密性有待提高。 探究题完成度低，缺乏证明思路，逻辑不够清晰。 30% 情感态度 主动完成全部三层作业，书写规范严谨，有反思总结。 态度端正，完成A层和B层全部题目，书写较规范。 仅完成少量基础题，书写潦草，不愿挑战拓展问题。 20% 6、 试题详情 A 层 基础达标 1. （来源：人教A版必修第一册P160第6题）设函数()=(-)/，()=(+)/。 （1） 证明：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数； （2） 证明：()-()=； （3） 证明：f(2x)=2f(x)g(x)。 2. （来源：人教A版必修第一册P100复习参考题3改编）设函数()=+。 （1） 证明：h(-x)=h(x)； （2） 证明：()，并指出等号成立的条件。 3. （来源：人教A版必修第一册 指数函数性质拓展）已知函数()=-。 （1） 判断f(x)的奇偶性并证明； （2） 证明：()=+在(,+)上单调递增。 B 层 能力提升 4. （来源：2025年新课标一卷 改编）已知函数()是定义在R上的奇函数，且(+)=-()。当[,/]时，()=-，则(02)的值为（ ） A. e-1 B. 1-e C.-1 C. 1 5. （来源：2024年新课标一卷第8题改编）已知=n2，=/n2，=，则a、b、c的大小关系为（ ） A. a > b > c B. b > a > c C. a > c > b D. b > c > a 6. （原创题）已知函数f(x)=lnx+x-1/x。 （1） 证明：f(x)满足f(x)+f(1/x)=0； （2） 若()+()=（m>0，n>0），求2+的最小值。 C 层 创新探究 7.（原创题）定义：若函数f(x)满足f(1/x)=-f(x)对定义域内所有x成立，则称f(x)为"倒负函数"。 （1） 判断函数()=-/和()=(-)/(+)是否为倒负函数，并说明理由； （2） 若()是定义在(,+)上的倒负函数，且在(,+)上单调递增，()+()=（m>0，n>0），求+n的最小值； 7、 答案与解析 A 层 基础达标 1. 答案： （1） 证明：(-)=(-)/=-(-)/=-()，故()为奇函数。 (-)=(+)/=(+)/=()，故()为偶函数。 （2） 证明：-= [(++)-(-+)]/= /= 1。 （3） 证明：2()() = [(-)/][(+)/] = (-)(+)/= (-)/= ()。 2. 答案： （1） 证明：(-)=+⁽⁾=+=+=()，故()为偶函数。 （2） 证明：由均值不等式（A-M不等式），对任意正实数和： 等号成立当且仅当=，即=。 故()，等号在=时成立。 3. 答案： （1） f(x)为奇函数。 证明：(-)=-=-(-)=-()，故()为奇函数。 （2） 证明：g'()=-。当x>0时，>=，<=，故g'()=->0。 因此()在(,+)上单调递增。 B 层 能力提升 4. 答案：C 【解析】 由f(x+3)=-f(x)，得f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x)，故f(x)的周期为6。 202=37余4，故(02)=()。 f(4)=f(1+3)=-f(1)（利用f(x+3)=-f(x)）。 当[,/]时，()=-，故()=-=。 因此f(4)=-f(1)=-1，故f(2026)=-1。选C。 5. 答案：D 6. 【详解】 证明 已知函数定义为： 将自变量替换为，代入函数表达式可得： 将两式相加验证： 原式得证。 故f(x)为倒负函数。 （1）由 及 f 为倒负函数，得 。 又 （$x>0$），故 $f$ 在 上严格单调递增， 因此由 可得 。 代入得 。 由均值不等式：。 等号成立条件：，即 ，解得 。 此时 。 所求最小值为 。 创新探究 7. 【详解】 判断是否为倒负函数： 对 ： 故 $f(x)$ 为倒负函数。 对 ： 故g(x)为倒负函数。 （1）求m+2n的最小值 由()+()=及f为倒负函数，()=-()=(/)。 又f在(,+)上单调递增，故=/，即m=。 令()=/+n（n>0），h'()=-/+。 令h'()=，得=，=。 h ''()=/>0，故=是极小值点（也是最小值点）。 i (1)=1+2=3。 j +2n的最小值为3，此时m=1，n=1。 验证：()=-/=，()=()=，()+()=✓。 学科网（北京）股份有限公司 $