甘肃兰州市第五十一中学2027届高三上学期10月阶段性测试数学试卷

兰州市第五十一中学2027届高三10月阶段性测试答案 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1 2 3 5 个 8 9 10 11 D B D D BCD ABD BCD 1.解：由题集合A={xx23}=[-V3,V3],集合B={yy=2,x1}=(0,2], 所以A∩B=(0,V3].故选：D. 2,解：z中0D1+i,的虚部为1.故选：A 1 +1 3解：由tanl-o)=),得tam0=-7,所以sm。+cos日-tan0+1 2 1 sin0-cos0 tan-1 1 13 2 故选：B. 4.解：若m⊥n,a⊥B,L,则n//B或ncB或n与B相交，故A错误；若m//n,1/B, m/1a,则n/1B或ncB,故B错误： 若a⊥B,在B内作1⊥，则1⊥a,又m⊥a,m/1l, 又n⊥B,n⊥l,得m⊥n,故C正确；若a/1B,n/B,m/1a, 则m//n或m与n相交或m与n异面，故D错误.故选：C. 5.解：根据题意，ln3>nl=0,又由f(x)是定义在R上的奇函数， 所以fm3)=-fm3=-e- 3故选：D 6.解：5个人随机排成一排的总排列数为￡=120种，利用插空法，先排丙、丁、戊三人，有A 种排法，再在形成的4个空中选择2个空排列甲、乙，有A种排法，所以甲、乙不相邻的排法 有44=72种，所以甲乙不相邻的概率为P=23.故选：A. 1205 7解：根据9simB=4sA,由正弦定理得9b=4d,即B=a,可得b=20 3 根据cosC-}由余弦定理得a+6-c_+(受- 3 1 4 2ab 4，化简得c2-l 9，所以 2ax- 分-号维合a0且c>0,可狗台号故选：D, 8.解：直线1为圆x2+y2=4在(-1√3)处的切线，设切线斜率为k,由圆的性质可知： hxV3 -1 -1,解得：=3 3可得切线方程：v-3二3x+)，直线1经过椭圆 x2,y2 =1(a>b>0)的两个顶点，由x=0可得：y=45 令y=0,可得x=-4,由题意可知： 3 a=4,b=43 3 c=66-46,e-￡-6，故选：A 33 a 3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.解：因为正方形ABCD的是边长为2，E,F分别是边AB,BC的中点，则以B为坐标原点， AB,BE所在直线分别为x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(-2,0),B(0,0),D(-2,2),E(-1,0),F(0,1), y 对于A,因为FA=(-2,-1)AB=(2,0), 所以cos<FA,AB>=- FA.AB --425 1FA|AB|V5×25 ,故A错误： 对于B,AB.AF=AB.(-FA)=-AB.FA=-(-4)=4,故B正确： A B 对于c,因为4=1,04D=0,2,所以2证+AD=21.0+0,2)=(20=-丽=A,故C 正确； 对于D,因为DE=(1,-2),所以DE·AF=-2×1+(-1)×(-2)=0,即DE⊥AF,故D正确， 故选：BCD 10,解：双线c若 =10a>0的(-2a0),B2a.0,e=2=2,由lRRF22,可得4a=4, 解得a=1,故A正确，C错误：由双曲线的南近线方程y=士3x,可得0=子，故B、D正确，故 选：ABD 11.解：因为/)=2V5irx+sin2x+25=25.1-cos2x+m2xcos2L+cos2xsm2 3 2 3 =5-5cs2m2x+5o2=5-分2x+ cos2x) 2 -sin(2x+, 对于A选项，T=π，A错： 对于B选项，因为f孕)=V,故f)的图象关于点()对称，B对： 对于c选项，当0<x<时，<2x+打，则-5m2x+5s1,所以 2 3 33 2 3 f)-5-sm(2x+爱e[5-1,3 马，C对： 对于D选项，若f(x)的图象向右平移p(p>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，即函数 =5-sm2w叭+孕=5-sm2x+骨20)为偶函数，故20=+5c),解得 。合+空c,因为ps0,放当1时.0取最小渔沿D对撤选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.解：展开式的通项公式为：T4=Cg.(4y=CGd号，=0,1,2,6，令6-3，=3 221 解得r=3,由题意得C8a3=160,解得α=2.故答案为：2. 13.解：设圆锥的底面半径为R,母线长为1，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以π1=2πR2, 解得1=2R,设该圆锥的母线与底面所成角a,则cosα=7=2' R1 所以a=.故答案为： 14.解：因为f)=x-x+2nx在x=2时取极小值，所以f')=2x-m+2=0在x=2处成 立.即f(②=4-m+2=5-m=0,所以m=5.当m=5时，f9=x-5x+2nx 2 则/0-2x-x-习，当xe分2)时，f0<0,当xe2o)时，f6>0, 所以f)在x=2时取得极小值，故m=5.此时)=2x-5+2,因为>0，所以 2x+2≥22x×2-4,所以导函数的最小值为：4-5：-1. 2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.解：(1)因为PA⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,所以PAL BE, 连接EC,由AD⊥AB,BCI/AD,AD=2BC=2AB, 故四边形ABCE是正方形， 故BE⊥AC, 因为PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BE⊥平面PAC, 因为BEC平面PBE, 所以平面PBE⊥平面PAC: (2)如图所示：建立空间直角坐标系， 则P(0,0,1),B1,0,0),C11,0),D(0,2,0), 所以PD=(02,-1),CD=(-11,0),PB=1,0,-1), 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z）, 则有 n:CD=0,即+y=0, n.PD=0 2y2=0可取m=u,2, 设PB与平面PCD所成角为0，则sin0=nPB 1。 6 |n川PB√6.√26 16.解：(1)依题意，对任意的，n∈N,都有aH-a=a-a-1+2,又b.=a+1-a, 则对任意的n≥2，n∈N,b.-bn-1=2,所以数列{b}是公差为2的等差数列，又b=马-1， b=9-42,所以(9-4)-(@2-1)=2，解得a4=4,故b=42-1=3,所以bn=2n+1: ②证明：由0)可知，64，Qn+2+列 1 1 i以当ev,威a-以n习 1 1 故s63与1o”g 17.解：(1)当a=2时，f)=nx+20-9=1x+2-2,f0=1-2 f1)=11+2-2=0,f”(①)=1-2=-1，所以切线方程为y-0=-1×K-),即x+y-1=0. 1 ）'闭=-冬=-2，x>0,当a≤0时，x-a>0,则w>0,f网在(0，+0)上单调 递增，无极值，不符合题意。 当a>0时，令f()=0,即X-2=0,解得x=a.当0<x<a时，x-a<0,f(w)<0,f) 单调递减；当x>a时，x-a>0,f"(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)在x=a处取得极小值，f(x)概小值=f(网=ha+1-a, 因为f(x)的极小值不大于0，即ha+1-a≤0， 令8@=lna+1-a,a>0,对g@求导得g=1-1=1-0.令g'(@=0,解得a=1. 当0<a<1时，1-a>0,g(a回>0，g(a四单调递增；当a>1时，1-a<0,g(a@<0,8(a单 调递减，所以g(a在a=1处取得最大值g(1)=ln1+1-1=0,且当a→0或a→+0时，g(a)→-0， 因此对于a>0,均有lna+1-a≤0，所以a>0,即实数a的取值范围是(0，+o). 18.解：(1)因为评分为[90,95)的节目的频率为1-(0.01+0.04+0.07+0.04+0.01)×5=0.15， 所以评分在[90,95)的节目频数为40×0.15=6； (2)()因为评分在[90,95)的节目的频数为6，所以f(p)=Cp1-p)4=15p(1-p)4, 所以f'(p)=15[2p1-p)4-4pQ-p)3]=30p0-p)1-3p),0<p<1, 所以当0<p<号时，fp)>0,fp)单调递增：当}<p<1时，f"p)<0,f)单调递减， 所以当p}时，fo取得极大值，所以0)的极大值点为%背： ()设获得一等奖的节目数为随机变量X,总奖金为Y, 易知X~B(6,,所以E()=6×=2, 3 设二等奖奖金为a元，则Y=500X+a(6-X)=6a+(500-aX, 所以E()=6a+(500-a)E(X)=1000+4a≤1400，解得a≤100， 所以二等奖奖金的最大值为100元. 19.解：(1)因为点C(4,0)满足CF仁3引OF1,所以4-=3×2，解得p=2, 2 2 则抛物线E的方程为y2=4x,准线方程为x=-1: (2)证明：设直线AB的方程为x=y+10≠0)，A(:,),B(x2,2), 联立+1，消去x并整理得少-4-4=0，由韦达定理得=4，所以x y2=4x =1, 16 由抛物线定义得|AF=X+1,|BF=x2+1, 所以1 11+1,+出+2，++21，得证： AFBFx1+1'x2+1xx2+X1+x2+1x1+x2+2 ®920>，此时=子代入物线方程用5不，名}·即40,2》.哈，弓， 因为AB⊥AM,且直线AB的斜率k=乃-业=24 2t,0y-2) 所以直线-f 即x=-21v+t+3 1- +下1，令=0，解得w=+Y t-1 由s23,c40, [.2tt4+32 可得直线BC:x=-L X=一 -V+ 21y+4,联立 -t2-1 P-1,解得yx= 2t(t4-t2+4) 42-1 44-t2+1 x= y+4 2t 所以-s,8=2CFy+y-401 632y-21+-0r-f士03xP+3-+的 1 t2t2-1 4t4-t2+1 4t4-t2+14x2-x+1 设f)=-+4 4r2-x+1,x>1, 可得f)=2-+42x-14x-x+)-x2-x+4928-》 (4x2-x+1) =x2-x+4[2(2x-142-x+)-(x2-x+4)8x-1】-(x-2x2-x+48x2+13x-) (4x2-x+1)2 (4x2-x+1)2 当x>1时，y=x2-x+4>0,y=8x2+13x-1>0 所以当x∈A,2)时，f"(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(2，+w)时，f"(x)>0,f(x)单调递增. 所以当无=2时，（区-$取到最小值9，此时422. 41兰州市第五十一中学2027届高三10月阶段性测试试卷 数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知集合A={xx2<3},B={y川y=2,x≤1)，则A∩B=() A.[-V3,2] B.[-5V3] C.(0,2] D.(0W3] 2.己知复数z= ,则z的虚部为了 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.己知tan(m-0)=1 ,则in6+cos日 =( 2 sin-cos A.-3 B.-1 D.3 3 4.已知α，B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，以下判断正确的是() A.若m⊥n,a⊥B,⊥a,则n⊥B B.若m/n,a/1B,/1,则n//B C.若m⊥，n⊥B,a⊥B,则m⊥n D.若a/IB,n//B,m/1a,则/ln 5.己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e,那么fn3)的值为() A.3 1 B.-3 C.3 D.-3 1 6.若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为() C.10 D.13 20 则 7.已知△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a,b,c,若9sim2B=4simA,cosC=- c=() a A.32 B.5 C.2v3 D.4 4 3 8已知直线1为圆+广4在(1处的切线，名直线！经过痛网号+若-a>b~0的 两个顶点，则该椭圆的离心率为() A. 6 3 B 2 C. 3 D. 2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.如图，正方形ABCD的是边长为2，E,F分别是边AB,BC的中点，则() A.cos(FA,AB》= 2W5 B.AB.AF=4 5 C.AF=24亚+1AD D.DE⊥AF 10.双曲线Cy a23a2 =1(a>0)的左、右焦点分别为E、E,且C的两条渐近线的夹角为6，若 |乃=2e(e为C的离心率)，则( ) A.a=1 B.0= c.e=√2 D.C的一条渐近线的斜率为√5 3 11.己知函数f(x)=2W3sin2x+sin(2x+ ),则下列说法正确的是（一） A.f(x)的最小正周期为2π B.f)的图象关于点匹)对称 c,四在区间@孕上的信城为5-15， D.f()的图象向右平移p>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，则的最小值为 12 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若c+a)°的展开式中x2的系数为160，则a= 13.若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的大小等于 14.己知函数f(w)=x2-x+2lnx在x=2时取极小值，则其导函数f(x)的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.I3分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,BC/AD, AD=2BC=2AB=2PA=2,E为AD的中点. (1)证明：平面PBE⊥平面PAC (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值. E A 16.(15分)已知数列{a}中a=1,4=9,且对任意的心2，n∈N,都有a1+a-1=2(a+1)· (1)设b=aH-a,求数列{}的通项公式： 2)求数列(1}的前n项和为S D.D 17.(15分)已知函数f)=lmx+a1-) (1)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)若函数f(x)有极小值，且极小值不大于0，求实数a的取值范围. 18.(17分)为庆祝“十一”国庆节，某校举办“十一”文艺汇演 ◆频率 组距 活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组： 0.07 第一组[70,75)，第二组[75,80)，第三组[80,85)，第四组[85 0.04-.. 90),第五组[0,95)，第六组[95,100]，得到如下频率分布直 方图： 0.01- 707580859095100分数 (1)估计评分在区间[90,95)的节目频数： (2)若评分结束后只对所有评分在区间[90,95)的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和 二等奖)，其中每个节目获评为一等奖的概率为p(0<p<1),获评为二等奖的概率为1-p,每个节 目的评奖结果相互独立 (①)设参评节目中恰有2个一等奖的概率为f(p),求f(p)的极大值点P: ()以（①中P,作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要 使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值. 19.(17分)已知F为抛物线E:y=2x(p>0)的焦点，点C(4,0)满足|CF=31OF|,其中O为坐 标原点，过F的直线交E于A,B两点，点A在第一象限，过点A作直线AB的垂线，交x轴正半 轴于点M,直线BC交直线AM于点N.记△ACF,△BCF,△CN的面积分别为S,,S,,S?, (1)求E的准线方程； (2)证明： 1 1 lAFBF-1: (3)求(S-S)S的最小值及此时点A的坐标.