第二单元角的度量（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

第二单元 角的度量（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、 线的认识：线段、射线与直线 这是学习角的基础，需明确三者的联系与区别。 1. 特征对比表 名称 端点数量 延伸情况 能否测量长度 图示特征 线段 2个 不延伸 能 —— (有限长) 射线 1个 向一端无限延伸 不能 —> (无限长) 直线 0个 向两端无限延伸 不能 <-> (无限长) 2. 关键性质 · 两点之间，线段最短：连接两点的线中，线段长度最短，这条线段的长度叫做这两点间的距离。 · 过一点可以画无数条直线；过两点只能画一条直线（两点确定一条直线）。 二、 角的初步认识 1. 定义 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 2. 符号表示 · 角通常用符号 “ ” 表示。 · 记作： ，读作：角1。 · 注意：角的符号 小于号 不同，书写时注意区分。 3. 角的大小 · 角的大小与两条边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大。 · 角的大小与两条边的长短无关（因为边是射线，无限长）。 三、 角的度量（核心技能） 1. 计量单位 · 将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作 。 2. 量角器结构 · 中心点：量角器半圆圆心的点。 · 0刻度线：通过中心点的直线。 · 内圈刻度 & 外圈刻度：分别从左右两侧的0开始，逆时针或顺时针增加到180。 3. 量角步骤（口诀：点对点，线对边，再看另一边） 1. 重合中心：量角器的中心点与角的顶点重合。 2. 重合零线：量角器的0刻度线与角的一条边重合。 3. 读取度数：看角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 · 判断读内圈还是外圈：看0刻度线在哪一圈，就读哪一圈的数。 四、 角的分类 根据度数大小，角分为以下五类（按从小到大排序）： 名称 度数范围 特征描述 锐角 比直角小 直角 等于90度 钝角 比直角大，比平角小 平角 两条边在一条直线上，有1个顶点 周角 一条边绕顶点旋转一周，两条边重合 关系公式： 五、 画指定度数的角 工具：量角器、直尺、铅笔。 步骤： 1. 画射线：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合。 2. 找点：在量角器上找到指定度数的刻度线，点一个点。 3. 连线：以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 4. 标度：标出角的符号和度数。 六、 高频易错点与陷阱 1. 量角时读错圈 · ❌ 错误：不管0刻度线在哪，习惯性地读内圈或外圈。 · ✅ 正确：0在内读内，0在外读外。如果不确定，先看角是锐角还是钝角进行估算验证。 2. 混淆平角与直线 · ❌ 错误：认为平角就是一条直线。 · ✅ 正确：平角有顶点和两条边（虽然在同一直线上），而直线没有顶点。 3. 混淆周角与射线 · ❌ 错误：认为周角就是一条射线。 · ✅ 正确：周角的两条边重合，但它经历了旋转过程，有顶点和两条边。 4. 画角忘记标度数 · ❌ 错误：画完角后不写度数。 · ✅ 正确：养成习惯，画完必标 和具体数值。 5. 三角尺拼角规律 · 一副三角尺有两个： · 等腰直角三角尺： · 细长直角三角尺： · 可以拼出的角： , , , , , 等。 · 注意：无法直接用一副三角尺拼出 等非15倍数的角。 提升练习 一、填空题 1．角的计量单位是( )，用符号( )表示。把( )平均分成180份，每一份所对的角就是( )度的角，记作( )。 2．如图，∠1＝60°，∠3＝28°，则∠2＝( )°，是一个( )角。 3．两个大于45°的锐角相加，会得到一个( )角，一个钝角减去一个直角得到一个( )角。 4．下午4时整时，钟面上时针和分针形成的较小的角是( )。 5．一个钝角，加上32°就成为一个平角，这个角减去( )就成为一个直角，这个角是( )。 6．两个角的和是180°，其中一个角是钝角，另一个角是( )。 7．小明在用量角器量角时，错误地把内圈刻度当成外圈刻度，结果读取的度数为40°，正确的度数应该是( )。 8．18时整，钟面上的分针和时针所组成的角是( )角；3时整，钟面上的时针和分针所组成的角刚好是( )度。 二、选择题 9．两个锐角的和（    ）。 A．一定是钝角 B．可能是锐角 C．一定大于直角 D．一定是直角 10．用一副三角尺能拼出的角是（    ）。 A．85° B．105° C．130° D．100° 11．下面说法正确的是（    ）。 A．直线比射线长 B．乐乐用两个角拼成了一个平角，如果一个角是钝角，那么另一个角一定是锐角 C．角的边越长，角就越大 D．孙悟空的金箍棒能向两端不断伸长，这个不断伸长的金箍棒相当于一条射线 12．如图，沿着一条直线摆了一副三角板，想一想，∠1的度数是（    ）。 A．30° B．40° C．45° D．55° 13．下列说法正确的是（    ）。 A．角的大小与边的长短有关 B．直线比射线长 C．在2倍的放大镜下看30°的角还是30° D．过一点只能画一条直线 三、判断题 14．一个10°的角，两边长各增加10厘米，则这个角一定大于10°。( ) 15．钟面上12：30时针与分针所形成的角是平角。( ) 16．读量角器的刻度时，不管角的一条边对齐内圈0°还是外圈0°，都可以读内圈刻度。( ) 17．两个锐角可能拼成一个钝角。( ) 18．钟面上秒针旋转半周，得到的角是平角。( ) 四、计算题 19．如图，已知∠1＝110°，求∠2，∠3和∠4的度数。 五、解答题 20．一张长方形纸片折叠后如图所示，已知，，，那么和的度数分别是多少？ 21．如图，已知∠1的度数是∠2的2倍，求∠1、∠2的度数。 22．击剑运动是一项历史悠久的传统体育项目，奇思在看一场奥运会击剑比赛的时候，观察到运动员击剑时形成了如下的图形。如果，请你求出、和的度数。 23．文文用两根小棒摆成了一个40°的角，兰兰摆出的角比文文的2倍还大30°。兰兰摆的角是多少度？这是一个什么角？ 24．乐乐将一张半圆形纸片连续对折两次，然后展开（如图）。你能从图中找出哪些度数的角？最大的角与最小的角相差多少度？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 角的度量（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、 线的认识：线段、射线与直线 这是学习角的基础，需明确三者的联系与区别。 1. 特征对比表 名称 端点数量 延伸情况 能否测量长度 图示特征 线段 2个 不延伸 能 —— (有限长) 射线 1个 向一端无限延伸 不能 —> (无限长) 直线 0个 向两端无限延伸 不能 <-> (无限长) 2. 关键性质 · 两点之间，线段最短：连接两点的线中，线段长度最短，这条线段的长度叫做这两点间的距离。 · 过一点可以画无数条直线；过两点只能画一条直线（两点确定一条直线）。 二、 角的初步认识 1. 定义 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 2. 符号表示 · 角通常用符号 “ ” 表示。 · 记作： ，读作：角1。 · 注意：角的符号 小于号 不同，书写时注意区分。 3. 角的大小 · 角的大小与两条边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大。 · 角的大小与两条边的长短无关（因为边是射线，无限长）。 三、 角的度量（核心技能） 1. 计量单位 · 将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作 。 2. 量角器结构 · 中心点：量角器半圆圆心的点。 · 0刻度线：通过中心点的直线。 · 内圈刻度 & 外圈刻度：分别从左右两侧的0开始，逆时针或顺时针增加到180。 3. 量角步骤（口诀：点对点，线对边，再看另一边） 1. 重合中心：量角器的中心点与角的顶点重合。 2. 重合零线：量角器的0刻度线与角的一条边重合。 3. 读取度数：看角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 · 判断读内圈还是外圈：看0刻度线在哪一圈，就读哪一圈的数。 四、 角的分类 根据度数大小，角分为以下五类（按从小到大排序）： 名称 度数范围 特征描述 锐角 比直角小 直角 等于90度 钝角 比直角大，比平角小 平角 两条边在一条直线上，有1个顶点 周角 一条边绕顶点旋转一周，两条边重合 关系公式： 五、 画指定度数的角 工具：量角器、直尺、铅笔。 步骤： 1. 画射线：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合。 2. 找点：在量角器上找到指定度数的刻度线，点一个点。 3. 连线：以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 4. 标度：标出角的符号和度数。 六、 高频易错点与陷阱 1. 量角时读错圈 · ❌ 错误：不管0刻度线在哪，习惯性地读内圈或外圈。 · ✅ 正确：0在内读内，0在外读外。如果不确定，先看角是锐角还是钝角进行估算验证。 2. 混淆平角与直线 · ❌ 错误：认为平角就是一条直线。 · ✅ 正确：平角有顶点和两条边（虽然在同一直线上），而直线没有顶点。 3. 混淆周角与射线 · ❌ 错误：认为周角就是一条射线。 · ✅ 正确：周角的两条边重合，但它经历了旋转过程，有顶点和两条边。 4. 画角忘记标度数 · ❌ 错误：画完角后不写度数。 · ✅ 正确：养成习惯，画完必标 和具体数值。 5. 三角尺拼角规律 · 一副三角尺有两个： · 等腰直角三角尺： · 细长直角三角尺： · 可以拼出的角： , , , , , 等。 · 注意：无法直接用一副三角尺拼出 等非15倍数的角。 提升练习 一、填空题 1．角的计量单位是( )，用符号( )表示。把( )平均分成180份，每一份所对的角就是( )度的角，记作( )。 【答案】 度 ° 半圆 1 1° 【详解】为了准确测量角的大小，要有统一的计量单位和度量工具，常用的量角的工具是量角器；计量角的大小的单位为度，用小圆圈标在数字右上角的符号°表示；把半圆平均分成180份，每一份对应的角的度数就是1度，写法是在1的右上角标°，记作1°。 2．如图，∠1＝60°，∠3＝28°，则∠2＝( )°，是一个( )角。 【答案】 92 钝 【分析】（1）三个角合起来组成一个平角，用180°减去∠1，再减去∠3，就得到∠2。 （2）大于90°且小于180°的角是钝角，大于0°且小于90°的角是锐角。 【详解】（1）180°－60°＝120°，120°－28°＝92°，因此，∠2＝92°。 （2）92°＞90°且92°＜180°，因此，∠2是一个钝角。 3．两个大于45°的锐角相加，会得到一个( )角，一个钝角减去一个直角得到一个( )角。 【答案】 钝 锐 【分析】锐角：小于90°；直角等于90°；钝角：大于90°且小于180°，据此解答； 【详解】两个大于45°的锐角相加：得到的角肯定大于90°，但小于180°； 一个钝角减去一个直角：即一个大于90°的角减去90°，得到的角小于90°； 即两个大于45°的锐角相加，会得到一个钝角，一个钝角减去一个直角得到一个锐角。 4．下午4时整时，钟面上时针和分针形成的较小的角是( )。 【答案】钝角 【分析】钟面一圈是周角360°，平均分成12个大格，先算出每一个大格对应的角度。下午4时整，分针指向数字12，时针指向数字4，先数出时针与分针之间有几个大格，再用大格数量乘每一格的度数就能求出夹角，再根据角的分类判断出是什么角。 【详解】360°÷12＝30° 4×30°＝120° 120°大于90°小于180°是钝角。 5．一个钝角，加上32°就成为一个平角，这个角减去( )就成为一个直角，这个角是( )。 【答案】 58°/58度 148°/148度 【分析】根据题意，平角是180°，用180°减去32°，就是这个钝角的度数。直角是90°，再用这个角的度数减去90°，就是减去的角的度数。 【详解】180°－32°＝148° 148°－90°＝58° 所以，一个钝角，加上32°就成为一个平角，这个角减去58°就成为一个直角，这个角是148°。 6．两个角的和是180°，其中一个角是钝角，另一个角是( )。 【答案】锐角 【分析】大于90°且小于180°的角是钝角，小于90°的角是锐角， 用180°减去钝角得到另一个角，根据钝角和锐角的定义去判断； 【详解】根据题意，180°减去一个大于90°的角，差肯定是小于90°。 即两个角的和是180°，其中一个角是钝角，另一个角是锐角。 7．小明在用量角器量角时，错误地把内圈刻度当成外圈刻度，结果读取的度数为40°，正确的度数应该是( )。 【答案】140°/140度 【分析】量角器中，内圈和外圈的度数和为180°，因此用180°减去40°就是正确的度数。 【详解】 180°－40°＝140° 正确的度数是140°。 8．18时整，钟面上的分针和时针所组成的角是( )角；3时整，钟面上的时针和分针所组成的角刚好是( )度。 【答案】 平 90 【分析】18时整时针指6，分针指12，刚好成一条直线，所以钟面上的分针和时针所组成的角是一个平角；3时整时针指3，分针指12，这时钟面上的时针和分钟所组成的角刚好是一个直角，是90度。 【详解】18时整，钟面上的分针和时针所组成的角是平角；3时整，钟面上的时针和分针所组成的角刚好是90度。 二、选择题 9．两个锐角的和（    ）。 A．一定是钝角 B．可能是锐角 C．一定大于直角 D．一定是直角 【答案】B 【分析】大于0°且小于90°的角是锐角；等于90°的角是直角；大于90°且小于180°的角是钝角；通过列举不同锐角组合的和，判断其可能的角的类型，从而确定正确选项。 【详解】A．两个锐角的和不一定是钝角，例如30°＋40°＝70°，是锐角，并非钝角，该说法错误。 B．两个锐角的和可能是锐角，例如20°＋30°＝50°，是锐角，该说法正确。 C．两个锐角的和不一定大于90°，例如10°＋20°＝30°，小于90°，该说法错误。 D．两个锐角的和不一定是90°，例如10°＋20°＝30°，小于90°，两个锐角的和可能是直角，例如30°＋60°＝90°，是直角，该说法错误。 10．用一副三角尺能拼出的角是（    ）。 A．85° B．105° C．130° D．100° 【答案】B 【分析】一副三角板，其中一个三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、45°、90°，用它们进行拼组，据此解答。 【详解】60°＋45°＝105°，90°＋30°＝120°，90°＋90°＝180°，30°＋45°＝75°， 90°＋45°＝135°，60°＋90°＝150°，则用一副三角尺能拼出105°、120°、180°、75°、135°、150°的角。 A．不能拼出85°的角； B．60°＋45°＝105°，可以拼出105°的角； C．90°＋45°＝135°，不可以拼出130°的角； D．不可以拼出100°的角。 11．下面说法正确的是（    ）。 A．直线比射线长 B．乐乐用两个角拼成了一个平角，如果一个角是钝角，那么另一个角一定是锐角 C．角的边越长，角就越大 D．孙悟空的金箍棒能向两端不断伸长，这个不断伸长的金箍棒相当于一条射线 【答案】B 【分析】直线没有端点，向两端无限延伸；射线有一个端点，向一个方向无限延伸。平角可以看作两个直角拼成。一个钝角比直角大。角的大小看两条边张开的大小，不看边画得长还是短。金箍棒如果向两端不断延伸，两端都没有端点。 【详解】A．直线和射线有都不是有限长度的线段，不能说直线比射线长，错误。 B．在组成平角的两个角中，去掉这个较大的钝角后，剩下的角比直角小，因此是锐角。说法正确。 C．把角的边延长，开口没有变化，角的大小也不变，错误。 D．金箍棒符合直线的特征；射线只有一端可以无限延伸，另一端是端点，错误。 12．如图，沿着一条直线摆了一副三角板，想一想，∠1的度数是（    ）。 A．30° B．40° C．45° D．55° 【答案】C 【分析】观察可知，中间的这个角，∠中间的这个角，所以可得∠和相等。 【详解】根据分析：∠。 13．下列说法正确的是（    ）。 A．角的大小与边的长短有关 B．直线比射线长 C．在2倍的放大镜下看30°的角还是30° D．过一点只能画一条直线 【答案】C 【分析】根据角的大小与两边张开的大小有关，与边的长短无关；直线没有端点，可以向两端无限延伸，长度是无限的，不能测量长度；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能测量长度；过一点可以画无数条直线；即可判断。 【详解】A．角的大小与边的长短无关；原说法错误； B．直线和射线都不能测量长度，它们不能比较长短；原说法错误； C．放大镜只能放大角的边的粗细和长短，两边张开的大小不变，所以在2倍的放大镜下看30°的角还是30°；原说法正确； D．一点不能确定直线的方向，所以过一点可以画无数条直线；原说法错误。 三、判断题 14．一个10°的角，两边长各增加10厘米，则这个角一定大于10°。( ) 【答案】× 【分析】有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关。 【详解】角的大小与角的边画出部分的长短无关。一个10°的角，两边长各增加10厘米，这个角仍然是10°。题目说法错误。 故答案为：× 15．钟面上12：30时针与分针所形成的角是平角。( ) 【答案】× 【分析】平角是180°，12：30，分针指向6，时针指向12和1中间，所以时针和分针的夹角小于180°，是钝角，不是平角。 【详解】根据分析可知：12：30钟面上分针与时针所形成的角小于平角。原题表述错误。 故答案为：× 16．读量角器的刻度时，不管角的一条边对齐内圈0°还是外圈0°，都可以读内圈刻度。( ) 【答案】× 【分析】根据用量角器测量角的大小的方法可知，量角时，量角器的中心与角的顶点重合，零刻度与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，零度刻度线在右，读内圈刻度，零度刻度线在左，读外圈刻度。据此结合题意分析解答即可。 【详解】读量角器的刻度时，角的一条边对齐内圈零刻度线，读内圈刻度。角的一条边对齐外圈零刻度线，读外圈刻度。原题说法错误。 故答案为：× 17．两个锐角可能拼成一个钝角。( ) 【答案】√ 【分析】锐角是大于0°且小于90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角。分析两个锐角相加后的度数区间：因为两个锐角都小于90°，所以它们的和小于180°；又因为两个锐角都大于0°，所以它们的和大于0°。 验证是否存在和在90°到180°之间的情况，如果能找到两个锐角相加的结果落在钝角的度数区间内，那么该命题成立。 【详解】已知锐角是小于90度的角，举个例子：两个50度的锐角相加是100度，100度是大于90度、小于180度的钝角，说明两个锐角有可能拼出钝角，所以这句话是对的。 故答案为：√ 18．钟面上秒针旋转半周，得到的角是平角。( ) 【答案】√ 【分析】钟面上的秒针旋转半周，即旋转了180°，根据平角的定义：等于180°的角是平角，可知，钟面上秒针旋转半周，得到的角是平角，据此判断即可。 【详解】由分析可得钟面上秒针旋转半周，得到的角是平角。 故答案为：√ 四、计算题 19．如图，已知∠1＝110°，求∠2，∠3和∠4的度数。 【答案】70°；110°；70° 【分析】据题图示：已知∠1＝110°，∠1和∠3是对顶角，∠1等于∠3；因为∠1和∠4 共同构成一个平角，所以∠1加∠4等于180°，则用180°减去∠1求出∠4的度数，∠2和∠4互为对顶角相等，据此解答。 【详解】∠1＝110° ∠1＝∠3＝110° ∠4＝180°－110°＝70° ∠2＝∠4＝70° 故∠2等于70°，∠3等于110°，∠4等于70°。 五、解答题 20．一张长方形纸片折叠后如图所示，已知，，，那么和的度数分别是多少？ 【答案】∠2＝70°，∠5＝30° 【分析】求∠2：利用折叠前后对应角相等的性质，可知∠1和它折叠前对应的角大小相等，∠3和它折叠前对应的角大小相等，因为长方形上边形成的角是平角，总和为180°，所以∠2＝180°－2∠1－2∠3。 求∠5：利用折叠前后对应角相等的性质，可知∠4、∠5分别和它折叠前对应的角大小相等，因为两个∠4和两个∠5组成平角，总和为180°，所以∠5＝180°÷2－∠4。 【详解】∠2＝180°－2×25°－2×30°＝180°－50°－60°＝70°； ∠5＝180°÷2－60°＝90°－60°＝30°。 21．如图，已知∠1的度数是∠2的2倍，求∠1、∠2的度数。 【答案】∠1是60°；∠2是30° 【分析】从图中可知：∠1与∠2之间的角是直角，直角是90°的角。同时∠1、∠2、与直角组成一个平角，平角是180°，据此可知∠1与∠2的和是90°，∠1的度数是∠2的2倍，∠2是1份，则∠1是2份，两个角的度数和对应着3份，用90°除以3可算得∠2的度数，用∠2的度数乘2可算得∠1的度数。 【详解】 ∠2的度数： ∠1的度数： 答：∠1是60°，∠2是30°。 22．击剑运动是一项历史悠久的传统体育项目，奇思在看一场奥运会击剑比赛的时候，观察到运动员击剑时形成了如下的图形。如果，请你求出、和的度数。 【答案】；； 【分析】平角度数是，和组成平角，和组成平角，和组成平角，用减法求出相关角的度数即可， 【详解】 答：、和的度数分别为，，。 23．文文用两根小棒摆成了一个40°的角，兰兰摆出的角比文文的2倍还大30°。兰兰摆的角是多少度？这是一个什么角？ 【答案】110°；钝角 【分析】锐角是大于0°且小于90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角； 先用40°乘2，再加上30°，计算出兰兰摆出的角度数是多少，再根据角的分类进行判断，即可知道这是一个什么角。 【详解】40°×2＋30° ＝80°＋30° ＝110° 90°＜110°＜180°，所以110°的角是钝角。 答：兰兰摆的角是110°，这是一个钝角。 24．乐乐将一张半圆形纸片连续对折两次，然后展开（如图）。你能从图中找出哪些度数的角？最大的角与最小的角相差多少度？ 【答案】45°，90°，135°，180° 相差135° 【分析】首先明确半圆形对应的平角为180°，因为连续对折两次是将180°的角平均分成4份，所以可以先计算出最小角的度数。 接下来根据折痕将180°角拆分的情况，通过最小角的整数倍，列举出所有可能组合得到的角的度数。 最后找出其中最大的角和最小的角，做差计算二者的差值。 【详解】求1个小角180°÷4＝45°， 2个小角拼在一起45°＋45°＝90° 3个小角拼在一起45°×3＝135° 4个小角合起来45°×4＝180° 180°－45°＝135° 答：从图中能找出45°，90°，135°，180°的角，最大的角与最小的角相差135°。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $