专题02 二次根式全章7考点4题型（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 二次根式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次根式的概念与有意义的条件 考点二 二次根式的四条性质 考点三 化简二次根式与最简二次根式 考点四 同类二次根式与加减运算 考点五 二次根式的乘除运算 考点六 分母有理化与有理化因式 考点七 综合应用：求值、解方程与不等式 05 重难题型突破 题型一 二次根式有意义的条件求参数范围 题型二 最简二次根式与同类二次根式的判断 题型三 二次根式的性质化简与化简求值 题型四 二次根式的混合运算与分母有理化 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 二次根式是八年级上册期中测试的核心章节。本章试题整体难度不高，但计算步骤较多，易错点密集，是学生“会做但失分”的高频板块。本章复习的核心目标：规范书写解题过程。 ● 题型特点：多数试卷的首道解答题为二次根式混合运算，属于基础得分题，应力争满分； ● 难度分布：本章解题思路门槛较低，得分差距主要来源于解题步骤的规范性。 ● 高频命题方向：根式有意义的条件（分母、零次幂限制条件取交集）、最简二次根式与同类二次根式辨析、含字母根式化简（ 的分类讨论）、分母有理化。 ● 备考规划：第一阶段，吃透“有意义”“非负”“绝对值”三类核心概念；第二阶段，使用配套《基础固本练》限时15分钟训练，提升运算速度，规范书写格式；《综合进阶练》用于突破分母有理化、规律型求和题型。 识记　二次根式的定义与有意义的条件；最简二次根式、同类二次根式的含义。 理解　 与 的差别；分母有理化的原理（分子分母同乘共轭式）。 应用　化简二次根式；加减乘除混合运算；分母有理化；由有意义求参数范围。 考点一 二次根式的概念与有意义的条件 【教材知识点】 在"实数"一章学习了开平方运算，知道了当时，表示的算术平方根.形如的代数式（其中为有理式），叫作二次根式.;如、、、、等都是二次根式. 在实数范围内，负数没有平方根，所以如、（）这样的式子没有意义.有意义的条件是代数式的值不小于0，即. 为了方便，常把形如（其中、为有理式）的代数式也称为二次根式，如、、等. "有意义"与""不同：有意义只要求（可等于0）；时而非正数. 分母含字母时要多一层限制：有意义要求，即（分母不能为0）；要求. 对一切实数都有意义（恒成立）. 判断"是否为二次根式"看化简前的原始形式与被开方数是否非负：型要先整理. 双重条件（被开方数且分母）容易只写一个，如要求（严格大于）. 根号下面要非负，分母还要不为零；两个条件一起查，缺一不可才有根. 考点二 二次根式的四条性质 【原教材知识点】 性质1：. 性质2：. 性质3：. 性质4：. 性质2的推导要点：是的算术平方根，是一个非负数，而可为负数，所以与不一定相等，如.当时为；时为0；时为. 形如（为整式）的代数式称为完全平方式，如、. 性质1与性质2的方向相反：要求（先开方再平方，根号里的数本来非负）；对任意实数成立（先平方再开方，必须加绝对值）. ：因为，去绝对值要变号. 性质3、4的前提条件（；）不能省略，它们是"等式成立的条件"，考试常单独设问. （）：先套，再按条件去绝对值，两头都不能跳. 已知，化简：每个绝对值分别判断符号. 性质3只能"合"不能"拆"负数：不能写成，须先算积. 平方进根号，绝对值来套；先开后平方，直接就相等；乘除可拆合，非负是前提. 考点三 化简二次根式与最简二次根式 【原教材知识点】 如果二次根式里被开方数是几个因式的积，其中有的因式是完全平方式，那么这样的因式可用它的算术平方根代替后移到根号外面：. 如果被开方数含有分母，可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母移到根号外：. 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为"化简二次根式". 教材例题数据：；；（）；. 最简二次根式的两个条件： 1.被开方数中各因式的指数都为1； 2.被开方数不含分母. （被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数.） 在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 判断最简（教材例5）：不是（含分母）；是（，各因式指数为1）；不是（因式指数不为1）；不是（含因式）. 是最简二次根式——""作为整体因式指数为1，不能拆成. 化简带字母的根式先由被开方数非负反推字母范围：由得，才能把写成；没有条件时保留. 系数与被开方数分别处理：（），别把系数漏乘. 假分数、带分数先化简再开方：. 分解素因数，平方往外挪；分母根号化不去，分子分母同乘换；指数全是一，分母不存在，这才叫最简. 考点四 同类二次根式与加减运算 【教材知识点】 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式.;如与是同类二次根式（都化简为、），而与不是. 二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式.为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式. 教材例题数据：；. 实数的运算律和运算顺序，在二次根式运算中同样适用. 判断同类必须先化最简再比被开方数：、、，故与同类、与它们不同类. 同类二次根式与同类项类比：""相当于字母，系数才是合并对象. 不能合并的情况：被开方数不同的根式相加减（不能等于）；根号里的数不能与外面的系数混加. 去括号时括号前是减号，里面各项全变号：去括号后第二组要变号再化简. 先化最简再判亲，被开方数同才并；系数相加减，根号原样搬；不是同类莫合并，根号里面别相加. 考点五 二次根式的乘除运算 【材知识点】 二次根式相乘的法则：. 二次根式相除的法则：. 教材例题：；；；，由有意义知，故；. 结果一般要化成最简二次根式. 乘法先定符号再看被开方数：（负号只乘一次，别平方进根号）. 除法系数与根式分别相除：. 乘除与加减不同：乘除不需要先化最简（可直接对被开方数运算），加减必须先化最简. 混合运算顺序：先乘除后加减；同级从左到右，如先算括号内. 型含字母结果要讨论符号：意义条件已保证，直接写并在过程里说明理由. 乘除一大家，根号内外各相乘除；先运算后化简，字母结果看符号. 考点六 分母有理化与有理化因式 【教材知识点】 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式.;如与互为有理化因式，与互为有理化因式.. 教材例题数据：；；；；；. 一个含有二次根式的非零代数式的有理化因式不是唯一的（教材"讨论"栏目）. 分母是单个根式，分子分母同乘该根式：. 分母是"和/差"型，同乘共轭的"差/和"（平方差公式）：. 有两条路：乘，或先因式分解直接约分——后者连也不受限（教材给出两种解法对比）. 乘共轭因式后分母用平方差：，别把算成. 先约分再分母有理化更简便：先化简分子分母（与）再乘共轭. 结果保留根号的分母必须无根号，如不能再约出一个分数系数就忘了分母. 分母带根号，同乘就跑掉；单根乘本身，和差乘对偶；积里无根号，才叫有理化. 考点七 综合应用：求值、解方程与不等式 【教材知识点】 含二次根式的代数式求值，可用整体代入简化运算.教材例10：已知，求——把看作整体，改写，代入得. 解系数含二次根式的方程：移项后系数相除，除法用分母有理化.教材例11：，解得. 解系数含二次根式的不等式：先合并同类项，系数化1时注意除数的正负.教材例12：，合并得，因，两边除以负数不等号反向，解集为（其中用分母有理化求出）. "整体代入"的关键是把目标式凑成已知整体的形式：，而不是把生硬展开. 解不等式时，，除以负数必须变号——这是本章与不等式知识的综合高频考点. 求值题先化简已知条件（如先分母有理化得），再代入，计算量小得多. 方程两边除以含根式系数时别丢符号：，两边同除，分子分母同乘分母有理化. 结果统一写成"分母无根号、系数最简"的形式. 求值先找整体代，方程除完理化分母；不等式除负要变号，最简形式再交卷. 题型一 二次根式有意义的条件求参数范围 典例1（25-26八年级上·上海长宁·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 破题要诀：解题时可以把有根号、有分母、有零次幂三个要求并排写下来，各列一个不等式，解不等式。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期中）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为___． 3．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 题型二 最简二次根式与同类二次根式的判断 典例1（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 破题要诀：被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）与最简二次根式为同类二次根式，则______． 2．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果最简根式与是同类二次根式，则________． 题型三 二次根式的性质化简与化简求值 典例1（25-26八年级上·上海·期中）若实数a,b分别满足和，求的值 破题要诀：根号里面是平方，先写绝对值，再判正负去符号。含字母的一定先看题给的取值范围. 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）化简： =_________． 2．（25-26八年级上·上海·期中）若，则a的取值范围是 ________． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，则的值为______． 题型四 二次根式的混合运算与分母有理化 典例1（25-26八年级上·上海青浦·期中）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 破题要诀：运算顺序跟有理数一样：先乘方开方、再乘除、最后加减，有括号先算括号。分母带根号，先有理化再往下算。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算： 2．（25-26八年级上·上海·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 3．（25-26八年级上·上海·期中）设的整数部分为 a,小数部分为 b.则  = _______. 基础固本练（限时：15 分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则的值是______________； （2）求证：无论取何值，二次根式都有意义； （3）若代数式的最小值为2，求的值． 4．（25-26八年级上·上海·期中）下列根式中，是最简二次根式的是(    ) A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海虹口·期中）二次根式化成最简结果为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海·期中）计算：______． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 8．（25-26八年级上·上海·期中）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 综合进阶练（限时：15 分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）将根号外的因式移到根号内得______． 2．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海长宁·期中）下列二次根式中，与不是同类二次根式（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知，化简：______． 5．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海·期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则________． 7．（25-26八年级上·上海·期中）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得．把作为整体代入得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知 ，求代数式的值． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次根式的概念与有意义的条件 考点二 二次根式的四条性质 考点三 化简二次根式与最简二次根式 考点四 同类二次根式与加减运算 考点五 二次根式的乘除运算 考点六 分母有理化与有理化因式 考点七 综合应用：求值、解方程与不等式 05 重难题型突破 题型一 二次根式有意义的条件求参数范围 题型二 最简二次根式与同类二次根式的判断 题型三 二次根式的性质化简与化简求值 题型四 二次根式的混合运算与分母有理化 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 二次根式是八年级上册期中测试的核心章节。本章试题整体难度不高，但计算步骤较多，易错点密集，是学生“会做但失分”的高频板块。本章复习的核心目标：规范书写解题过程。 ● 题型特点：多数试卷的首道解答题为二次根式混合运算，属于基础得分题，应力争满分； ● 难度分布：本章解题思路门槛较低，得分差距主要来源于解题步骤的规范性。 ● 高频命题方向：根式有意义的条件（分母、零次幂限制条件取交集）、最简二次根式与同类二次根式辨析、含字母根式化简（ 的分类讨论）、分母有理化。 ● 备考规划：第一阶段，吃透“有意义”“非负”“绝对值”三类核心概念；第二阶段，使用配套《基础固本练》限时15分钟训练，提升运算速度，规范书写格式；《综合进阶练》用于突破分母有理化、规律型求和题型。 识记　二次根式的定义与有意义的条件；最简二次根式、同类二次根式的含义。 理解　 与 的差别；分母有理化的原理（分子分母同乘共轭式）。 应用　化简二次根式；加减乘除混合运算；分母有理化；由有意义求参数范围。 考点一 二次根式的概念与有意义的条件 【教材知识点】 在"实数"一章学习了开平方运算，知道了当时，表示的算术平方根.形如的代数式（其中为有理式），叫作二次根式.;如、、、、等都是二次根式. 在实数范围内，负数没有平方根，所以如、（）这样的式子没有意义.有意义的条件是代数式的值不小于0，即. 为了方便，常把形如（其中、为有理式）的代数式也称为二次根式，如、、等. "有意义"与""不同：有意义只要求（可等于0）；时而非正数. 分母含字母时要多一层限制：有意义要求，即（分母不能为0）；要求. 对一切实数都有意义（恒成立）. 判断"是否为二次根式"看化简前的原始形式与被开方数是否非负：型要先整理. 双重条件（被开方数且分母）容易只写一个，如要求（严格大于）. 根号下面要非负，分母还要不为零；两个条件一起查，缺一不可才有根. 考点二 二次根式的四条性质 【原教材知识点】 性质1：. 性质2：. 性质3：. 性质4：. 性质2的推导要点：是的算术平方根，是一个非负数，而可为负数，所以与不一定相等，如.当时为；时为0；时为. 形如（为整式）的代数式称为完全平方式，如、. 性质1与性质2的方向相反：要求（先开方再平方，根号里的数本来非负）；对任意实数成立（先平方再开方，必须加绝对值）. ：因为，去绝对值要变号. 性质3、4的前提条件（；）不能省略，它们是"等式成立的条件"，考试常单独设问. （）：先套，再按条件去绝对值，两头都不能跳. 已知，化简：每个绝对值分别判断符号. 性质3只能"合"不能"拆"负数：不能写成，须先算积. 平方进根号，绝对值来套；先开后平方，直接就相等；乘除可拆合，非负是前提. 考点三 化简二次根式与最简二次根式 【原教材知识点】 如果二次根式里被开方数是几个因式的积，其中有的因式是完全平方式，那么这样的因式可用它的算术平方根代替后移到根号外面：. 如果被开方数含有分母，可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母移到根号外：. 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为"化简二次根式". 教材例题数据：；；（）；. 最简二次根式的两个条件： 1.被开方数中各因式的指数都为1； 2.被开方数不含分母. （被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数.） 在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 判断最简（教材例5）：不是（含分母）；是（，各因式指数为1）；不是（因式指数不为1）；不是（含因式）. 是最简二次根式——""作为整体因式指数为1，不能拆成. 化简带字母的根式先由被开方数非负反推字母范围：由得，才能把写成；没有条件时保留. 系数与被开方数分别处理：（），别把系数漏乘. 假分数、带分数先化简再开方：. 分解素因数，平方往外挪；分母根号化不去，分子分母同乘换；指数全是一，分母不存在，这才叫最简. 考点四 同类二次根式与加减运算 【教材知识点】 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式.;如与是同类二次根式（都化简为、），而与不是. 二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式.为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式. 教材例题数据：；. 实数的运算律和运算顺序，在二次根式运算中同样适用. 判断同类必须先化最简再比被开方数：、、，故与同类、与它们不同类. 同类二次根式与同类项类比：""相当于字母，系数才是合并对象. 不能合并的情况：被开方数不同的根式相加减（不能等于）；根号里的数不能与外面的系数混加. 去括号时括号前是减号，里面各项全变号：去括号后第二组要变号再化简. 先化最简再判亲，被开方数同才并；系数相加减，根号原样搬；不是同类莫合并，根号里面别相加. 考点五 二次根式的乘除运算 【材知识点】 二次根式相乘的法则：. 二次根式相除的法则：. 教材例题：；；；，由有意义知，故；. 结果一般要化成最简二次根式. 乘法先定符号再看被开方数：（负号只乘一次，别平方进根号）. 除法系数与根式分别相除：. 乘除与加减不同：乘除不需要先化最简（可直接对被开方数运算），加减必须先化最简. 混合运算顺序：先乘除后加减；同级从左到右，如先算括号内. 型含字母结果要讨论符号：意义条件已保证，直接写并在过程里说明理由. 乘除一大家，根号内外各相乘除；先运算后化简，字母结果看符号. 考点六 分母有理化与有理化因式 【教材知识点】 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号. 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式.;如与互为有理化因式，与互为有理化因式.. 教材例题数据：；；；；；. 一个含有二次根式的非零代数式的有理化因式不是唯一的（教材"讨论"栏目）. 分母是单个根式，分子分母同乘该根式：. 分母是"和/差"型，同乘共轭的"差/和"（平方差公式）：. 有两条路：乘，或先因式分解直接约分——后者连也不受限（教材给出两种解法对比）. 乘共轭因式后分母用平方差：，别把算成. 先约分再分母有理化更简便：先化简分子分母（与）再乘共轭. 结果保留根号的分母必须无根号，如不能再约出一个分数系数就忘了分母. 分母带根号，同乘就跑掉；单根乘本身，和差乘对偶；积里无根号，才叫有理化. 考点七 综合应用：求值、解方程与不等式 【教材知识点】 含二次根式的代数式求值，可用整体代入简化运算.教材例10：已知，求——把看作整体，改写，代入得. 解系数含二次根式的方程：移项后系数相除，除法用分母有理化.教材例11：，解得. 解系数含二次根式的不等式：先合并同类项，系数化1时注意除数的正负.教材例12：，合并得，因，两边除以负数不等号反向，解集为（其中用分母有理化求出）. "整体代入"的关键是把目标式凑成已知整体的形式：，而不是把生硬展开. 解不等式时，，除以负数必须变号——这是本章与不等式知识的综合高频考点. 求值题先化简已知条件（如先分母有理化得），再代入，计算量小得多. 方程两边除以含根式系数时别丢符号：，两边同除，分子分母同乘分母有理化. 结果统一写成"分母无根号、系数最简"的形式. 求值先找整体代，方程除完理化分母；不等式除负要变号，最简形式再交卷. 题型一 二次根式有意义的条件求参数范围 典例1（25-26八年级上·上海长宁·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 破题要诀：解题时可以把有根号、有分母、有零次幂三个要求并排写下来，各列一个不等式，解不等式。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ． ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期中）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为___． 【答案】x≥﹣． 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】由于二次根式在实数范围内有意义，所以2x+1≥0，即：x≥﹣． 故答案是x≥﹣． 3．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型二 最简二次根式与同类二次根式的判断 典例1（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、＝，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、＝|x|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 破题要诀：被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）与最简二次根式为同类二次根式，则______． 【答案】8 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式定义，最简二次根式定义是解题的关键．化成最简二次根式后，根据被开方数相等解答即可． 【详解】解：， 与最简二次根式为同类二次根式， ， 故答案为： 2．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果最简根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义得，即可求解；理解定义“几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，， 当时， ， 舍去， ， 故答案为：． 题型三 二次根式的性质化简与化简求值 典例1（25-26八年级上·上海·期中）若实数a,b分别满足和，求的值 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】把a、b看作方程的两个根，根据根与系数的关系得到，得出，利用二次根式的性质化简，然后利用整体代入的方法进行计算即可. 【详解】∵实数a,b分别满足和 ∴a、b看作方程的两个根， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查根与系数的关系以及二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键. 破题要诀：根号里面是平方，先写绝对值，再判正负去符号。含字母的一定先看题给的取值范围. 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）化简： =_________． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据根式的性质即可化简. 【详解】解： = 【点睛】本题考查了根式的化简,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键. 2．（25-26八年级上·上海·期中）若，则a的取值范围是 ________． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键．先变形为，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，则的值为______． 【答案】8 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知式子的值，求代数式的值、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 当，，原式， 故答案为：8． 题型四 二次根式的混合运算与分母有理化 典例1（25-26八年级上·上海青浦·期中）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 破题要诀：运算顺序跟有理数一样：先乘方开方、再乘除、最后加减，有括号先算括号。分母带根号，先有理化再往下算。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接根据二次根式的乘除计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 2．（25-26八年级上·上海·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板C的边长为_________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能截出 【知识点】无理数的大小估算、多项式乘多项式与图形面积、二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板和宽进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵木板C为正方形，且面积为， ∴木板C的边长为：， 故答案为：． （2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和， ∴正方形木板A，B，C的边长分别为：， ∴长方形木板的长为，宽为 由图可得： ∴ ． （3）解：不能截出； 理由：∵，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为， 由（2）得长方形的边长分别为：、， ，但 不能截出． 3．（25-26八年级上·上海·期中）设的整数部分为 a,小数部分为 b.则  = __________________________. 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的应用 【分析】根据实数的估算求出a,b，再代入即可求解. 【详解】∵1＜＜2， ∴-2＜-＜-1， ∴2＜＜3 ∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-， ∴== 故填：. 【点睛】此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质. 基础固本练（限时：15 分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的范围． 【详解】由题意可知： ,解得：,故选：． 【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件. 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则的值是______________； （2）求证：无论取何值，二次根式都有意义； （3）若代数式的最小值为2，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：， 又，， 无论取何值，的值都是正数，∴无论取何值，二次根式都有意义． （3）． 【知识点】二次根式有意义的条件、配方法的应用、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】（1）把右边化简，求出a和b的值，进而可求出ab的值； （2）把被开方数配方，即可证明结论成立； （3）把所给代数式配方，根据代数式的最小值为2，得出关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴2a=4，a2+b=-1， ∴a=2，b=-5， ∴ab= （2）略 （3）原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．也考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解法． 4．（25-26八年级上·上海·期中）下列根式中，是最简二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【详解】解：A．，不是最简二次根式； B．=2，不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，不是最简二次根式； 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 5．（25-26八年级上·上海虹口·期中）二次根式化成最简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 6．（25-26八年级上·上海·期中）计算：______． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，二次根式的性质是解题关键． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 8．（25-26八年级上·上海·期中）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根、二次根式的混合运算 【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可． 【详解】解：若是“最美实数”， 则有或， 若，解得， 若，解得， 综上，a的值为或， 故选：D． 综合进阶练（限时：15 分钟） 1．（25-26八年级上·上海·期中）将根号外的因式移到根号内得______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是掌握：判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同．据此解答即可． 【详解】解：A．，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，与不是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，与是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海长宁·期中）下列二次根式中，与不是同类二次根式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】根据二次根式性质化简后，根据同类二次根式的定义进行选择即可． 【详解】A、，与是同类二次根式，故A不符合题意； B、，与是同类二次根式，故B不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C符合题意； D、，与是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式），二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义，对二次根式进行化简，是解题的关键． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知，化简：______． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．先根据二次根式的被开方数为非负数确定m，n的取值范围，然后化简二次根式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·期中）若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 6．（25-26八年级上·上海·期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__． 【答案】33或127/127或33 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算、二次根式的应用、二元一次方程的解 【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况． 【详解】解：“神奇区间”为， 、为连续正整数， ，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解， 符合条件的，有，，；，，． ，，时，，， ， ， ，，时，，， ， ， 故的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力． 7．（25-26八年级上·上海·期中）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，∴，得．把作为整体代入得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知 ，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）本题主要考查了完全平方公式的应用、整体思想等知识点，根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键； （2）本题主要考查了二次根式的乘法、完全平方公式等知识点根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算可得，，然后整体代入计算即可；灵活运用相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章知识背诵卡片 1.基本概念：二次根式，最简二次根式. 2.二次根式的性质： -； -； -； -. 3.分母有理化：把分母中的根号化去的过程.一般通过分子、分母同乘分母的有理化因式来实现. 4.二次根式的四则运算： -二次根式相加减：合并同类二次根式； -二次根式相乘：； -二次根式相除：. 学科网（北京）股份有限公司 $