16.3.1 平方差公式 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 16.3.1 平方差公式 学习目标 理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，能利用平方差公式进行简单的计算和推理. 一 在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想. 二 情境激学 情境：边长为a的正方形纸片，剪去边长为b（b<a）的正方形，剩余纸片的面积为多少？ b a a b a2−b2 剩余纸片的面积为 思考：还有别的计算方法吗？ 问题导学 方法1 可以将剩余部分沿虚线分割成如图所示的 两个长方形，所以剩下纸片的面积为 a(a-b)+b(a-b). a a b b 方法2 可以将方法1中分割的两个 长方形，拼接成长为(a+b)，宽为 (a-b)的新长方形，所以剩下纸片 的面积为(a+b)(a-b). a a b b a b a-b 问题导学 方法3 可以将剩余部分沿虚线分割成如图所示的 两个梯形，所以剩下纸片的面积为(a+b)(a-b). b a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) a 文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差． （乘法的）平 方 差 公 式 (a+b)(a−b)=a2−b2. 于是有： (a+b)(a−b)=a(a-b)+b(a-b)=a2−b2. 问题导学 对平方差公式的理解 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等． (a + b)(a - b) = a2 - b2 相同为 a 相反为 b 顺序可以不同，只关注相同的符号 可以合理加括号，只关注相反的符号 小组互学 例1 运用平方差公式计算： (1) (3x+2)( 3x−2 ) ； (2)（−x+2y)(−x−2y). ( 3x + 2 )( 3x − 2 )=( )2−( )2. ( a + b )( a − b )= a 2 − b 2 . 3x 2 (2)原式=(−x)2 − (2y)2 =x2 − 4y2. 解 (1)原式=(3x)2−22 =9x2−4； 小组互学 a b a2－b2 1 x －3 m 12－x2 (－3)2－m2 n 1 n2－12 0.3x 1 (0.3x)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + m)(-3 - m) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + n)(-1 + n) 例2 根据平方差公式填表： 常见的平方差公式及其变形 (－a + b)(a + b) =________ (a－b)(b + a) = _________ (－a－b)(－a + b) = ______ (a－b)(－a－b) = ________ a2－b2 b2－a2 b2－a2 a2－b2 关注字母（或多项式）的符号与顺序无关！ 小组互学 解 (1)原式=a2-9b2； (2)原式=4a2-9； (3)原式=(50+1)×(50-1)=502-12=2499； (4)原式=(3x)2-42-[(2x)2-32]=5x2-7. 例3 计算： (1) (a+3b)(a-3b); (2) (3+2a)(-3+2a); (3) 51 × 49; (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(2x-3). 检测再学 1. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1) (x+2)(x−2)=x2−2； (2) (−a−2)(a−2)=a2−4； (3) (x+2y)(−x−2y)=x2−4y2； (4) (3a+4b)(3a−4b)=9a2−4b2. 不正确 不正确 不正确 原式=x2−4 原式=4−a2 原式=−x2−4xy−4y2 不正确 原式=9a2−16b2 检测再学 2. 计算： (1) (a+3b)(a−3b) ； (2) (3+2a)(−3+2a) ； (3) (xy+1)(x2y2+1)(xy−1) ； (4) (3x+4)(3x−4)−(2x+3)(3x−2). 解 （1）原式=(a)2 − (3b)2=a2 − 9b2. （2）原式=(2a)2 − (3)2=4a2 − 9. （3）原式=(xy+1)(xy−1)(x2y2+1) =(x2y2−1)(x2y2+1) =x4y4−1. （4）原式=(9x2−16)−(6x2−4x+9x−6) =9x2−16−6x2+4x−9x+6 =3x2−5x−10. 检测再学 3.果果同学在计算时，把3写成4-1，发现可以连续运用平方差公式计算： = = = 请你借鉴果果同学的经验， 计算： 课堂小结 单项式÷单项式 幂的运算性质 am · an =am+n (am)n =amn (ab)n =anbn 整式的乘法 整式的除法 am ÷ an =am-n 互逆运算 多项式÷单项式 基 础 基 础 单项式×单项式 单项式×多项式 多项式×多项式 互逆运算 特殊 乘法公式 平方差公式 ？ 备用练习 1.(2025·黑龙江)下列运算正确的是( ) A. a4·a3=a6 B. 2a+3b=6ab C.(−2a2b3)3 =−8a6b9 D.(−a+b)(a+b)=a2−b2 C 2.(2022·内蒙古赤峰)已知(x+2)(x−2)−2x=1，则2x2−4x+3 的值为( ) A. 13 B.8 C.−3 D.5 A 备用练习 3.(2025·甘肃兰州)计算:(a+2)(a−2)+a(3−a). 解 原式=a2−4+3a−a2 =3a−4. $