6.3 正弦型函数的概念与五点法作图（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第6章 三角计算 6.3 正弦型函数的概念与五点法作图 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材由筒车这一古代灌溉工具的实际情境出发，把匀速圆周运动中盛水筒的纵坐标表示为转动时间的函数，从中抽象出正弦型函数的概念，并依次给出振幅、相位、初相、周期和频率的含义。在此基础上，教材以正弦函数的五点法作图为基点，先研究横向伸缩后作图的函数，再研究带有初相的函数，最后研究振幅发生变化的函数，逐步归纳出用五点法作一个周期内简图的一般步骤。 本课是6.3节的第一课时，承接基础模块中正弦函数的图像与性质，把研究对象由正弦函数扩展为一般的正弦型函数，为下一课时研究正弦型函数的性质以及后续三角计算的应用作准备。 学情分析 学生已经掌握正弦函数的图像与五点法作图，也学过任意角三角函数和诱导公式，具备类比迁移的基础。但初相不为零时，把相位作为整体进行代换容易出错，学生常把关键点的横坐标直接取成 0、、π、、2π，也容易忽略振幅对纵坐标的影响。教学中宜借助表格与图像对比，帮助学生理清列表、描点、连线中的对应关系。 教学目标 1．理解正弦型函数的概念，知道振幅、相位、初相、周期和频率的含义。 2．掌握用五点法作正弦型函数在一个周期内简图的一般步骤，能正确确定五个关键点。 3．经历由实际情境抽象函数关系、由正弦函数图像类比作图的探究过程，发展数学抽象与直观想象素养。 教学重难点 教学重点：正弦型函数的概念，振幅、相位、初相、周期和频率的含义，用五点法作一个周期内简图的步骤。 教学难点：把相位作为整体确定五个关键点的横坐标，以及理解振幅对图像的影响。 教学方法 情境导入法、数形结合法、类比迁移法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 在物理学、电工和工程技术中，经常会遇到形如 （其中A、ω、φ都是常数）的函数，它与和角公式、二倍角公式以及正弦函数 y=sinx 等三角知识有着密切的联系。下面来研究这类函数的作图方法和性质。 情境与问题：筒车是我国古代发明的一种依靠水流动力灌溉的工具，如图6-4所示。这种自动提水灌溉的古老筒车，安装在郁郁葱葱的山涧、溪流间，构成了一幅幅美丽的田园风景图。当水车翻转喷溅水珠时，既灌溉了农田，又是一道靓丽的风景。 假设匀速转动的筒车半径为R，转动的角速度为ω，以筒车的轴心O为坐标原点建立如图6-5所示的直角坐标系。若点P表示盛水筒在t时的位置，点P0表示盛水筒的初始位置，已知∠MOP0=φ，问点P的纵坐标y与时间t之间有怎样的函数关系？ 学生思考并回答：由正弦函数的定义，得 ，所以点P的纵坐标y与时间t的函数关系为 。 教师归纳：上面得到的关系式中，R、ω、φ 都是常数，这样的函数在物理学中用来表示简谐振动、正弦交流电等现象。本课就研究这类函数的作图方法。 由筒车提水的情境抽象出纵坐标与时间之间的函数关系，形成对正弦型函数的直观认识，自然引出本课课题，为概念建构作准备。 新知讲授 一、正弦型函数的概念 由筒车问题得到的 中，R、ω、φ 都是常数。一般地，教材给出下面的定义。 形如 （其中A、ω、φ都是常数，且 ，）的函数称为正弦型函数。在物理学中，正弦型函数被用来表示简谐振动、正弦交流电等。 习惯上，A 称为振幅， 称为相位，φ 称为初相， 称为周期， 称为频率。 当 ，， 时，函数 就是 y=sinx。因此，正弦函数是正弦型函数的特殊情况。类比作正弦函数 y=sinx 图像的方法，可作正弦型函数 的图像，从而研究它的性质。 理解这个定义要抓住三点：定义中要求 A>0、ω>0；相位是含自变量x的整体一次式 ，不是单独的x；周期与频率互为倒数，先由 求出周期，再由 求出频率。 强化记忆（合书复述）：请合上教材，说出正弦型函数的一般形式，并说出 A、ω+φ、φ、T、f 各称为什么。 学以致用1：指出函数 的振幅、初相和周期。 【答案】 振幅A=4；初相 ；周期 。 【解析】 把解析式与一般形式 对照：振幅为 ；初相是相位 中的常数项 ；周期由 求得，这里 ，所以 。 学以致用2：已知正弦型函数 的周期为π，求ω的值。 【答案】 。 【解析】 由周期公式 ，把 代入得 ，解得 。 二、用五点法作正弦型函数在一个周期内的简图 复习回顾（快速口答）：用五点法作正弦函数 在一个周期内的简图时，先取 x=0、、π、、2π，对应函数值依次为 0、1、0、−1、0，再描点并用光滑曲线连接，得到图6-6。这一取点方法是下面作正弦型函数图像的基础。 这是教材例1。 例1　用五点法作出下列各函数在一个周期内的简图。 （1）；　（2）； （3）；　（4）。 （1）由教师引导快速口答完成（复习性处理）。 【答案】 列表取 x=0、、π、、2π，对应 y=0、1、0、−1、0（教材表6-1）；描点作图，得到函数 的简图（图6-6）。 【解析】 这是基础模块已经学过的正弦函数五点法作图，只需按“列表—描点—光滑连线”三步完成，作为后面三个小题类比作图的基准。 （2）。 【答案】 因为 ，所以函数 的周期为π。我们作函数 在[0,π]上的简图。 2x 0 0 0 1 0 −1 0 描点作图，得到函数 的简图（图6-7）。 【解析】 先把相位 2x 作为整体，依次取 ，再分别解出对应的 x=0、、、、π，得到五个关键点；这五个点的纵坐标与 相同，说明横向伸缩只改变自变量，不改变函数值。 （3）。 【答案】 因为 ，所以函数 的周期是π。我们作函数 在[,]上的简图。 0 0 1 0 −1 0 描点作图，得到函数 的简图（图6-8）。 【解析】 相位是 ，仍把它作为一个整体依次取 ，通过解一元一次方程得到五个关键点的横坐标 、、、、。由于初相不为零，关键点的横坐标整体向左移动，第一个点的横坐标是负数；不能把 x 直接取成 。 （4）。 【答案】 因为 ，所以函数 的周期是π。我们作函数 在[,]上的简图。 0 0 1 0 −1 0 0 2 0 −2 0 描点作图，得到函数 的简图（图6-9）。 【解析】 与第（3）小题相比，相位相同，五个关键点的横坐标完全相同；振幅，使各点的纵坐标变为原来的2倍，依次为 0、2、0、−2、0。可见振幅只影响图像的高低，不改变关键点的横坐标和周期。 读一读：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任一个值时，都有 ，则非零常数T为这个函数的一个周期。 想一想：如何用五点法作函数 的图像？ 综合例1的四个小题，可以归纳出一般步骤：先由 求出一个周期的长度；再把相位 作为整体，依次取 ；然后解出对应的五个关键点的横坐标，并写出相应的函数值，纵坐标依次为 ；最后描出五个关键点，用光滑曲线连接得到一个周期内的图像。 强化记忆（快速口答）：作 在一个周期内的简图时，相位 依次取的五个特殊值是什么？五个关键点的纵坐标依次是什么？——依次取 0、、π、、2π；纵坐标依次为 0、A、0、−A、0。 按概念建构、参数含义、五点法复习、教材例1四个小题由浅入深的顺序展开，用表格与图像对比归纳五点法作简图的一般步骤。 课堂背诵 1．填空：形如 ______（其中A、ω、φ都是常数，且，ω>0）的函数称为正弦型函数。 【答案】 。 2．复述：在 中，A、、φ 分别称为什么？周期T和频率f分别等于什么？ 【答案】 A 称为振幅， 称为相位，φ 称为初相， 称为周期， 称为频率。 3．口答：用五点法作 （，）在一个周期内的简图时，相位 依次取哪五个特殊值？五个关键点的纵坐标依次是什么？ 【答案】 依次取 ；纵坐标依次为 。 用形式补全、参数复述和步骤口答做全课回顾，检查学生能否准确说出正弦型函数的形式、各参数的含义与五点法的取点规律。 师生互动 任务1（同桌互检）：同桌互相检查，判断下列函数是不是正弦型函数，并说出理由。（1）；（2）。 【答案】 （1）是，它符合 的形式，且 A=5>0、ω=2>0；（2）不是，正弦符号外面还有常数项1，不能写成 的形式。 【解析】 判断的关键是看函数能不能写成 （A>0，ω>0）的形式：正弦符号下必须是含x的一次式，符号外不能另有常数项或与其他函数相加。 任务2（学生展示、互相评价）：请一名学生上台，说明为什么 与 的五个关键点横坐标相同、纵坐标成2倍关系，并说明它们的周期是否相同。 【答案】 两个函数的相位都是 ，令相位取相同的五个特殊值时解出的横坐标完全相同；振幅分别是2和1，所以对应的纵坐标成2倍关系；周期都由 决定，都等于π，两者相同。 通过同桌互检辨析函数形式、小组合作完成教材练习、学生上台展示振幅对图像的影响，暴露并纠正确定关键点时常见的错误。 课堂练习 1．填空：函数 的振幅是______，初相是______，周期是______。 【答案】 振幅是5，初相是 ，周期是π。 2．用五点法作 在一个周期内的简图，写出五个关键点。 【答案】 由 ；令 依次取 ，解得 x=0、π、2π、3π、4π，对应函数值 0、1、0、−1、0；描点并用光滑曲线连接即得简图。 3．写出函数 在一个周期内五个关键点的横坐标。 【答案】 令 依次取 ，解得 x=、、、、。 4．求函数 的周期与振幅。 【答案】 周期 ，振幅为3。 5．判断并说明理由：用五点法作 的简图时，可以把 x 依次取 ，再求出相应的函数值。 【答案】 错误。 【解析】 五点法是对相位 整体取 ，再解出对应的横坐标 、、、、，而不是把 x 直接取成这五个值；如果直接把 x 取成 ，得到的只是函数在较长区间上的一部分图像，不能完整反映一个周期内图像的变化特征。 按参数辨识、五点法作图、求周期与关键点、辨析说理逐级递进，检测学生能否在初相不为零时正确确定关键点并规范书写。 课堂小结 1．函数形式：形如 （其中A、ω、φ都是常数，且A>0，ω>0）的函数称为正弦型函数，正弦函数 y=sinx 是它的特殊情况。 2．参数意义：A 是振幅， 是相位，φ 是初相， 是周期， 是频率。 3．五点法的一般步骤：先由 求出一个周期的长度；再把相位 作为整体依次取 0、、π、、2π；然后解出五个关键点的横坐标，纵坐标依次为 0、A、0、−A、0；最后描点并用光滑曲线连接。 4．周期的概念：如果存在一个非零常数T，使 对定义域内任意x都成立，则T为函数的一个周期，正弦型函数的周期是 。 5．易错点：求关键点时要对相位 整体取值再解方程，不能直接把 x 取成 0、、π、、2π；纵坐标由振幅A决定，作简图时不要漏乘A；定义中还要求A>0、ω>0。 以函数形式、参数意义、五点法步骤、周期概念和易错点为线索分点总结，帮助学生形成作正弦型函数一个周期内简图的稳定路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课由筒车情境引入，学生对把实际问题抽象为正弦型函数比较有兴趣，用表格呈现相位整体取值、再解出横坐标比较直观。但部分学生在初相不为零时仍习惯把自变量直接取成五个特殊值，也有学生作简图时漏乘振幅。后续可放慢列表环节的示范，增加相位整体代换的对比板书，并在小结后补一组辨析练习，帮助学生固化关键点的确定方法和周期公式的运用。 学科网（北京）股份有限公司 $