6.2 二倍角公式（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】

高教版第三版《数学》 拓展模块一（下册） 第六章 三角计算 6.2 二倍角公式 学习目标 1．理解二倍角公式的推导过程，掌握正弦、余弦、正切二倍角公式的结构特征与适用条件。 2．能运用二倍角公式及其变形完成求值、化简与恒等式证明，并能根据已知条件选择合适的公式形式。 3．经历由和角公式导出二倍角公式的探究过程，体会由一般到特殊的思想方法，发展逻辑推理与数学运算素养。 教学导入：由和角公式提出二倍角公式的问题 二倍角公式是三角计算中常用的一组公式。用角的三角函数值表示其二倍角的三角函数值，在化简、求值、证明及工程中有着广泛的运用。 在前面两课时，我们学过了两角和的正弦、余弦和正切公式： ，，。 在两角和的余弦、正弦和正切公式中，当时，我们能得到什么结果呢？ 推导二倍角的正弦公式 在公式中，当时， ， 。 推导二倍角的余弦、正切公式与余弦的三种等价形式 同理， ； 。 因为，所以又可以表示为 或。 二倍角公式一览：S2α、C2α、T2α 于是，得到二倍角的正弦、余弦和正切公式： 上面三个公式统称二倍角公式。 二倍角公式的结构特征与使用方式 三式的结构特征： 正弦的二倍角是“二倍的正弦乘余弦”； 余弦的二倍角既可写成平方差，又能只含一个函数； 正切公式的分母是。 公式可以正用、逆用，也可以变形用。 探究与发现：由降幂变形得到半角公式 探究与发现。由得；由得。把其中的 α 换成，就得到下面这组公式： ，，正负号由所在象限决定。 例1　 例1　已知，α 是第二象限角，求、和的值。 【答案】，，。 【解析】因为 α 是第二象限角，所以。于是，有，。又因为，所以。 即时训练1：逆用二倍角公式求值 即时训练1　求下列各式的值：；；；。 【答案】；；；。 【解析】四式都是二倍角公式的逆用：把式子看成、、的右边，找出对应的角 α，再代入特殊角的三角函数值。例如第（2）小题取，则。 例2　 例2　已知，且，求和的值。 【答案】，。 【解析】由，可知，故。因此，，。 即时训练2：由已知余弦值求二倍角三角函数值 即时训练2　已知，α 是第四象限角，求、和的值。 【答案】，，。 【解析】因为 α 是第四象限角，所以。于是，。又，所以。 例3　用二倍角公式化简三角函数式 例3　化简：。 【答案】。 【解析】。 例4　用二倍角公式证明三角恒等式 例4　证明：。 【答案】原等式成立。 【解析】，所以原等式成立。 课堂背诵（一） 1．填空：写出二倍角的正弦、余弦和正切公式——正弦： ；余弦（可写三种等价形式）： ；正切： 。 【答案】；；。 课堂背诵（二） 2．口答：余弦二倍角公式的三种形式分别含哪种单角三角函数？已知 sinα 或已知 cosα 时，各应选用哪一种形式？ 【答案】已知 sinα 时选；已知 cosα 时选；只含 sinα、cosα 的形式是。 3．填空：正切二倍角公式要求 tanα 有意义，且；由已知三角函数值求同角的另一个三角函数值时，要先由角所在的 确定符号。 【答案】；象限。 师生互动1（同桌互检） 任务1（同桌互检）：如果把例1的条件改为“α 是第一象限角”，那么、、的值是多少？请同桌两人各自计算后再互相核对，重点检查 cosα 的符号是否取得正确。 【答案】，，。 【解析】α 是第一象限角时，与例1只差一个符号。于是，，，。可见改变象限会改变 cosα 的符号，从而改变结论，必须先定象限再定符号。 师生互动2（小组合作） 任务2（小组合作）：小组合作完成教材练习6.2第3题、第4题，把结果写成最简形式后派代表展示，其余小组核对。第3题：已知，，求 sinθ 和 cosθ 的值；第4题：化简、、、。 【答案】第3题：，；第4题：，，，。 师生互动2（小组合作） 【解析】第3题由得，所以，再逆用二倍角公式得、。第4题把每个式子化成二倍角公式的左边：前三式分别是、平方差与完全平方的化简，最后一式通分后分母为、分子为，即。 师生互动3（学生展示） 任务3（学生展示）：请两名学生分别说明教材“想一想”的其他解法——例1中求 tan2α 还有别的方法吗？例2中求 cosθ 还有别的方法吗？ 【答案】例1可先求出、，再用求值；例2可由或求值。 【解析】一题多解的关键是先识别已知与所求之间隐含的二倍角关系，再选择步骤最少的路径；比较不同解法能加深对公式正用、逆用的理解。 课堂练习1：逆用二倍角的正弦公式 1．求值：。 【答案】。 【解析】逆用二倍角正弦公式，把式子看成的右边，取，得。 课堂练习2：逆用二倍角余弦公式的平方差形式 2．求值：。 【答案】。 【解析】逆用二倍角余弦公式的平方差形式，取，得。 课堂练习3：已知正切值求二倍角的正切 3．已知，求的值。 【答案】。 【解析】。 课堂练习4：用降幂形式化简分式 4．化简：。 【答案】。 【解析】。 课堂练习5：已知正余弦值求余弦二倍角 5．已知，且 θ 是第二象限角，求的值。 【答案】。 【解析】因为 θ 是第二象限角，所以。于是。 课堂练习6：用二倍角公式证明恒等式 6．证明：。 【答案】原等式成立。 【解析】，所以原等式成立。 课堂小结（一）：推导主线与公式 1．二倍角公式由两角和公式令得到，体现了由一般到特殊的思想方法。 2．三式本体：；；。 3．余弦二倍角有三种等价形式，要按已知条件选用：已知 sinα 用，已知 cosα 用。 课堂小结（二）：使用方式、应用方法与易错点 4．公式可以正用、逆用和变形用：逆用能把、化成、；变形用可得升幂、降幂式，并由此得到用的已知值求的正弦、余弦的公式，正负号由象限决定。 5．应用方法：先定象限定符号，再选合适的公式形式；化简与证明一般先化倍角为单角，再因式分解、约分。 6．易错点：正切二倍角公式要求；注意区分与；不要漏掉由象限确定的符号。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $