6.2 二倍角公式（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】

高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】 第6章 三角计算 6.2 二倍角公式 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在《数学 基础模块》第4章三角函数和已学的两角和与差公式的基础上展开：把两角和公式中的第二个角取作α，由一般到特殊地导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，再用同角三角函数基本关系式给出余弦二倍角的三种等价形式，随后以例1至例4示范公式的正用、逆用与变形用，并用练习与习题加以巩固。 本课是6.2节唯一课时，既承接两角和与差公式，又通过降幂等变形为后续正弦型函数的化简与解三角形作准备，在三角恒等变换的链条中起承上启下的作用。 学情分析 学生已经学完两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能完成一般和角的代入运算，但对把第二个角取作α的推导思路、余弦二倍角三种形式的选用还不熟练；在由已知函数值求倍角值时容易忽略先定象限、再定符号，对识别“某个角是另一个角的二倍”这类隐含结构也有困难。教学中宜借助公式结构对比、反例辨析和分步示范，帮助学生建立规范的应用路径。 教学目标 1．理解二倍角公式的推导过程，掌握正弦、余弦、正切二倍角公式的结构特征与适用条件。 2．能运用二倍角公式及其变形完成求值、化简与恒等式证明，并能根据已知条件选择合适的公式形式。 3．经历由和角公式导出二倍角公式的探究过程，体会由一般到特殊的思想方法，发展逻辑推理与数学运算素养。 教学重难点 教学重点：二倍角公式的推导、结构特征与余弦二倍角三种等价形式的选用。 教学难点：识别题目中隐含的二倍角结构，并根据已知条件与角的范围选择合适的形式、正确确定符号。 教学方法 情境导入法、公式类比推导法、讲练结合法、对比辨析法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 二倍角公式是三角计算中常用的一组公式。用角的三角函数值表示其二倍角的三角函数值，在化简、求值、证明及工程中有着广泛的运用。 在前面两课时，我们学过了两角和的正弦、余弦和正切公式： ，，。 在两角和的余弦、正弦和正切公式中，当时，我们能得到什么结果呢？ 复习两角和公式，由其特殊情形提出问题，把本课研究对象定位为用单角三角函数值表示二倍角值，明确用途并激活旧知。 新知讲授 在公式中，当时， ， 。 同理， ； 。 因为，所以又可以表示为 或。 于是，得到二倍角的正弦、余弦和正切公式： 上面三个公式统称二倍角公式。 三式的结构特征：正弦的二倍角是“二倍的正弦乘余弦”；余弦的二倍角既可写成平方差，又能只含一个函数；正切公式的分母是。公式可以正用、逆用，也可以变形用。 探究与发现。由得；由得。把其中的 α 换成，就得到下面这组公式： ，，正负号由所在象限决定。 例1　已知，α 是第二象限角，求、和的值。 【答案】 ，，。 【解析】 因为 α 是第二象限角，所以。于是，有，。又因为，所以。 即时训练1　求下列各式的值：；；；。 【答案】 ；；；。 【解析】 四式都是二倍角公式的逆用：把式子看成、、的右边，找出对应的角 α，再代入特殊角的三角函数值。例如第（2）小题取，则。 例2　已知，且，求和的值。 【答案】 ，。 【解析】 由，可知，故。因此，，。 即时训练2　已知，α 是第四象限角，求、和的值。 【答案】 ，，。 【解析】 因为 α 是第四象限角，所以。于是，。又，所以。 例3　化简：。 【答案】 。 【解析】 。 例4　证明：。 【答案】 原等式成立。 【解析】 ，所以原等式成立。 按推导、余弦三等价形式、公式一览、探究与发现和四个教材例题的顺序展开，用结构对比、分步示范与即时训练逐点落实公式的正用、逆用与变形用。 课堂背诵 1．填空：写出二倍角的正弦、余弦和正切公式——正弦：＿＿＿＿＿＿＿＿；余弦（可写三种等价形式）：＿＿＿＿＿＿＿＿；正切：＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】 ；；。 2．口答：余弦二倍角公式的三种形式分别含哪种单角三角函数？已知 sinα 或已知 cosα 时，各应选用哪一种形式？ 【答案】 已知 sinα 时选；已知 cosα 时选；只含 sinα、cosα 的形式是。 3．填空：正切二倍角公式要求 tanα 有意义，且；由已知三角函数值求同角的另一个三角函数值时，要先由角所在的 ＿＿＿＿ 确定符号。 【答案】 ；象限。 用公式补全与条件填空做全课整体回顾，检查学生能否准确写出三式、说明余弦三种形式的选用依据与正切公式的适用条件。 师生互动 任务1（同桌互检）：如果把例1的条件改为“α 是第一象限角”，那么、、的值是多少？请同桌两人各自计算后再互相核对，重点检查 cosα 的符号是否取得正确。 【答案】 ，，。 【解析】 α 是第一象限角时，与例1只差一个符号。于是，，，。可见改变象限会改变 cosα 的符号，从而改变结论，必须先定象限再定符号。 任务2（小组合作）：小组合作完成教材练习6.2第3题、第4题，把结果写成最简形式后派代表展示，其余小组核对。第3题：已知，，求 sinθ 和 cosθ 的值；第4题：化简、、、。 【答案】 第3题：，；第4题：，，，。 【解析】 第3题由得，所以，再逆用二倍角公式得、。第4题把每个式子化成二倍角公式的左边：前三式分别是、平方差与完全平方的化简，最后一式通分后分母为、分子为，即。 任务3（学生展示）：请两名学生分别说明教材“想一想”的其他解法——例1中求 tan2α 还有别的方法吗？例2中求 cosθ 还有别的方法吗？ 【答案】 例1可先求出、，再用求值；例2可由或求值。 【解析】 一题多解的关键是先识别已知与所求之间隐含的二倍角关系，再选择步骤最少的路径；比较不同解法能加深对公式正用、逆用的理解。 通过同桌互检变式、小组合作完成教材练习和学生展示一题多解，暴露并纠正定号与选式上的典型错误，提升合作与表达能力。 课堂练习 1．求值：。 【答案】 。 【解析】 逆用二倍角正弦公式，把式子看成的右边，取，得。 2．求值：。 【答案】 。 【解析】 逆用二倍角余弦公式的平方差形式，取，得。 3．已知，求的值。 【答案】 。 【解析】 。 4．化简：。 【答案】 。 【解析】 。 5．已知，且 θ 是第二象限角，求的值。 【答案】 。 【解析】 因为 θ 是第二象限角，所以。于是。 6．证明：。 【答案】 原等式成立。 【解析】 ，所以原等式成立。 按公式逆用求值、由已知函数值求倍角、化简、证明逐级递进，检测学生能否在含象限条件时正确确定符号并规范书写解题过程。 课堂小结 1．二倍角公式由两角和公式令得到，体现了由一般到特殊的思想方法。 2．三式本体：；；。 3．余弦二倍角有三种等价形式，要按已知条件选用：已知 sinα 用，已知 cosα 用。 4．公式可以正用、逆用和变形用：逆用能把、化成、；变形用可得升幂、降幂式，并由此得到用的已知值求的正弦、余弦的公式，正负号由象限决定。 5．应用方法：先定象限定符号，再选合适的公式形式；化简与证明一般先化倍角为单角，再因式分解、约分。 6．易错点：正切二倍角公式要求；注意区分与；不要漏掉由象限确定的符号。 以推导方法、公式结构、形式选用、适用条件与易错点为线索分点总结，帮助学生形成可迁移的二倍角公式应用路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课由两角和公式特殊化引入，学生对由一般到特殊的推导比较接受；借助结构对比讲解余弦的三种形式较为有效，但部分学生在由已知函数值求倍角值时仍会漏判象限符号，个别学生把与混淆。后续可把定号环节单列为一步板书，增加一道“先定象限、再选公式”的对比练习，并在小结后用一分钟限时复述三式与适用条件，帮助学生固化结构与易错点。 学科网（北京）股份有限公司 $