6.1.3 两角和与差的正切公式（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】

高教版第三版《数学》 拓展模块一（下册） 第六章 三角计算 6.1.3 两角和与差的正切公式 学习目标 1．理解两角和与差的正切公式的推导思路，掌握公式的结构特征与成立条件。 2．能运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明。 3．在推导与比较中发展逻辑推理与数学运算素养，养成先判断条件再代入运算的习惯。 教学导入 前两课时我们得到了两角和与差的余弦公式和正弦公式： ，，，。 我们知道，的正弦、余弦都可以用α、β的正弦与余弦表示，那么±的正切，能否用α、β的正切来表示呢？ 要回答这个问题，可以从同角三角函数基本关系式出发，把正切化为正弦与余弦的比来研究。 一、两角和、差的正切公式的推导 由公式、和，可得 当时，得到 将公式中的替换为，可得 二、两角和与差的正切公式及成立条件 于是，我们得到两角和与差的正切公式： ； 。 公式中、的取值应使分式有意义。 公式的结构与使用注意 两式的分子分别是两角正切的和与差，分母分别是1减去（两角和）、1加上（两角差）两角正切之积。使用公式时要注意：分母，且、都存在，即（k为整数）。 即时训练：公式结构与直接求值 （1）两角和的正切公式的分母是1与tanαtanβ的差还是和？两角差的正切公式呢？ 【答案】两角和的正切公式的分母是，两角差的正切公式的分母是。 （2）已知，，求的值。 。 【解析】代入两角和的正切公式即可；因为分母不为零，公式可以使用。 例7：把非特殊角拆成两个特殊角的差求值 例7 求的值。 。 【解析】把非特殊角15°写成两个特殊角的差，代入两角差的正切公式后化简： 。 例8：已知单角正切值求两角和的正切值 例8 已知，求的值。 。 【解析】π/4是特殊角，，把所求角写成两个角的和直接代入公式：。 例9：公式的逆用与“1”的代换 例9 求下列各式的值。 （1）；（2）。 提示：灵活应用可以达到简化解题的目的。 例9：公式的逆用与“1”的代换 （1）；（2）。 第（1）问式子的结构与两角和的正切公式的右边一致，逆用公式：；第（2）问把分子中的1代换为，使式子化为公式的标准形式：。 课堂背诵（一）：第1、2题 1．填空：两角和的正切公式是＝ ；两角差的正切公式是＝ 。 ；。 2．口答：两角和与差的正切公式的分子、分母分别是什么？ 分子是两角正切的和（两角和）或差（两角差），分母是1减去（两角和）或1加上（两角差）两角正切之积。 课堂背诵（二）：第3题 3．填空：公式中α、β的取值应使分式有意义，即 ≠0，且tanα、tanβ都存在（α、β≠）。 分母（两角和取，两角差取）。 师生互动：任务一 案例讨论（国画观画视角） 任务1（案例讨论）：某画展中展出一幅高度为0.6 m的国画，其下端距离地面1.8 m。根据经验，当观画者的视线与画的上下端所成的视角最大时，观画效果最好。如图6-3所示，有一位同学站在位置P处观看这幅国画，其水平视线距离地面1.6 m，那么他站在距离国画0.3 m、0.4 m和0.5 m中的哪个位置时，观画效果最好呢？（提示：对于两个锐角，较大的角的正切值较大） 师生互动：任务一 案例讨论（国画观画视角） 【答案】站在距离国画0.4 处观画效果最好。 【解析】设站位到画面的水平距离为 m。画面下端距地面1.8 m、上端距地面2.4 m，观画者眼睛距地面1.6 m，因此画的上端、下端高出视线分别为0.8 m和0.2 m。把视线与画的上端、下端所成的角分别记为γ、δ，则，，视角。由两角差的正切公式得。把x=0.3、0.4、0.5分别代入，得tanθ的值约为0.72、0.75、0.73，其中0.75最大，所以站在距离国画0.4 m处视角最大、观画效果最好。 师生互动：任务二 小组合作 任务2（小组合作）：教材练习6.1.3第1题与第2题。各组完成练习6.1.3第1题（求tan75°、tan105°，以及两个逆用公式求值的式子），和第2题求、时与的值；各组派代表展示结果，其余小组核对符号。 【答案】；（2）；（3）；（4）； ，。 师生互动：任务二 小组合作 任务2（小组合作）：教材练习6.1.3第1题与第2题。各组完成练习6.1.3第1题（求tan75°、tan105°，以及两个逆用公式求值的式子），和第2题求、时与的值；各组派代表展示结果，其余小组核对符号。 【解析】第（1）（2）小题把75°、105°分别写成、后代入两角和的正切公式，105°的结果为负数；第（3）小题取、β=30°逆用两角和的正切公式；第（4）小题把看作tan60°，逆用两角差的正切公式；第2小题把已知的两个正切值直接代入两角和与差的正切公式。 师生互动：任务三 学生展示 任务3（学生展示）：请两名学生上黑板展示：一人证明教材练习6.1.3第3题：；另一人证明习题6.1 B组第4题：如果α、β都是锐角，且，，求证。其余同学检查每一步的符号与条件。 【答案】两题都成立：；。 师生互动：任务三 学生展示 任务3（学生展示）：请两名学生上黑板展示：一人证明教材练习6.1.3第3题：；另一人证明习题6.1 B组第4题：如果α、β都是锐角，且，，求证。其余同学检查每一步的符号与条件。 【解析】第3题把分子中的1代换为，即，再由45°与π/4表示同一个角得证；B组第4题先由两角和的正切公式得，又α、β都是锐角，所以0<α+β<π，在(0,π)内正切值为1的角只有π/4，从而α+β=π/4。 课堂练习（一）：公式的逆用 1．计算：。 【答案】。 【解析】式子的结构与两角和的正切公式的右边一致，取、β=50°逆用公式，得tan120°；注意120°是钝角，它的正切值为负数。 课堂练习（二）：由单角正切值求两角和正切 2．已知，求的值。 【答案】。 【解析】把所求角写成两个角的和，用两角和的正切公式直接代入求值。 课堂练习（三）：含负值正切的代入求值 3．已知，，求的值。 【答案】。 【解析】代入两角和的正切公式时，注意分母是1减去两角正切之积，而其中一个正切值为负数，所以分母为1加上它们的绝对值之积，计算结果为-1。 课堂练习（四）：由两角和正切值反求单角正切 4．已知，求的值。 【答案】。 【解析】设，由两角和的正切公式得，即，解得；此时分母1-t≠0，符合要求。 课堂练习（五）：判断公式是否对任意角成立 5．判断“对任意角α、β，都成立”是否正确，并说明理由。 【答案】不正确。 【答案】公式中的α、β的取值应使分式有意义：当或不存在（例如）时式子无意义；当（例如α=β=）时分母为零，式子同样无意义。所以只有分母不为零且tanα、tanβ都存在时该式才成立。 课堂小结 1．两角和与差的正切公式：，。 2．推导思路：先把写成，代入两角和的正弦、余弦公式后，分子分母同除以；再把β换成得两角差的正切公式。 3．成立条件：公式中α、β的取值应使分式有意义，即分母，且、都存在。 4．基本技巧：公式可以逆用；把常数1代换为，或把代换为，都能把式子化成公式的标准形式。 课堂小结 5．三组公式统称和角公式，可以用来计算三角函数值、化简三角函数式和证明三角恒等式。 6．易错点：忽略分母不为零以及tanα、tanβ存在的条件；混淆两角和与差公式分子、分母的符号，在代换1或时忘记同时调整分母中的符号。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $