6.1.3 两角和与差的正切公式（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】

高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】 第6章 三角计算 6.1.3 两角和与差的正切公式 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在前两课时已经得到两角和与差的余弦公式和正弦公式的基础上展开本课：先由“正切能否用两个角的正切表示”提出问题，再借助同角三角函数基本关系式把正切化为正弦与余弦之比，将分子、分母同除以两角余弦之积推出两角和的正切公式，并以−β代替β得到两角差的正切公式，最后给出公式成立的条件和三个典型例题。 本课是6.1节最后一课时，是本节公式体系的完成环节，既依赖前两课时的余弦、正弦公式与同角关系，又通过“三组公式统称和角公式”为二倍角公式以及后续解三角形、三角计算的应用提供工具。 学情分析 学生已经掌握两角和与差的余弦、正弦公式与同角三角函数基本关系式，具备基本的公式代入与化简能力；但容易忽略公式成立的条件，在把1或√3代换为特殊角的正切值时容易出错，对分母中符号的变化也常常处理不当。 教学目标 1．理解两角和与差的正切公式的推导思路，掌握公式的结构特征与成立条件。 2．能运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明。 3．在推导与比较中发展逻辑推理与数学运算素养，养成先判断条件再代入运算的习惯。 教学重难点 教学重点：两角和与差的正切公式及其成立条件。 教学难点：理解“切化弦”并同除以两角余弦之积的推导思路，灵活运用公式逆用和“1”的代换技巧。 教学方法 问题探究法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 前两课时我们得到了两角和与差的余弦公式和正弦公式： ，，，。 情境与问题。我们知道，的正弦、余弦都可以用α、β的正弦与余弦表示，那么±的正切，能否用α、β的正切来表示呢？ 要回答这个问题，可以从同角三角函数基本关系式出发，把正切化为正弦与余弦的比来研究。 先回顾两角和与差的余弦、正弦公式，再由正切能否用两个角的正切表示形成认知需要，自然引出本课课题。 新知讲授 一、两角和的正切公式 由公式、和，可得 当时，得到 二、两角差的正切公式 将公式中的替换为，可得 三、两角和与差的正切公式及成立条件 于是，我们得到两角和与差的正切公式： ； 。 公式中、的取值应使分式有意义。 两式的分子分别是两角正切的和与差，分母分别是1减去（两角和）、1加上（两角差）两角正切之积。使用公式时要注意：分母，且、都存在，即（k为整数）。 即时训练 （1）填空：两角和的正切公式的分母是1与tanαtanβ的差还是和？两角差的正切公式呢？ 【答案】 两角和的正切公式的分母是，两角差的正切公式的分母是。 （2）已知，，求的值。 【答案】 。 【解析】 代入两角和的正切公式即可；因为分母不为零，公式可以使用。 典型例题 例7 求的值。 【答案】 。 【解析】 把非特殊角15°写成两个特殊角的差，代入两角差的正切公式后化简：。 例8 已知，求的值。 【答案】 。 【解析】 是特殊角，，把所求角写成两个角的和直接代入公式：。 例9 求下列各式的值。 （1）；（2）。 读一读：灵活应用可以达到简化解题的目的。 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 第（1）问式子的结构与两角和的正切公式的右边一致，逆用公式：；第（2）问把分子中的1代换为，使式子化为公式的标准形式：。 按提出问题、切化弦推导、−β代换、公式本体与成立条件、即时训练和三个教材例题的顺序展开，用对比和即时训练逐点回收公式结构与适用条件。 课堂背诵 1．填空：两角和的正切公式是＝＿＿＿＿＿＿＿＿；两角差的正切公式是＝＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】 ；。 2．口答：两角和与差的正切公式的分子、分母分别是什么？ 【答案】 分子是两角正切的和（两角和）或差（两角差），分母是1减去（两角和）或1加上（两角差）两角正切之积。 3．填空：公式中α、β的取值应使分式有意义，即＿＿＿＿＿＿≠0，且tanα、tanβ都存在（α、β≠）。 【答案】 分母（两角和取，两角差取）。 用公式补全、结构复述和成立条件填空做全课整体回顾，检查学生能否准确写出公式并说出使用条件。 师生互动 任务1（案例讨论）：某画展中展出一幅高度为0.6 m的国画，其下端距离地面1.8 m。根据经验，当观画者的视线与画的上下端所成的视角最大时，观画效果最好。如图6-3所示，有一位同学站在位置P处观看这幅国画，其水平视线距离地面1.6 m，那么他站在距离国画0.3 m、0.4 m和0.5 m中的哪个位置时，观画效果最好呢？（提示：对于两个锐角，较大的角的正切值较大） 【答案】 站在距离国画0.4 处观画效果最好。 【解析】 设站位到画面的水平距离为 m。画面下端距地面1.8 m、上端距地面2.4 m，观画者眼睛距地面1.6 m，因此画的上端、下端高出视线分别为0.8 m和0.2 m。把视线与画的上端、下端所成的角分别记为γ、δ，则，，视角。由两角差的正切公式得。把x=0.3、0.4、0.5分别代入，得tanθ的值约为0.72、0.75、0.73，其中0.75最大，所以站在距离国画0.4 m处视角最大、观画效果最好。 任务2（小组合作）：教材练习6.1.3第1题与第2题。各组完成练习6.1.3第1题（求tan75°、tan105°，以及两个逆用公式求值的式子），并求、时与的值；各组派代表展示结果，其余小组核对符号。 【答案】 （1） ；（2）；（3）；（4）； ，。 【解析】 第（1）（2）小题把75°、105°分别写成、后代入两角和的正切公式，105°的结果为负数；第（3）小题取、β=30°逆用两角和的正切公式；第（4）小题把看作tan60°，逆用两角差的正切公式；第2小题把已知的两个正切值直接代入两角和与差的正切公式。 任务3（学生展示）：请两名学生上黑板展示——一人证明教材练习6.1.3第3题：；另一人证明习题6.1 B组第4题：如果α、β都是锐角，且，，求证。其余同学检查每一步的符号与条件。 【答案】 两题都成立：；。 【解析】 第3题把分子中的1代换为，即，再由45°与表示同一个角得证；B组第4题先由两角和的正切公式得，又α、β都是锐角，所以0<α+β<π，在(0,π)内正切值为1的角只有，从而α+β=。 通过观画案例讨论、小组合作完成教材练习和学生上台展示证明，把公式用于实际问题并暴露条件判断与符号处理上的错误。 课堂练习 1．计算：。 【答案】 。 【解析】 式子的结构与两角和的正切公式的右边一致，取、β=50°逆用公式，得tan120°；注意120°是钝角，它的正切值为负数。 2．已知，求的值。 【答案】 。 【解析】 把所求角写成两个角的和，用两角和的正切公式直接代入求值。 3．已知，，求的值。 【答案】 。 【解析】 代入两角和的正切公式时，注意分母是1减去两角正切之积，而其中一个正切值为负数，所以分母为1加上它们的绝对值之积，计算结果为-1。 4．已知，求的值。 【答案】 。 【解析】 设，由两角和的正切公式得，即，解得；此时分母1-t≠0，符合要求。 5．判断“对任意角α、β，都成立”是否正确，并说明理由。 【答案】 不正确。 【解析】 公式中的α、β的取值应使分式有意义：当或不存在（例如）时式子无意义；当（例如α=β=）时分母为零，式子同样无意义。所以只有分母不为零且tanα、tanβ都存在时该式才成立。 按公式逆用、代入求值、逆向求角的正切值、条件辨析逐级递进，检测学生能否正确判断条件并规范书写。 课堂小结 1．两角和与差的正切公式：，。 2．推导思路：先把写成，代入两角和的正弦、余弦公式后，分子分母同除以；再把β换成得两角差的正切公式。 3．成立条件：公式中α、β的取值应使分式有意义，即分母，且、都存在。 4．基本技巧：公式可以逆用；把常数1代换为，或把代换为，都能把式子化成公式的标准形式。 5．三组公式统称和角公式，可以用来计算三角函数值、化简三角函数式和证明三角恒等式。 6．易错点：忽略分母不为零以及tanα、tanβ存在的条件；混淆两角和与差公式分子、分母的符号，在代换1或√3时忘记同时调整分母中的符号。 以公式本体、推导思路、成立条件、基本技巧和易错点为线索分点总结，帮助学生形成可迁移的正切公式应用路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课由“正切能否用两个角的正切表示”提出问题，学生对“切化弦”的推导思路接受较好；但在使用公式时，部分学生容易忽略分母不为零以及tanα、tanβ存在的条件，把1代换成tan45°时也常忘记同时调整分母中的符号。后续可把推导中的同除步骤再分解为两个小问题，并在例题之后追加一组先判断条件再代入的辨析练习，帮助学生把公式结构与适用条件一起记住。 学科网（北京）股份有限公司 $