6.1.2 两角和与差的正弦公式（课件）-高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】

高教版第三版《数学》 拓展模块一（下册） 第六章 三角计算 6.1.2 两角和与差的正弦公式 学习目标 1．理解由诱导公式与两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式的过程，体会化归思想。 2．掌握两角和与差的正弦公式的结构特征与适用条件，理解它与两角和与差的余弦公式的联系与区别。 3．能运用两角和与差的正弦公式进行求值、化简与证明，并能结合同角三角函数基本关系式与角的象限确定符号。 教学导入 上一课时我们学习了两角和与差的余弦公式： ，。 可以用、的正弦、余弦来表示。那么，的正弦是否也可以用、的正弦、余弦来表示呢？本节就将学这个问题。 推导两角和的正弦公式 由，有 即 这一推导先用诱导公式把正弦化归为余弦：把看作一个角，用两角差的余弦公式展开，再由、化简，体现了把新问题化归为已知问题的思想。 以−β代替β推导两角差的正弦公式 在上式中，用代替，可得 由诱导公式、，即 两角和与差的正弦公式：结构特征与适用条件 于是，我们得到两角和与差的正弦公式： ； 与两角和与差的余弦公式对照：右边是“同名相乘、符号相反”，右边是“异名相乘、符号相同”，两式可对照记忆。 。 公式对任意角α、β都成立。观察两式可以发现：两式的右边都是正弦乘余弦、余弦乘正弦，即“异名相乘”；中间符号的规律是“和取加、差取减”，两角和的正弦中间是加号，两角差的正弦中间是减号。 例4　求sin15°的值 例4　求的值。 【答案】。 【解析】。 例5　同角关系与正弦公式联用 例5　已知，，且α和β都是第二象限角，求的值。 【答案】。 【解析】因为，，并且α和β都是第二象限角，所以，。因此，。 例6　识别并逆用正弦和角公式 例6　求下列各式的值。（1）；（2）。 【答案】（1）1；（2）。 【解析】（1）；（2）。 即时训练：公式默写与两式结构比较 即时训练1　填空：两角和的正弦公式是 ；两角差的正弦公式是 。 【答案】；。 即时训练2　口答：与两式右边的结构有什么不同？ 【答案】右边是正弦乘余弦加余弦乘正弦，函数名不同，即“异名相乘”；右边是余弦乘余弦减正弦乘正弦，是“同名相乘”。 课堂背诵（一）：第1、2题 1．填空：两角和的正弦公式是 ；两角差的正弦公式是 。 【答案】；。 2．口答：两角和与差的正弦公式右边的函数名有什么特点？两式中间符号的规律是什么？ 【答案】右边的函数名不同，都是正弦乘余弦加上余弦乘正弦，即“异名相乘”；中间符号的规律是“和取加、差取减”。 课堂背诵（二）：第3题 3．填空：公式对任意角α、β都成立。用公式求非特殊角的正弦值时，要先把非特殊角化为 ，再代入公式；由已知的正弦（余弦）值求同角余弦（正弦）值时，要先由角所在的 确定符号。 【答案】两个特殊角的和或差；象限。 师生互动1（同桌互检） 任务1（同桌互检）：同桌两人分别取α=30°、β=60°，各自计算与，判断是否恒等于，并说明理由。 【答案】不成立。取α=30°、β=60°，，而，两者不相等，所以。 【解析】两角和的正弦公式右边是“异名相乘”的两个乘积之和，不是两个正弦的和；正弦记号不能拆开分配到括号内。 师生互动2（小组合作） 任务2（小组合作）：小组合作完成教材练习6.1.2第2题（1）（2）的求值：；。各组把结果写成最简形式后派代表展示，其余小组核对。 【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）式符合两角和的正弦公式的结构，逆用得；（2）式符合两角差的正弦公式的结构，逆用得。 师生互动3（学生展示） 任务3（学生展示）：请一名学生上黑板，在中以代替β，推出两角差的正弦公式；其余同学检查每一步的符号变化。 【答案】以−β代替β，得，由诱导公式、，得。 【解析】这一步的关键是正确使用诱导公式：正弦函数是奇函数，负角化正角时负号要提到函数外，这正是两角差的正弦公式中间取减号的原因。 课堂练习1 1．计算：。 【答案】 【解析】。 课堂练习2 2．求的值。 【答案】 【解析】。 课堂练习3 3．化简：。 【答案】 【解析】。 课堂练习4 4．已知且，且，求的值。 【答案】0。 【解析】由且α为第二象限角，得；由且β为第一象限角，得。所以。 课堂练习5 5．判断对任意角α、β是否都成立。若不成立，请举出一组反例并说明理由。 【答案】不成立。 【解析】取α=30°、β=60°，，而，两者不相等。两角和的正弦公式右边是两个乘积的和，不是两个正弦的和，所以原式对任意角α、β不成立。 课堂小结（一） 1．本课从“两个任意角的和（或差）的正弦能否用两角的正弦、余弦表示”出发，由诱导公式把正弦化归为余弦，再借助两角差的余弦公式推出两角和的正弦公式。 2．推导的关键是把化归过程中出现的中间角整体看作一个角，用两角差的余弦公式展开，这体现了把新问题化归为已知问题的化归思想。 3．两角和的正弦公式是；以代替β，即得两角差的正弦公式。 课堂小结（二） 4．两角和与差的正弦公式是“异名相乘、符号相同”：右边都是正弦乘余弦加余弦乘正弦；中间取加号，中间取减号。与余弦公式“同名相乘、符号相反”对照记忆。 5．应用公式时，先把非特殊角拆成两个特殊角的和或差再代入；由已知正弦（余弦）值求同角余弦（正弦）值时，要先由角所在的象限确定符号。 6．易错点：，正弦记号不能拆开分配到括号内，计算时还要注意每一步的符号。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $