6.1.2 两角和与差的正弦公式（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】

高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】 第6章 三角计算 6.1.2 两角和与差的正弦公式 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在上一课时两角和与差的余弦公式的基础上展开：先由两个任意角的和（或差）的正弦能否用两角的正弦、余弦表示提出问题，再用诱导公式把正弦化归为余弦，借助两角差的余弦公式推出两角和的正弦公式，以−β代替β得到两角差的正弦公式，最后用三个例题示范拆角求值、与同角三角函数基本关系式联用以及识别并逆用公式。 本课是6.1节第二课时，承接余弦公式，为下一课时两角和与差的正切公式以及二倍角公式、解三角形作准备；正弦公式“异名相乘、符号相同”的结构需要与余弦公式对照记忆，是本节公式体系承上启下的中间环节。 学情分析 学生已掌握诱导公式、同角三角函数基本关系式和两角和与差的余弦公式，具备把新问题化归为已知问题的初步经验，但容易把两角和与差的正弦公式误记为两角正弦的和或差，对化归过程中把中间角整体看作一个角、以及由角所在象限确定三角函数值的符号还不够熟练。教学中宜借助公式对照、推导溯源和反例辨析，帮助学生理解公式结构、辨清适用条件。 教学目标 1．理解由诱导公式与两角和与差的余弦公式推导两角和与差的正弦公式的过程，体会化归思想。 2．掌握两角和与差的正弦公式的结构特征与适用条件，理解它与两角和与差的余弦公式的联系与区别。 3．能运用两角和与差的正弦公式进行求值、化简与证明，并能结合同角三角函数基本关系式与角的象限确定符号。 教学重难点 教学重点：两角和与差的正弦公式的推导过程、结构特征与适用条件。 教学难点：理解用诱导公式把正弦化归为余弦的推导思路，辨析正弦公式“异名相乘、符号相同”与余弦公式“同名相乘、符号相反”的区别，避免混淆两式。 教学方法 化归引导法、公式对照法、讲练结合法、讨论辨析法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 上一课时我们学习了两角和与差的余弦公式： ，。 情境与问题。上一节学习了的余弦，即可以用、的正弦、余弦来表示。那么，的正弦是否也可以用、的正弦、余弦来表示呢？ 由余弦公式复习与教材情境问题提出“两个任意角的正弦能否用两角的正弦、余弦表示”，形成认知冲突，明确本课要建立两角和与差的正弦公式。 新知讲授 由，有 即 这一推导先用诱导公式把正弦化归为余弦：把看作一个角，用两角差的余弦公式展开，再由、化简，体现了把新问题化归为已知问题的思想。 在上式中，用代替，可得 由诱导公式、，即 于是，我们得到两角和与差的正弦公式： ； 。 公式对任意角α、β都成立。观察两式可以发现：两式的右边都是正弦乘余弦、余弦乘正弦，即“异名相乘”；中间符号的规律是“和取加、差取减”，两角和的正弦中间是加号，两角差的正弦中间是减号。 与两角和与差的余弦公式对照：右边是“同名相乘、符号相反”，右边是“异名相乘、符号相同”，两式可对照记忆。 例4　求的值。 【答案】 。 【解析】 。 例5　已知，，且α和β都是第二象限角，求的值。 【答案】 。 【解析】 因为，，并且α和β都是第二象限角，所以，。因此，。 例6　求下列各式的值。 （1）； （2）。 【答案】 （1）1；（2）。 【解析】 （1）； （2）。 即时训练1　填空：两角和的正弦公式是＿＿＿＿＿＿＿＿；两角差的正弦公式是＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】 ；。 即时训练2　口答：与两式右边的结构有什么不同？ 【答案】 右边是正弦乘余弦加余弦乘正弦，函数名不同，即“异名相乘”；右边是余弦乘余弦减正弦乘正弦，是“同名相乘”。 按化归推导、−β代换、公式本体与结构对照、三个教材例题的顺序展开，用公式对照和即时训练逐点回收正弦公式的结构与符号规律。 课堂背诵 1．填空：两角和的正弦公式是＿＿＿＿＿＿＿＿；两角差的正弦公式是＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】 ；。 2．口答：两角和与差的正弦公式右边的函数名有什么特点？两式中间符号的规律是什么？ 【答案】 右边的函数名不同，都是正弦乘余弦加上余弦乘正弦，即“异名相乘”；中间符号的规律是“和取加、差取减”。 3．填空：公式对任意角α、β都成立。用公式求非特殊角的正弦值时，要先把非特殊角化为＿＿＿＿＿＿＿＿，再代入公式；由已知的正弦（余弦）值求同角余弦（正弦）值时，要先由角所在的＿＿＿＿确定符号。 【答案】 两个特殊角的和或差；象限。 用公式补全、结构复述和适用条件填空做全课回顾，检查学生能否准确说出并写出两角和与差的正弦公式及其符号规律。 师生互动 任务1（同桌互检）：同桌两人分别取α=30°、β=60°，各自计算与，判断是否恒等于，并说明理由。 【答案】 不成立。取α=30°、β=60°，，而，两者不相等，所以。 【解析】 两角和的正弦公式右边是“异名相乘”的两个乘积之和，不是两个正弦的和；正弦记号不能拆开分配到括号内。 任务2（小组合作）：小组合作完成教材练习6.1.2第2题（1）（2）的求值：；。各组把结果写成最简形式后派代表展示，其余小组核对。 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 （1）式符合两角和的正弦公式的结构，逆用得；（2）式符合两角差的正弦公式的结构，逆用得。 任务3（学生展示）：请一名学生上黑板，在中以代替β，推出两角差的正弦公式；其余同学检查每一步的符号变化。 【答案】 以−β代替β，得，由诱导公式、，得。 【解析】 这一步的关键是正确使用诱导公式：正弦函数是奇函数，负角化正角时负号要提到函数外，这正是两角差的正弦公式中间取减号的原因。 通过同桌互检辨析反例、小组合作完成教材练习和学生上台展示代换推导，纠正把正弦记号拆开分配的错误理解，固化符号规律。 课堂练习 1．计算：。 【答案】 。 2．求的值。 【答案】 。 3．化简：。 【答案】 。 4．已知且，且，求的值。 【答案】 0。 【解析】 由且α为第二象限角，得；由且β为第一象限角，得。所以。 5．判断对任意角α、β是否都成立。若不成立，请举出一组反例并说明理由。 【答案】 不成立。 【解析】 取α=30°、β=60°，，而，两者不相等。两角和的正弦公式右边是两个乘积的和，不是两个正弦的和，所以原式对任意角α、β不成立。 按逆用公式、拆角求值、化简、已知三角函数值求值到辨析说理逐级递进，检测学生能否在含象限条件时正确确定符号并规范书写。 课堂小结 1．本课从“两个任意角的和（或差）的正弦能否用两角的正弦、余弦表示”出发，由诱导公式把正弦化归为余弦，再借助两角差的余弦公式推出两角和的正弦公式。 2．推导的关键是把化归过程中出现的中间角整体看作一个角，用两角差的余弦公式展开，这体现了把新问题化归为已知问题的化归思想。 3．两角和的正弦公式是；以代替β，即得两角差的正弦公式。 4．两角和与差的正弦公式是“异名相乘、符号相同”：右边都是正弦乘余弦加余弦乘正弦；中间取加号，中间取减号。与余弦公式“同名相乘、符号相反”对照记忆。 5．应用公式时，先把非特殊角拆成两个特殊角的和或差再代入；由已知正弦（余弦）值求同角余弦（正弦）值时，要先由角所在的象限确定符号。 6．易错点：，正弦记号不能拆开分配到括号内，计算时还要注意每一步的符号。 以问题提出、推导方法、公式结构、两式对照、适用条件和易错点为线索分点总结，帮助学生形成可迁移的两角和与差正弦公式应用路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课由余弦公式和情境问题引入，学生对把正弦化归为余弦的推导思路接受较好；但部分学生把化归过程中的中间角看作一个角时仍感吃力，个别学生把两角和的正弦写成两角正弦的和。后续可放慢推导关键步骤的讲解，增加正弦公式与余弦公式的对照示范，并在小结后补充辨析练习，帮助学生分清两式的结构与符号规律。 学科网（北京）股份有限公司 $