6.1.1 两角和与差的余弦公式（教案）-高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】

高教版第三版《数学 拓展模块一（下册）》【上好课】 第6章 三角计算 6.1.1 两角和与差的余弦公式 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在《数学 基础模块》第4章三角函数与诱导公式的基础上展开：先由诱导公式左边都是特殊角与任意角的和（或差），提出两个角都是任意角时的问题；再在单位圆中用两点间距离公式推出两角差的余弦公式，以−β代替β得到两角和的余弦公式；最后用三个例题示范拆角求值、与同角三角函数基本关系式联用和证明恒等式。 本课是6.1节第一课时，是全章三角恒等变换的起点，既为后续两角和与差的正弦、正切公式提供推导基础，也为二倍角公式、解三角形和三角计算的应用作准备。 学情分析 学生已经学过任意角三角函数与诱导公式，能处理特殊角与任意角的和、差，但容易把两角差的余弦误认为两个角余弦的差，对借助单位圆和两点间距离公式推导公式的过程也比较陌生。教学中宜借助图形直观、公式结构对比和反例辨析，帮助学生建立对公式结构与适用条件的认识。 教学目标 1．理解两角和与差的余弦公式的推导过程，掌握公式的结构特征与适用条件。 2．能依据两角和与差的余弦公式和同角三角函数基本关系式，完成把非特殊角化为两个特殊角的和或差的求值，以及由已知三角函数值求两角和与差的余弦值的任务。 3．通过在单位圆中数形结合地推导公式的探究活动，发展直观想象与逻辑推理素养，形成先观察公式结构再代入运算的习惯。 教学重难点 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导过程、结构特征与适用条件。 教学难点：理解用单位圆和两点间距离公式推导公式的思路，辨析公式的“同名相乘、符号相反”，避免把余弦记号拆开分配到括号内。 教学方法 情境导入法、数形结合法、对比辨析法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察第6章章首页图片，阅读章导语。 章导语指出：早在公元前，人们就开始利用三角学的知识观测天体运行、测量建筑高度、确定航行路线.我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时，编撰了专门论述测量问题的《重差》一卷，有人把它称为实用三角法的启蒙.经过漫长的发展，三角学成为以三角恒等变换和解三角形为主要研究对象的学科，并广泛应用于测量、航海、物理、几何及天体运行等生产实践和科学研究。本章将在《数学 基础模块》第4章三角函数的基础上，继续学习三角恒等变换以及解三角形等三角计算知识。 在基础模块，我们学习了三角函数的诱导公式： ，，。 ，，。 ，，。 观察这些公式可以发现，等式左边都是两个角的和（或差）的三角函数，其中第一个角是特殊角，第二个角是任意角。如果这两个角都是任意角，那么它们的和（或差）的三角函数又是怎样的呢？ 现实中，很多与三角函数有关的实际问题常常涉及两个任意角的和（或差）的三角函数。为此，我们进一步学习两角和与差的三角函数公式，本课先研究余弦的情形。 借章首页图片与章导语呈现本章研究对象，再由诱导公式只能处理特殊角与任意角的和差形成认知冲突，自然引出本课课题，为公式推导作准备。 新知讲授 情境与问题。早在公元2世纪，人们就推导出了两角和与差的余弦公式： ，。 随着时间的推移和研究的深入，现在数学中已很少使用公元2世纪的推导方法。那么现在是怎样推导两角差的余弦公式的呢？ 如图6-1所示，设单位圆与x轴正方向的交点为，角α、β和的终边与单位圆的交点分别为、和，则点、、、的坐标分别为、、、。 当、O、不在同一条直线上时，，且，因此，所以；当、O、在同一条直线上时，容易看出也有。 根据两点间的距离公式，可得 整理可得 由诱导公式，可得 在上式中，以代替，可得 即 于是，我们得到两角和与差的余弦公式： ； 。 公式对任意角α、β都成立。观察两式可以发现：两式的右边都是余弦乘余弦加上正弦乘正弦，即“同名相乘”；中间符号的规律是“和取减、差取加”，两角和的余弦中间是减号，两角差的余弦中间是加号。 辨析（教师补充，非教材原文）：有同学把两角差的余弦写成两个角余弦的差，即认为等于。取α=60°、β=30°验证：≈0.866，而≈−0.366，两者不相等。所以两角差的余弦不等于两个角余弦的差，余弦记号不能拆开分配到括号内。 例1　求的值。 【答案】 。 【解析】 。 例2　已知，，且α和β都是第一象限角，求的值。 【答案】 。 【解析】 因为，，且α和β都是第一象限角，所以，。因此。 例3　证明：。 【答案】 。 【解析】 因为，所以。 即时训练1　填空：＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】 。 即时训练2　口答：比较与两式，它们的右边有哪两处不同？ 【答案】 两式的右边都是余弦乘余弦加上正弦乘正弦，函数名相同；不同之处是两角和的余弦中间取减号，两角差的余弦中间取加号。 按情境与问题、单位圆推导、−β代换、公式本体与结构条件、三个教材例题的顺序展开，用图形直观、反例辨析和即时训练逐点回收公式结构。 课堂背诵 1．填空：两角差的余弦公式是＿＿＿＿＿＿＿＿；两角和的余弦公式是＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】 ；。 2．口答：两角和与差的余弦公式右边的函数名有什么特点？两式中间符号的规律是什么？ 【答案】 右边的函数名相同，都是余弦乘余弦加上正弦乘正弦，即“同名相乘”；中间符号的规律是“和取减、差取加”。 3．填空：公式对任意角α、β都成立。用公式求非特殊角的余弦值时，要先把非特殊角化为＿＿＿＿＿＿＿＿，再代入公式；由已知的正弦值求同角的余弦值时，要先由角所在的＿＿＿＿确定符号。 【答案】 两个特殊角的和或差；象限。 用公式补全、结构复述和适用条件填空做全课整体回顾，检查学生能否准确说出并写出两角和与差的余弦公式及其符号规律。 师生互动 任务1（同桌互检）：小明认为就等于。请同桌两人各取一组角（例如α=60°、β=30°）分别计算两边的值，判断小明的说法是否成立，并说明理由。 【答案】 小明的说法不成立。取α=60°、β=30°，，而，两者不相等，所以。 【解析】 两角差的余弦公式右边是“同名相乘”，是两个乘积的和，不是两个余弦的差；余弦记号不能拆开分配到括号内。 任务2（小组合作）：小组合作完成教材练习6.1.1第1题的化简与求值：；。各组把结果写成最简形式后派代表展示，其余小组核对。 【答案】 ；。 【解析】 第一小题把式子看成的右边，取α=55°、β=10°；第二小题把两个平方看成余弦乘余弦与正弦乘正弦，取α=β=22.5°，用两角和的余弦公式。 任务3（学生展示）：请一名学生上黑板，在中以代替β，推出两角和的余弦公式；其余同学检查每一步的符号变化。 【答案】 以−β代替β，得，由诱导公式、，得。 【解析】 这一步的关键是正确使用诱导公式：正弦函数是奇函数，负角化正角时负号要提到函数外，这正是两角和余弦公式中间取减号的原因。 通过同桌互检辨析反例、小组合作完成教材练习和学生上台展示代换推导，暴露并纠正把余弦记号拆开分配的错误理解。 课堂练习 1．计算：。 【答案】 。 2．求的值。 【答案】 。 3．化简：。 【答案】 。 4．已知且，且，求的值。 【答案】 。 【解析】 由且α为第二象限角，得；由且β为第三象限角，得。所以。 5．判断对任意角α、β是否都成立。若不成立，请举出一组反例并说明理由。 【答案】 不成立。 【解析】 取α=60°、β=30°，，而，两者不相等。两角差的余弦的右边是两个乘积的和，不是两个余弦的差，所以原式对任意角α、β不成立。 按公式逆用、拆角求值、已知三角函数值求值到辨析说理逐级递进，检测学生能否在含象限条件时正确确定符号并规范书写。 课堂小结 1．诱导公式只能处理特殊角与任意角的和（或差）；当两个角都是任意角时，就要用两角和与差的三角函数公式，本课先研究了余弦的情形。 2．两角差余弦公式的推导思路：在单位圆中设出、、、四点的坐标，由△O与△O全等得到，再用两点间距离公式建立等式，整理得。 3．以代替，由诱导公式、，得。 4．两角和与差的余弦公式是“同名相乘、符号相反”：两式右边都是余弦乘余弦加上正弦乘正弦；中间取减号，中间取加号，且公式对任意角α、β都成立。 5．应用公式时，先把非特殊角拆成两个特殊角的和或差再代入；由已知的正弦值、余弦值求同角的另一个三角函数值时，要先由角所在的象限确定符号。 6．易错点：，余弦记号不能拆开分配到括号内，计算时还要注意每一步的符号。 以问题提出、推导方法、公式结构、适用条件和易错点为线索分点总结，帮助学生形成可迁移的两角和与差余弦公式的应用路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课由章导语和诱导公式引入，学生对公式的由来比较有兴趣；借助单位圆图形讲解推导较为直观，但部分学生对两点间距离公式的展开与整理仍感到吃力，个别学生把写成。后续可把化简步骤放慢，增加一步一检查的板书示范，并在小结后追加一组辨析练习，帮助学生固化公式结构与符号规律。 学科网（北京）股份有限公司 $