【2027新考纲·广西】有理数指数幂与根式的互相转化（课件）-人教版基础模块上册【上好课】

人教版《数学》基础模块上册 第四章 指数函数与对数函数 有理数指数幂与根式的互相转化 封面待用户修改：本页沿用模板封面样式、图片与文字，未作改动；正式使用前请用户自行修改封面文字与配图。 学习目标 1．理解次方根、根式与分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化方法及有理数指数幂的运算法则。 2．能按定义条件把根式化为分数指数幂并完成求值，能正确运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方整理含字母的幂。 3．在由整数指数幂推广到有理数指数幂的过程中，通过对照互化与检验结果提升数学运算和逻辑推理素养，形成先看底数条件再计算的习惯。 教学导入：棋盘麦粒问题 问题引入 棋盘麦粒问题：相传一位大臣把国际象棋献给国王，国王答应满足他的一个愿望，大臣说就在棋盘上放一些麦粒。放麦粒时第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……一直到第64格，后面一格的麦粒数是前面一格的两倍。那么第64格应放多少粒？ 教学导入：棋盘麦粒问题 【答案】第64格应放粒。 【解析】第1格是1粒，第2格是2粒，第3格是2×2粒，依次类推，第格是−1个2连乘。到第64格就是63个2连乘，记作。 教师归纳：后面每一格的麦粒数都是前一格的2倍，格数增加时连乘的个数越来越多。用幂可以把很长的连乘写成简洁的形式，这正是本课要研究的指数幂。 考点梳理：整数指数幂的定义 知识建构与基础检测 一、整数指数幂 定义：一般地，是个相同因子的连乘积的缩写，称为幂的底数，称为幂的指数，并且规定等于。在这样的定义中必须是正整数，所以这样的幂称为正整数指数幂。 考点梳理：正整数指数幂的运算法则 正整数指数幂的运算法则： (1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加，； (2)幂的乘方，底数不变，指数相乘，； (3)同底数幂相除（大于，不为0），底数不变，指数相减，；(4)积的乘方等于各因式乘方的积，。 探索研究：在法则（3）中作了大于的限制，如果取消这种限制，法则（3）是否仍然成立？由且被除式与除式相同，得到（不为0）；再由得到。 考点梳理：零指数幂与负整数指数幂 规定：当底数不为0时，零次幂等于1，即（不为0）；当底数不为0、为正整数时，负整数指数幂等于底数次幂的倒数，即。 对于零指数和负整数指数，底数不能为0。 强化记忆：定义与运算法则 强化记忆：合上书复述正整数指数幂的定义，说出四条法则中底数与指数的变化规律，并指出零指数幂与负整数指数幂对底数的要求。 【答案】四条法则依次是：底数不变、指数相加；底数不变、指数相乘；底数不变、指数相减；各因式分别乘方。零指数幂与负整数指数幂都要求底数不为0。 【解析】四条法则都由乘方的意义直接得到；零指数幂与负整数指数幂由同底数幂相除取消指数大小限制后得到。 基础练习：整数指数幂的运算 基础练习1：计算：；。 【答案】；。 【解析】同底数幂相乘，指数相加，得；幂的乘方，指数相乘，得。 基础练习2：计算：；。 【答案】1；。 【解析】5是不为0的底数，所以；等于的倒数，即。 知识检测：零指数幂的值 知识检测1：判断“=0”是否正确，并说明理由。 【答案】不正确。 【解析】底数3不为0，所以。 考点梳理：n次方根与根式 二、次方根与根式 定义：一般地，如果（大于1，为正整数），那么称为的次方根。在实数范围内，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根没有意义；正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；0的任何次方根都是0。 正数的正次方根称为的次算术根。当次根号下有意义的时候，称为根式，称为根指数，称为被开方数。 考点梳理：根式的性质 根式的性质：（1）；（2）当为奇数时，，当为偶数时，。 强化记忆：方根的个数与性质 强化记忆：说出正数偶次方根的个数、负数偶次方根的情形，并判断当为偶数时等于什么。 【答案】正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根没有意义；当为偶数时，。 【解析】由方根的意义直接得到；偶次方根的被开方数不能为负数，开方结果取绝对值。 基础练习3：奇次方根与偶次方根 基础练习3：求值：；。 【答案】−2；2。 【解析】因为，所以；因为且取算术根，所以。 基础练习4：根式的性质 基础练习4：计算：；。 【答案】2；5。 【解析】当为奇数时，所以；当为偶数时，所以。 知识检测：负数的偶次方根 知识检测2：判断有偶次方根”是否正确，并说明理由。 【答案】不正确。 【解析】负数的偶次方根没有意义，所以−8没有偶次方根。 考点梳理：分数指数幂的定义 三、分数指数幂与有理数指数幂 探索研究：在法则（2）中，若幂指数取正分数，法则（2）是否仍成立？的三分之一次幂连乘3次得到，这说明把的三分之一次幂看作的三次方根是合理的。 定义：约定底数大于0，规定；当、为正整数且为既约分数时，；。这样就把根式与分数指数幂统一起来，它们可以互相转化。 考点梳理：有理数指数幂的运算法则 有理数指数幂的运算法则：当底数为正数、指数为有理数时，；；。 对比辨析：负整数指数幂与负分数指数幂都表示取倒数，例如，；同底数幂相除时，把除以改写为乘以，可以避免漏掉指数。 强化记忆：互化与运算法则 强化记忆：说出把根式化为分数指数幂时，根指数和被开方数的指数各放在什么位置，并复述三条运算法则。 【答案】根指数作分母，被开方数的指数作分子；同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方等于各因式乘方的积。 【解析】先把根式按定义写成分数指数幂，再用运算法则整理指数，最后按题目要求写回结果。 基础练习5：根式化为分数指数幂 基础练习5：用分数指数幂表示下列各式：；。 【答案】；。 【解析】第一个式子中根指数3作分母、被开方数的指数2作分子；第二个式子是分母中的根式，取负指数。 基础练习6：分数指数幂求值 基础练习6：计算：；。 【答案】3；。 【解析】等于27的三次方根，得3；等于的倒数，得。 知识检测：分数指数幂的底数条件 知识检测3：判断“”中可以取任意实数是否正确，并说明理由。 【答案】不正确。 【解析】分数指数幂按教材约定底数大于0，所以要在大于0的条件下使用。 课堂背诵：互化、运算法则与底数条件 背诵与复述 背诵1：分数指数幂，（、为正整数，为既约分数）。 【答案】，也可写成；。 【解析】根指数作分母、被开方数的指数作分子；负分数指数幂表示取倒数。 课堂背诵：互化、运算法则与底数条件 背诵2：有理数指数幂的三条运算法则：；；（、为正数，、为有理数）。 【答案】；；。 【解析】同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方等于各因式乘方的积。 课堂背诵：互化、运算法则与底数条件 背诵3：底数条件：（不为0）；（不为0，为正整数）；分数指数幂约定底数____。 【答案】1；；大于0。 【解析】零指数幂与负整数指数幂要求底数不为0；分数指数幂按教材约定底数大于0。 师生互动：例1 幂的运算与化简 例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】8；4；9；。 【解析】第（1）小题同底数幂相乘，底数不变、指数相加，得；第（2）小题把8写成2的三次方，用幂的乘方得；第（3）小题先把根式化为分数指数幂，；第（4）小题用积的乘方与幂的乘方分别整理，得。 师生互动：根式化为分数指数幂 练习：用分数指数幂表示下列各式：；；；；。 【答案】；；；；。 【解析】根指数作分母、被开方数的指数作分子；分母中的根式取负指数；商的根式分别把分子、分母化成分数指数幂。 教师归纳：根式与分数指数幂的互化要先看根指数和被开方数，含字母时先写成同底数幂再用运算法则合并指数，指数相加时不要漏掉负指数。 课堂练习：求值与含字母运算 1．计算：；；；；；。 【答案】5；；9；10；；。 【解析】；先取倒数再开平方，得；先开三次方再平方，得9；开四次方，得10；取的倒数，得；6¼化为后开平方再立方，得。 课堂练习：求值与含字母运算（2/2） 2．计算：；。 【答案】；。 【解析】同底数幂相乘除统一为指数相加，除以相当于指数加；字母均为正数，所以可以直接使用运算法则。 课堂小结 1．指数由整数推广到有理数的过程：先由同底数幂相除取消指数大小的限制，规定零指数幂与负整数指数幂，再用分数指数幂把根式与指数幂统一起来。 2．根式与分数指数幂可以互相转化：，（、为正整数，为既约分数），负分数指数幂取倒数，即。 课堂小结 3．有理数指数幂的三条运算法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方等于各因式乘方的积。 4．底数条件与符号处理：零指数幂与负整数指数幂要求底数不为0，分数指数幂约定底数大于0；当为偶数时，当为奇数时。 5．化简根式的一般顺序是先按定义化为分数指数幂，再用运算法则合并指数，最后按题目要求写回结果；棋盘麦粒问题中第64格的麦粒数记作，正是用幂表示连乘的例子。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $