【2027新考纲·广西】有理数指数幂与根式的互相转化（教案）-人教版基础模块上册【上好课】

人教版《数学》基础模块上册 《上好课》 有理数指数幂与根式的互相转化 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 考点分析 本课时对应2027年广西高等职业教育考试数学考纲（四）指数函数与对数函数第1条“理解有理数指数幂的概念，掌握其运算法则，掌握有理数指数幂与根式的互相转化方法”，属调整新增考点03，要求层级为理解与掌握。教材以人教版《数学》基础模块上册第四章4.1.1“实数指数”为载体，在初中学过的方根与整数指数幂基础上，把幂的指数由整数推广到有理数，建立方根、根式与分数指数幂之间的相互表示，为后续指数函数以及考点04对数的换底公式、考点05指数式与对数式的互相转化提供运算基础。 学情分析 学生已在初中学过整数指数幂与方根，能够计算简单的乘方和开方，但容易把根式与分数指数幂的互化方向写错，在负指数和底数条件的处理上出现遗漏。教学中以棋盘麦粒情境引出用幂表示连乘的需要，用对照的方式呈现根式与分数指数幂的互化，通过复述、口答和分层计算及时反馈，帮助学生把定义条件与运算步骤对应起来。 教学目标 1．理解次方根、根式与分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化方法及有理数指数幂的运算法则。 2．能按定义条件把根式化为分数指数幂并完成求值，能正确运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方整理含字母的幂。 3．在由整数指数幂推广到有理数指数幂的过程中，通过对照互化与检验结果提升数学运算和逻辑推理素养，形成先看底数条件再计算的习惯。 教学重难点 教学重点：根式与分数指数幂的互化方法；有理数指数幂的运算法则及其运用。 教学难点：幂的指数由整数推广到有理数时条件的变化，负指数与根式指数的处理。 教学方法 问题引导法、对比归纳法、讲练结合法、纠错讨论法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 问题引入 棋盘麦粒问题：相传一位大臣把国际象棋献给国王，国王答应满足他的一个愿望，大臣说就在棋盘上放一些麦粒。放麦粒时第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……一直到第64格，后面一格的麦粒数是前面一格的两倍。那么第64格应放多少粒？ 棋盘示意图： 【答案】第64格应放粒。 【解析】第1格是1粒，第2格是2粒，第3格是2×2粒，依次类推，第格是−1个2连乘。到第64格就是63个2连乘，记作。 学生先写出前几格的麦粒数并观察变化规律，教师归纳：后面每一格的麦粒数都是前一格的2倍，格数增加时连乘的个数越来越多。用幂可以把很长的连乘写成简洁的形式，这正是本课要研究的指数幂。 由棋盘麦粒的成倍增长引出很长的连乘，让学生感到需要更简洁的表示方法，从而产生学习指数幂的动机。 考点梳理 知识建构与基础检测 一、整数指数幂 定义：一般地，是个相同因子的连乘积的缩写，称为幂的底数，称为幂的指数，并且规定等于。在这样的定义中必须是正整数，所以这样的幂称为正整数指数幂。 正整数指数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，；幂的乘方，底数不变，指数相乘，；同底数幂相除（大于，不为0），底数不变，指数相减，；积的乘方等于各因式乘方的积，。 探索研究：在法则（3）中作了大于的限制，如果取消这种限制，法则（3）是否仍然成立？由且被除式与除式相同，得到（不为0）；再由得到。 规定：当底数不为0时，零次幂等于1，即（不为0）；当底数不为0、为正整数时，负整数指数幂等于底数次幂的倒数，即。 对于零指数和负整数指数，底数不能为0。 强化记忆：合上书复述正整数指数幂的定义，说出四条法则中底数与指数的变化规律，并指出零指数幂与负整数指数幂对底数的要求。 【答案】四条法则依次是：底数不变、指数相加；底数不变、指数相乘；底数不变、指数相减；各因式分别乘方。零指数幂与负整数指数幂都要求底数不为0。 【解析】四条法则都由乘方的意义直接得到；零指数幂与负整数指数幂由同底数幂相除取消指数大小限制后得到。 基础练习1：计算：；。 【答案】；。 【解析】同底数幂相乘，指数相加，得；幂的乘方，指数相乘，得。 基础练习2：计算：；。 【答案】1；。 【解析】5是不为0的底数，所以；等于的倒数，即。 知识检测1：判断“=0”是否正确，并说明理由。 【答案】不正确。 【解析】底数3不为0，所以。 二、次方根与根式 定义：一般地，如果（大于1，为正整数），那么称为的次方根。在实数范围内，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根没有意义；正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；0的任何次方根都是0。 正数的正次方根称为的次算术根。当次根号下有意义的时候，称为根式，称为根指数，称为被开方数。 根式的性质：（1）；（2）当为奇数时，，当为偶数时，。 强化记忆：说出正数偶次方根的个数、负数偶次方根的情形，并判断当为偶数时等于什么。 【答案】正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根没有意义；当为偶数时，。 【解析】由方根的意义直接得到；偶次方根的被开方数不能为负数，开方结果取绝对值。 基础练习3：求值：；。 【答案】−2；2。 【解析】因为，所以；因为且取算术根，所以。 基础练习4：计算：；。 【答案】2；5。 【解析】当为奇数时，所以；当为偶数时，所以。 知识检测2：判断有偶次方根”是否正确，并说明理由。 【答案】不正确。 【解析】负数的偶次方根没有意义，所以−8没有偶次方根。 三、分数指数幂与有理数指数幂 探索研究：在法则（2）中，若幂指数取正分数，法则（2）是否仍成立？的三分之一次幂连乘3次得到，这说明把的三分之一次幂看作的三次方根是合理的。 定义：约定底数大于0，规定；当、为正整数且为既约分数时，；。这样就把根式与分数指数幂统一起来，它们可以互相转化。 有理数指数幂的运算法则：当底数为正数、指数为有理数时，；；。 对比辨析：负整数指数幂与负分数指数幂都表示取倒数，例如，；同底数幂相除时，把除以改写为乘以，可以避免漏掉指数。 强化记忆：说出把根式化为分数指数幂时，根指数和被开方数的指数各放在什么位置，并复述三条运算法则。 【答案】根指数作分母，被开方数的指数作分子；同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方等于各因式乘方的积。 【解析】先把根式按定义写成分数指数幂，再用运算法则整理指数，最后按题目要求写回结果。 基础练习5：用分数指数幂表示下列各式：；。 【答案】；。 【解析】第一个式子中根指数3作分母、被开方数的指数2作分子；第二个式子是分母中的根式，取负指数。 基础练习6：计算：；。 【答案】3；。 【解析】等于27的三次方根，得3；等于的倒数，得。 知识检测3：判断“”中可以取任意实数是否正确，并说明理由。 【答案】不正确。 【解析】分数指数幂按教材约定底数大于0，所以要在大于0的条件下使用。 按整数指数幂、次方根与根式、分数指数幂的顺序展开，使定义、性质与法则依次衔接，把根式与分数指数幂的互化落到运算上。 课堂背诵 背诵与复述 背诵1：分数指数幂，（、为正整数，为既约分数）。 【答案】，也可写成；。 【解析】根指数作分母、被开方数的指数作分子；负分数指数幂表示取倒数。 背诵2：有理数指数幂的三条运算法则：；；（、为正数，、为有理数）。 【答案】；；。 【解析】同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方等于各因式乘方的积。 背诵3：底数条件：（不为0）；（不为0，为正整数）；分数指数幂约定底数____。 【答案】1；；大于0。 【解析】零指数幂与负整数指数幂要求底数不为0；分数指数幂按教材约定底数大于0。 用挖空复述检查互化公式、运算法则和底数条件的整体记忆，及时纠正遗漏与混淆。 师生互动 互动练习与纠错 例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】8；4；9；。 【解析】第（1）小题同底数幂相乘，底数不变、指数相加，得；第（2）小题把8写成2的三次方，用幂的乘方得；第（3）小题先把根式化为分数指数幂，；第（4）小题用积的乘方与幂的乘方分别整理，得。 练习：用分数指数幂表示下列各式：；；；；。 【答案】；；；；。 【解析】根指数作分母、被开方数的指数作分子；分母中的根式取负指数；商的根式分别把分子、分母化成分数指数幂。 教师归纳：根式与分数指数幂的互化要先看根指数和被开方数，含字母时先写成同底数幂再用运算法则合并指数，指数相加时不要漏掉负指数。 通过教材例题和根式互化练习的交流，检验学生能否说出变形依据，并针对指数相加与负指数处理上的错误集中纠正。 课堂练习 达标检测 1．计算：；；；；；。 【答案】5；；9；10；；。 【解析】；先取倒数再开平方，得；先开三次方再平方，得9；开四次方，得10；取的倒数，得；6¼化为后开平方再立方，得。 2．计算：；。 【答案】；。 【解析】同底数幂相乘除统一为指数相加，除以相当于指数加；字母均为正数，所以可以直接使用运算法则。 核对答案后，教师针对求值与含字母运算中的典型错误集中讲评。 由求值到含字母的幂运算分层检测本课重点，区分计算错误与条件遗漏，为后续指数函数的学习提供反馈。 课堂小结 教师归纳 1．指数由整数推广到有理数的过程：先由同底数幂相除取消指数大小的限制，规定零指数幂与负整数指数幂，再用分数指数幂把根式与指数幂统一起来。 2．根式与分数指数幂可以互相转化：，（、为正整数，为既约分数），负分数指数幂取倒数，即。 3．有理数指数幂的三条运算法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方等于各因式乘方的积。 4．底数条件与符号处理：零指数幂与负整数指数幂要求底数不为0，分数指数幂约定底数大于0；当为偶数时，当为奇数时。 5．化简根式的一般顺序是先按定义化为分数指数幂，再用运算法则合并指数，最后按题目要求写回结果；棋盘麦粒问题中第64格的麦粒数记作，正是用幂表示连乘的例子。 按指数推广、互化公式与运算法则梳理本课内容，并回应导入中如何简洁表示连乘的问题。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 课堂实施后可重点关注学生能否按定义条件把根式化为分数指数幂，能否在指数相加时正确处理负指数与分母。若互化方向仍混淆，可增加根指数作分母、被开方数的指数作分子的口头说明；若含字母运算出错，可先让学生标出底数是否相同再动笔。讲评时宜集中反馈典型错误，把更多时间留给互化与运算法则的对照使用，并根据学生作答调整各环节的节奏。 学科网（北京）股份有限公司 $