【2027新考纲·广西】一元一次不等式（组）的解法及简单应用（课件）-人教版基础模块上册【上好课】

人教版《数学》基础模块上册 第二章 不等式 一元一次不等式（组）的解法及简单应用 封面待用户修改：本页沿用模板封面样式、图片与文字，未作改动；正式使用前请用户自行修改封面文字与配图。 学习目标 1．理解一元一次不等式及不等式组的含义，掌握基本解法、变号规则与区间及数轴的端点表示。 2．能规范求解单个不等式和不等式组，通过公共部分及端点检验写出解集，并纠正变号与范围表达错误。 3．能根据生产计划逐项建立约束，说明最严格上界和整数筛选的依据，在建模和解释结果中提升数学抽象与逻辑推理素养。 教学导入：变号与区间诊断 请学生独立口答两个诊断问题，再同桌核对不等号方向与端点。 诊断1：的解集是什么？ 【答案】 【解析】两边同除以负数，不等号方向改变。 诊断2：将写成区间，并说明端点。 【答案】；左端空心，右端实心。 【解析】严格不等号不含端点，含等号时包括端点。 教学导入：端点与解集 归纳：解不等式既要正确运算，也要完整表示所有符合条件的数。本课进一步复习单个不等式、不等式组及生产计划中的范围问题。 端点回顾：时，表示为；无穷不是可取得的端点。 考点梳理：一元一次不等式 定义： 未知数的个数是1，且它的次数为1，这样的整式不等式称为一元一次不等式. 使不等式成立的未知数的值的集合，通常称为这个不等式的解集. 教师解释：关键词是一个未知数、一次、整式；解集不是随意找出的一个解，而是使不等式成立的全部取值。 例1：去分母与负系数 例1：解不等式。 【答案】，即。 【解析】两边同乘以6：；去括号：；移项：；合并同类项：；两边同除以负数，改变方向，得。 考点梳理：解题步骤与变号依据 解题步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；两边同时除以未知数的系数。步骤可根据具体情况灵活运用。 系数化为1时须检查系数的正负；化为后，两边除以正数方向不变，除以负数方向改变。 强化记忆采用指认步骤的方式，即时反馈后做基础练习。 考点梳理：解题步骤与变号依据 强化记忆：指认例1中去分母时是否乘到每一项，以及最后一步变号的原因。 【答案】去分母必须乘到两边每一项；最后一步两边同除以负数，因此改变不等号方向。 【解析】例1两边同乘以正数6，方向不变；最后两边同除以负数−7，方向改变。 基础练习：单个不等式 基础练习1：解。 【答案】 【解析】，移项合并得，所以。 基础练习2：解。 【答案】 【解析】同乘以3，得；整理得，除以负数变号。 知识检测：除负数时的方向 知识检测1：两边同除一个负数时，不等号方向怎样变化？ 【答案】不等号方向改变。 【解析】乘除负数与加减同一个数的规则不同，系数化为1前先看符号。 考点梳理：不等式组与公共部分 生活中还有一些问题涉及多个不等式. 一般地，由几个一元一次不等式所组成的不等式组，称为一元一次不等式组. 从上面的问题可以看到，解由几个不等式构成的不等式组，就是求这几个不等式的解集的公共部分. 先在同一数轴上分别表示各条解集，再找重合部分；所有条件必须同时成立，不是任选一条。 例2（1）：同向解集 例2（1）：解下列不等式组，且。 【答案】，即。 【解析】由原不等式组得，；即，。两条解集均向左延伸，公共部分在较小的上界左侧，所以。 例2（2）：异向解集 例2（2）：解下列不等式组，且。 【答案】，即。 【解析】由原不等式组得，；即，。在数轴上标出左端空心、右端实心，重合部分是。 考点梳理：求公共部分与端点检验 解题步骤：求这个不等式组中各个不等式的解集；求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集。 同向范围取更严格的界，异向范围看重合部分；端点相等时，必须检验两个条件是否都允许该端点。强化记忆采用指图辨析，教师及时纠正把公共部分看成全部范围的错误。 考点梳理：求公共部分与端点检验 强化记忆：在同一数轴上指认例2（2）的公共部分，并说明左右端点是否包含。 【答案】，左端不包含，右端包含。 【解析】公共部分须同时满足两条；不允许左端，允许右端。 基础练习：公共部分与空集 基础练习1：解不等式组且。 【答案】 【解析】两条解集的公共部分是，左端开、右端闭。 基础练习2：解不等式组且。 【答案】无解，。 【解析】端点2不满足第二条，两条没有公共取值。 知识检测：同时满足全部条件 知识检测2：不等式组的解集是各条解集的公共部分，还是把各条解集合在一起？ 【答案】各条解集的公共部分。 【解析】不等式组要求每条条件同时成立，只满足其中一条的数不能作为解。 生产计划问题：读取全部约束 生产计划问题：某塑料制品加工厂为了制订某产品第四季度的生产计划，收集到该产品的生产信息如下：（1） 此产品第四季度已有订货数为4 000袋；（2） 每袋需原料0.1 t，可供应原料410 t；（3） 第四季度生产此产品的工人至多有5人，每人的工时至多为504工时，每人每工时生产该产品2袋.请你依据以上数据，计算第四季度该产品产量的范围. 生产计划问题：求解与解释 【答案】产量不少于4000袋且不多于4100袋，即满足的整数。 【解析】设第四季度生产袋。订单要求；原料要求，即；工时要求。三条约束取公共部分得；袋数为整数，因此应作整数筛选。 强化记忆：约束条件的来源 强化记忆：在生产计划的模型中，指认下界与最严格上界各来自哪个条件。 【答案】下界来自订单条件，最严格上界来自原料条件。 【解析】工时给出的5040袋上界宽于原料给出的4100袋上界，因此实际公共范围以上述原料上界为准。 基础练习：订单与原料限制 基础练习1：生产计划中“已有订货4000袋”给产量什么约束？ 【答案】 【解析】满足订货要求意味着产量不能少于订货数。 基础练习2：原料上界4100袋与工时上界5040袋应取哪一个作为总上界？ 【答案】4100袋。 【解析】产量必须同时不超过两个上界，因此取较小值4100袋。 知识检测：整数约束 知识检测3：生产计划中是否可作为产量？ 【答案】不可以。 【解析】产量以袋计，虽在数值范围内，但不满足整数约束。 课堂背诵：步骤与公共部分 背诵1：解一元一次不等式依次去分母、去括号、____、____、系数化为1；同除负数时不等号方向____。 【答案】移项；合并同类项；改变。 【解析】前四步整理同类项，最后一步除以系数时必须检查正负。 课堂背诵：步骤与公共部分 背诵2：解不等式组先分别求各条解集，再取它们的____；含端点用____点，不含端点用____点。 【答案】公共部分；实心；空心。 【解析】同时成立决定取公共部分，端点是否满足条件决定实心或空心。 课堂背诵：模型与整数 背诵3：建模先设变量并说明____，再列出全部约束；求出公共范围后检查单位和____条件。 【答案】实际意义；整数。 【解析】解集必须能解释实际问题；袋数、件数等计数变量须为整数。 师生互动：同向解集 同桌互检，先独立判断，再用数轴或条件检验说明理由；教师针对典型错误归纳。 互动练习：解不等式组，且。 【答案】 【解析】分别得和；同向向右延伸，取更大的下界。 师生互动：两处错误辨析 纠错：一位同学把解为，又把且的解集写成。指出并纠正两处错误。 【答案】；。 【解析】第一处同除负数未变号；第二处严格下界不含端点，应改左圆括号。可代入不满足条件的数检验。 教师归纳：运算规则决定方向，全部条件决定公共范围，等号决定端点；错误必须指出原因，不能只换一个最终答案。 课堂练习：规范求解 1．解。 【答案】 【解析】，得，除以负数改变方向，得。 2．解不等式组且。 【答案】，即。 【解析】分别解得、，求公共部分并核对端点。 课堂练习：单点解与整数产量 3．判断且是否无解，并写解集。 【答案】不是无解，解集为。 【解析】两条条件都允许，且只有这个数同时满足条件；单点解集不是空集。 4．一件产品用料2kg，现有21kg，至少完成8件，产量为整数，求范围。 【答案】 【解析】至少完成8件给出，材料限制给出，即；再取整数，得8、9、10件。 课堂小结 1．一元一次不等式是只含一个未知数且未知数次数为1的整式不等式，求解时按需要去分母、去括号、移项、合并同类项并化系数为1。 2．不等式两边同乘或同除一个正数，方向不变；同乘或同除一个负数，方向改变。 3．不等式组的解集是各条解集的公共部分；必须逐条求解，并检验重合范围和端点。 4．区间及数轴表达须与端点条件一致；含等号可取端点，严格不等号不取端点，无穷端使用圆括号，单点解集与空集要区分。 5．简单应用先设变量并说明意义，再把全部限制写成不等式；求公共范围后，结合单位和整数条件解释结果。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $